Kern einer Matrix < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo habe gerade da eine Aufgabe im Forum gesehen, wo man von einer Matrix die dim des Kerns und die dim des Bildes bestimmen soll. Die vorgehensweise, wie die die dim des Bildes bestimmt haben, habe ich auch verstanden, dim des Kerns auch. nur was ich da nicht verstanden habe. wie die eine Basis vom Kern gebildet haben.
da war hier sowas:
[mm] \rightarrow \pmat{1 & -1 & 2\\2 & 0 & -2\\ -1 & -1 & 4\\3 & -1 & 0}\cdot{}\vektor{x_1\\x_2\\x_3}=0 [/mm] gilt es ja zu lösen. aber wie kommen die auf sowas hier dann.
[mm] X_1=x_3, x_2=3x_1 [/mm]
Kernelemente [mm] \vektor{x_1\\3\cdot{}x_1\\x_1} [/mm]
daraus folgt diese basis vom Kern [mm] B_{Ker(\Phi)}=\left\{\vektor{1\\3\\1}\right\} [/mm]
also wäre dankbar, wenn mir das jemand nochmal erläuertn könnte.
gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:32 Sa 05.01.2008 | | Autor: | Kroni |
> Hallo habe gerade da eine Aufgabe im Forum gesehen, wo man
> von einer Matrix die dim des Kerns und die dim des Bildes
> bestimmen soll. Die vorgehensweise, wie die die dim des
> Bildes bestimmt haben, habe ich auch verstanden, dim des
> Kerns auch. nur was ich da nicht verstanden habe. wie die
> eine Basis vom Kern gebildet haben.
>
> da war hier sowas:
>
> [mm]\rightarrow \pmat{1 & -1 & 2\\2 & 0 & -2\\ -1 & -1 & 4\\3 & -1 & 0}\cdot{}\vektor{x_1\\x_2\\x_3}=0[/mm]
> gilt es ja zu lösen. aber wie kommen die auf sowas hier
> dann.
>
> [mm]X_1=x_3, x_2=3x_1[/mm]
Hi,
du löst das LGS auf, und dann bleibt dort meistens etwas über, so dass man dann sagen kann:
[mm] x_1=x_1, x_2=3_x1, x_3=x_1. [/mm] D.h. du hast dann immer eine Variable, die man frei wählen kann. Und dann kann man das so umschreiben.
>
> Kernelemente [mm]\vektor{x_1\\3\cdot{}x_1\\x_1}[/mm]
Ja, das ist dann der Lösungsvektor des Gleichungssystems Ax=0, und damit ist das das einzige Element des Kerns der Matrix A.
>
> daraus folgt diese basis vom Kern
> [mm]B_{Ker(\Phi)}=\left\{\vektor{1\\3\\1}\right\}[/mm]
Ja, da du [mm] x_1 [/mm] frei wählen kannst, hast du also alle Vielfachen von (1,3,1) als Lösung deines LGS. Damit wird der Kern deiner Matrix von diesem Vektor aufgespannt.
>
> also wäre dankbar, wenn mir das jemand nochmal erläuertn
> könnte.
Ich hoffe, ich konnte es dir ein wenig erläutern. Den Rest siehst du dann, wenn du die Matrix mal auflöst.
LG
Kroni
>
> gruß
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Also ich würde das LGS so aufstellen:
[mm] x_1 [/mm] - [mm] x_2 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] = 0 (1)
[mm] 2x_1 [/mm] - [mm] 2x_3 [/mm] = 0 (2)
[mm] -x_1 [/mm] - [mm] x_2 [/mm] - [mm] 4x_3 [/mm] = 0 (3)
[mm] 3x_1 [/mm] - [mm] x_2 [/mm] + = 0 (4)
(1)-(3): [mm] 2x_1 [/mm] + [mm] 6x_3 [/mm] = 0 (5)
(1)-(4): [mm] -2x_1 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] = 0 (6)
(2): [mm] 2x_1 [/mm] - [mm] 2x_3 [/mm] = 0 (7)
(5)+(6): [mm] 7x_3 [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow x_3 [/mm] = 0
(6)+(7): [mm] -x_3 [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow x_3 [/mm] = 0
habe ich das so richtig gemacht?
gruß
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Hey!
> Also ich würde das LGS so aufstellen:
>
> [mm]x_1[/mm] - [mm]x_2[/mm] + [mm]x_3[/mm] = 0 (1)
Da muss am Ende doch [mm] \red{+2x_{3}} [/mm] stehen.
> [mm]2x_1[/mm] - [mm]2x_3[/mm] = 0 (2)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]-x_1[/mm] - [mm]x_2[/mm] - [mm]4x_3[/mm] = 0 (3)
Es muss heißen: [mm] \red{+4x_{3}}
[/mm]
> [mm]3x_1[/mm] - [mm]x_2[/mm] + = 0 (4)
>
> (1)-(3): [mm]2x_1[/mm] + [mm]6x_3[/mm] = 0 (5)
> (1)-(4): [mm]-2x_1[/mm] + [mm]x_3[/mm] = 0 (6)
> (2): [mm]2x_1[/mm] - [mm]2x_3[/mm] = 0 (7)
>
> (5)+(6): [mm]7x_3[/mm] = 0 [mm]\Rightarrow x_3[/mm] = 0
> (6)+(7): [mm]-x_3[/mm] = 0 [mm]\Rightarrow x_3[/mm] = 0
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> habe ich das so richtig gemacht?
>
> gruß
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Gruß Patrick
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