Kern eines Einsetzungshomom. < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei K Körper, E der Einsetungshomomorphismus von [mm] \IZ \left[ t \right] [/mm] in K mit [mm] E(t)=0_{K}
[/mm]
Was ist KernE ? |
Siehe zweite Frage, denn hier habe ich einen großen Fehler gefunden.
Hallo,
Erstmal etwas grundlegendes:
Sei f [mm] \in \IZ\left[ t \right]. [/mm] Dann f sowas wie [mm] c_{0}+c_{1}t+...+c_{n}t^{n}
[/mm]
und für jedes x [mm] \in [/mm] K is dann E(f)=:f(x)= [mm] c_{0}+c_{1}x+...+c_{n}x^{n}.
[/mm]
Also, der KernE= [mm] \{ f \in \IZ\left[ t \right] : E(f) = 0_{K} \} [/mm] <-- ist das überhaupt richtig?
Sei nun f [mm] \in [/mm] Kern E, dann gilt also für alle [mm] x\in [/mm] K f(x)=0 (<-- ? muss ja eigentlich)
So, was bringt mir nun E(t)= [mm] 0_{K}?
[/mm]
Was bedeutet das überhaupt?
Ist das so? [mm] E(t)=:t(x)=a_{0}+a_{1}x+...+a_{n}x^{n}= 0_{K} [/mm] f.a. [mm] x\in [/mm] K.
Aber dann wäre ja [mm] t\in \IZ\left[ t \right] [/mm] und dabei ist doch eigentlich [mm] t\in \IZ [/mm] ?
Also ist [mm] t\in \IZ\left[ t \right] [/mm] eine Konstante und somit t=0 ??
Ich höre hier mal kurz auf und hoffe (naja eigentlich nicht) mir kann jemand sagen, dass ich (wahrscheinlich) komplett falsch liege.
Ich versuche (nocheinmal) aus meinem Skript schlau zu werden.
Danke!
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| Aufgabe | Sei K Körper, E der Einsetungshomomorphismus von [mm] \IZ \left[ t \right] [/mm] in K mit [mm] E(t)=0_{K}
[/mm]
Was ist KernE ? |
So, nochmal hallo.
Habe nun eine nacht drüber geschlafen und ich denke ich ich weiss nun was das zu bedeuten hat. (zumindest eher als gestern.)
Also der KernE= [mm] \{ f \in \IZ \left[ t \right] : f(x)=0_{K}, x\in K \} [/mm] (Eigentlich müsste doch auch E eher [mm] E_{0_{K}} [/mm] heißen, oder?)
Okay.
Sei f [mm] \in \IZ \left[ t \right]. [/mm] Dann [mm] f=\summe_{i=0}^{n}c_{i}t^{i} \mapsto \summe_{i=0}^{n}c_{i}0_{K}^{i}=c_{0} [/mm] für alle f [mm] \in \IZ \left[ t \right]
[/mm]
Soweit richtig?
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Hallo carlosfritz,
Deine Formulierung für Kern$(E)$ ist nicht ganz korrekt.
Dein Ausdruck $ [mm] f=\sum_{i=0}^{n}c_{i}t^{i} \mapsto \sum_{i=0}^{n}c_{i}0_{K}^{i}=c_{0} [/mm] $ beschreibt die
Abbildung $E$. ($E$ ist als Einsetzungshomomorphismus durch die Voraussetzung $E(t) = [mm] 0_K$ [/mm] eindeutig bestimmt.) Also ist $E(f) = [mm] c_0\cdot 1_K [/mm] (=: [mm] f(0_K))$ [/mm] und somit Kern (E) = f [mm] \in \mathbb{Z}[/mm] [t]: [mm] \ldots [/mm] .
(Entschuldigung, irgendwie kann ich keine geschweifte Klammer mehr eingeben?)
Gruß mathfunnel
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aha.
also ist Kern(E)= [mm] \{ f \in \IZ \left[ t \right] : c_{0}=0 \} [/mm] ? (ist jetzt natürlich nicht formell geschrieben)
geschweifte klammern macht man mit [mm] "\backslash \{" bzw. "\backslash \}"
[/mm]
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> aha.
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> also ist Kern(E)= [mm]\{ f \in \IZ \left[ t \right] : c_{0}=0 \}[/mm]
> ? (ist jetzt natürlich nicht formell geschrieben)
Ja, so ist es. Die Polynome haben also alle eine ganz gewisse Nullstelle!
Beachte meine Korrektur: [mm] $c_0 \notin [/mm] K$ aber [mm] $c_0\cdot 1_K \in [/mm] K$.
Gruß mathfunnel
> geschweifte klammern macht man mit [mm]"\backslash \{" bzw. "\backslash \}"[/mm]
>
Danke, ich weiß wie man geschweifte Klammern eingibt, aber ich habe eine Fehlermeldung bekommen, die ich nur durch entfernen der Klammern umgehen konnte.
[mm] $\{\}$ [/mm] Ok, jetzt geht es wieder. Ich denke das lag irgendwie an meinem Gesamttext.
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jo, danke
stimmt. mit dem 1_[K] hast du natürlich Recht. vergisst man ein wenig, wenn man sich die letzte Zeit nur mit Endomorphismen rumgeprügelt hat :)
btw.: magst du noch die erste Frage kurz beantworten, damit das Thema beantwortet ist?
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Antwort siehe unten!
Gruß mathfunnel
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