Kern und Abb.matrix von f' < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:53 So 18.12.2011 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | Es sei [mm] P_{n} [/mm] der reelle vektorraum der polynome vom Grad kleiner gleich n. und [mm] \bruch{d}{dx}: P_{n}-->P_{n}, \summe_{i=0}^{n} a_{i}x^{i} [/mm] --> [mm] \summe_{i=1}^{n} a_{i}ix^{i-1} [/mm] die formale Ableitung.
a) zeige, dass [mm] \bruch{d}{dx} [/mm] linear ist und bestimme den Kern von [mm] \bruch{d}{dx}. [/mm] Wann sind dei restklassen [f], [g] zweier polynome f und g [mm] \in [/mm] V linear abhängig in [mm] P_{n}/Kern(\bruch{d}{dx})?
[/mm]
b) Zeige, dass [mm] B=(x^{0},...,x^{n}) [/mm] eine Basis von [mm] P_{n} [/mm] ist und bestimme [mm] _{B}M_{B}(\bruch{d}{dx}) [/mm] |
Hiho, bräuchte wieder Hilfe...
zu a) Muss man die Bedingungen f/x+y)=f(x)+f(y) und [mm] f(\lambda [/mm] x) = [mm] \lambda [/mm] f(x) überprüfen?
Wenn ja, wie setzt man da an? Beim Kern hab ich leider keine idee...
b) Soll man zeigen , dass [mm] x^{0}...x^{n} [/mm] linear unabhängig sind?
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Hallo rollroll,
> Es sei [mm]P_{n}[/mm] der reelle vektorraum der polynome vom Grad
> kleiner gleich n. und [mm]\bruch{d}{dx}: P_{n}-->P_{n}, \summe_{i=0}^{n} a_{i}x^{i}[/mm]
> --> [mm]\summe_{i=1}^{n} a_{i}ix^{i-1}[/mm] die formale Ableitung.
> a) zeige, dass [mm]\bruch{d}{dx}[/mm] linear ist und bestimme den
> Kern von [mm]\bruch{d}{dx}.[/mm] Wann sind dei restklassen [f], [g]
> zweier polynome f und g [mm]\in[/mm] V
Was ist jetzt [mm]V[/mm] ?
Du musst in deiner Schreibweise schon etwas konsistenter sein ..
> linear abhängig in
> [mm]P_{n}/Kern(\bruch{d}{dx})?[/mm]
> b) Zeige, dass [mm]B=(x^{0},...,x^{n})[/mm] eine Basis von [mm]P_{n}[/mm]
> ist und bestimme [mm]_{B}M_{B}(\bruch{d}{dx})[/mm]
> Hiho, bräuchte wieder Hilfe...
> zu a) Muss man die Bedingungen f/x+y)=f(x)+f(y) und
> [mm]f(\lambda[/mm] x) = [mm]\lambda[/mm] f(x) überprüfen?
Im Prinzip ja, wenn du dir klarmachst, was [mm]f,x,y[/mm] sind.
Im Kontext der Aufgabe ist [mm]f=\frac{d}{dx}[/mm] die Ableitungsfunktion (nach der Variable x) und [mm]x,y[/mm] sind Polynome aus [mm]P_n[/mm], also etwa [mm]x=p_n(x)=p(x)=a_0+a_1x+...+a_nx^n[/mm] und [mm]y=q_n(x)=q(x)=b_0+b_1x+...+b_nx^n[/mm]
> Wenn ja, wie setzt man da an?
Schreibe dir mal hin, wie [mm](p+q)(x)[/mm] aussieht und leite es ab.
Ist es [mm]=\frac{d}{dx}p(x)+\frac{d}{dx}q(x)[/mm] ?
> Beim Kern hab ich leider
> keine idee...
Na, was ist der Nullvektor im Zielraum?
Welche Polynome werden durch das Ableiten auf diesen Nullvektor abgebildet?
Es ist einfacher als du denkst ...
>
> b) Soll man zeigen , dass [mm]x^{0}...x^{n}[/mm] linear unabhängig
> sind?
Wenn dir klar ist, dass [mm]\operatorname{dim}(P_n)=n+1[/mm] , genügt das.
Sonst musst du zeigen, dass [mm]1,x,...,x^n[/mm] auch erzeugend sind ...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:56 So 18.12.2011 | | Autor: | rollroll |
> Was ist jetzt [mm]V[/mm] ?
>
> Du musst in deiner Schreibweise schon etwas konsistenter
> sein ..
War ein Vertipper in der Original-Aufgabenstellung, muss natürlich [mm] P_{n} [/mm] und nicht V heißen...
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:43 Mo 19.12.2011 | | Autor: | rollroll |
> Im Kontext der Aufgabe ist [mm]f=\frac{d}{dx}[/mm] die
> Ableitungsfunktion (nach der Variable x) und [mm]x,y[/mm] sind
> Polynome aus [mm]P_n[/mm], also etwa
> [mm]x=p_n(x)=p(x)=a_0+a_1x+...+a_nx^n[/mm] und
> [mm]y=q_n(x)=q(x)=b_0+b_1x+...+b_nx^n[/mm]
>
> Schreibe dir mal hin, wie [mm](p+q)(x)[/mm] aussieht und leite es
> ab.
>
Also [mm] p(x)+q(x)=a_{0}+a_{1}x+...+a_{n}x^{n}+b_{0}+b_{1}x+..+b_{n}x^{n}=a_{0}+b_{0}+x(a_{1}+b_{1})+...+x^{n}(a_{n}+b_{n})
[/mm]
Abgeleitet: [mm] x+...+(n(a_{n}+b_{n})x^{n-1}
[/mm]
Und [mm] (n(a_{n}+b_{n})x^{n-1} [/mm] = [mm] na_{n}x^{n-1}+nb_{n}x^{n-1}= [/mm] $ [mm] =\frac{d}{dx}p(x)+\frac{d}{dx}q(x) [/mm] $ ??
> Ist es [mm]=\frac{d}{dx}p(x)+\frac{d}{dx}q(x)[/mm] ?
>
> > Beim Kern hab ich leider
> > keine idee...
>
> Na, was ist der Nullvektor im Zielraum?
>
> Welche Polynome werden durch das Ableiten auf diesen
> Nullvektor abgebildet?
>
> Es ist einfacher als du denkst ...
Also beim Ableiten werden ja alle konstanten Funktionen 0, also alle [mm] a_{0},oder?
[/mm]
>
> >
> > b) Soll man zeigen , dass [mm]x^{0}...x^{n}[/mm] linear unabhängig
> > sind?
>
> Wenn dir klar ist, dass [mm]\operatorname{dim}(P_n)=n+1[/mm] ,
> genügt das.
>
Hmm, also das ist mir nicht ganz kalr, kannst du das mal erklären?
> Sonst musst du zeigen, dass [mm]1,x,...,x^n[/mm] auch erzeugend sind
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Hallo,
gezeigt werden soll die Linearität der Abbildung [mm] \bruch{d}{dx}:P_n\to P_n
[/mm]
> > Schreibe dir mal hin, wie [mm](p+q)(x)[/mm] aussieht und leite es
> > ab.
> >
> Also
(p+q)(x)=
> [mm]p(x)+q(x)=a_{0}+a_{1}x+...+a_{n}x^{n}+b_{0}+b_{1}x+..+b_{n}x^{n}=a_{0}+b_{0}+x(a_{1}+b_{1})+...+x^{n}(a_{n}+b_{n})[/mm]
>
> Abgeleitet: [mm]x+...+(n(a_{n}+b_{n})x^{n-1}[/mm]
???
Erstens ist das falsch abgeleitet, und zweitens sollte Dir doch, wenn Du Abi o.ä. hast, die Idee der Gleichung inzwischen klar sein.
Also:
abgeleitet: (p+q)'(x)=...
>
> Und [mm](n(a_{n}+b_{n})x^{n-1}[/mm] = [mm]na_{n}x^{n-1}+nb_{n}x^{n-1}=[/mm]
> [mm]=\frac{d}{dx}p(x)+\frac{d}{dx}q(x)[/mm] ??
Diese Gleichung ist sicher nicht richtig - und das liegt an Schlamperei und nicht daran, daß Du es nicht kannst.
Mathematik kannst Du nicht so irgendwiepimaldaumenquasieigentlichtheoretischmüßte-herumwurschtelnd betreiben. Man spart auch keinerlei zeit dadurch und bringt sich selbst durcheinander.
Um die Linearität zu zeigen, muß man zeigen, daß füralle [mm] p,q\in P_n [/mm] gilt
[mm] \bruch{d}{dx}(p+q)=\bruch{d}{dx}p+\bruch{d}{dx}q.
[/mm]
Seien [mm] p:=a_{0}+a_{1}x+...+a_{n}x^{n} [/mm] und [mm] q:=b_{0}+b_{1}x+..+b_{n}x^{n}.
[/mm]
Es ist [mm] \bruch{d}{dx}(p+q)=\bruch{d}{dx}((a_0+b_0)+(a_1+b_1)x+...+(a_{n-1}+b_{n-1})x^{n-1}+(a_n+b_n)x^n)= [/mm] ...
und es ist
[mm] \bruch{d}{dx}p+\bruch{d}{dx}q= [/mm] ...
Wenn Du das ausgerechnet hast, dann vergleichst Du, ob sie gleich sind.
Das entsprechende Spielchen dann noch für die Multiplikation.
Schreib genau auf, was zu zeigen ist - und zeige es dann.
>
>
> > Ist es [mm]=\frac{d}{dx}p(x)+\frac{d}{dx}q(x)[/mm] ?
> >
> > > Beim Kern hab ich leider
> > > keine idee...
> >
> > Na, was ist der Nullvektor im Zielraum?
> >
> > Welche Polynome werden durch das Ableiten auf diesen
> > Nullvektor abgebildet?
> >
> > Es ist einfacher als du denkst ...
>
> Also beim Ableiten werden ja alle konstanten Funktionen 0,
> also alle [mm]a_{0},oder?[/mm]
Ja, alle konstanten Polynome werden durch [mm] \bruch{d}{dx} [/mm] auf das Nullpolynom abgebildet.
> >
> > >
> > > b) Soll man zeigen , dass [mm]x^{0}...x^{n}[/mm] linear unabhängig
> > > sind?
> >
> > Wenn dir klar ist, dass [mm]\operatorname{dim}(P_n)=n+1[/mm] ,
> > genügt das.
> >
> Hmm, also das ist mir nicht ganz kalr, kannst du das mal
> erklären?
>
> > Sonst musst du zeigen, dass [mm]1,x,...,x^n[/mm] auch erzeugend sind
Der Aufgabenstellung entnehme ich, daß der Raum [mm] P_n [/mm] noch nicht besprochen wurde, seine Dimension also bislang unbekannt ist.
Daher mußt Du zeigen, daß [mm] (1,x,...,x^n) [/mm] linear unabhängig und ein Erzeugendensystem ist.
Was ist hierfür zu zeigen? (Das "Wie" interessiert erst an zweiter Stelle.)
Würdest Du die Dimension bereits kennen, dann würde eins von beidem reichen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:22 Di 20.12.2011 | | Autor: | rollroll |
> Seien [mm]p:=a_{0}+a_{1}x+...+a_{n}x^{n}[/mm] und
> [mm]q:=b_{0}+b_{1}x+..+b_{n}x^{n}.[/mm]
>
> Es ist
> [mm]\bruch{d}{dx}(p+q)=\bruch{d}{dx}((a_0+b_0)+(a_1+b_1)x+...+(a_{n-1}+b_{n-1})x^{n-1}+(a_n+b_n)x^n)=[/mm]
> ...
> und es ist
> [mm]\bruch{d}{dx}p+\bruch{d}{dx}q=[/mm] [mm] ...=\frac{d}{dx}(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...a_{n}x^{n})+\frac{d}{dx} (b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}+...+b_{n}x^{n})
[/mm]
>
> Wenn Du das ausgerechnet hast, dann vergleichst Du, ob sie
> gleich sind.
Sie sind gleich, wenn man [mm] \frac{d}{dx} [/mm] sozusagen ,,ausklammert'' und in der Klammer entsprechend sortiert, erhält man dasselbe.
>
>
> Das entsprechende Spielchen dann noch für die
> Multiplikation.
> Schreib genau auf, was zu zeigen ist - und zeige es dann.
>
z.z.: [mm] \frac{d}{dx}( \lambda [/mm] p)= [mm] \lambda(\frac{d}{dx}p)
[/mm]
Stimmt das?
>
> >
> >
> > > Ist es [mm]=\frac{d}{dx}p(x)+\frac{d}{dx}q(x)[/mm] ?
> Ja, alle konstanten Polynome werden durch [mm]\bruch{d}{dx}[/mm] auf
> das Nullpolynom abgebildet.
Ok, wie schreibt man das denn formal und mathematisch am besten korrekt auf Also Kern [mm] (\frac{d}{dx})=?
[/mm]
> > > > b) Soll man zeigen , dass [mm]x^{0}...x^{n}[/mm] linear unabhängig
> > > > sind?
> > >
> > > Wenn dir klar ist, dass [mm]\operatorname{dim}(P_n)=n+1[/mm] ,
> > > genügt das.
> > >
> > Hmm, also das ist mir nicht ganz kalr, kannst du das mal
> > erklären?
> >
> > > Sonst musst du zeigen, dass [mm]1,x,...,x^n[/mm] auch erzeugend sind
>
> Der Aufgabenstellung entnehme ich, daß der Raum [mm]P_n[/mm] noch
> nicht besprochen wurde, seine Dimension also bislang
> unbekannt ist.
> Daher mußt Du zeigen, daß [mm](1,x,...,x^n)[/mm] linear
> unabhängig und ein Erzeugendensystem ist.
> Was ist hierfür zu zeigen? (Das "Wie" interessiert erst
> an zweiter Stelle.)
Für linear unabhängig muss man zeigen, dass der Nullvektor nur trivial darstellbar ist. Dies ist doch eigentlich offensichtlich, wenn man sagt:
f,g [mm] \in P_{n}
[/mm]
mit deg(f) =m ungleich deg(g) =n
Wenn sie linear abhängig wären, müsste [mm] f=\lambda [/mm] g und damit [mm] f-\lambda [/mm] g=0 sein, also [mm] deg(f-\lambda [/mm] g)= deg(0)= - [mm] \infty
[/mm]
da allerdings m ungleich n --> deg(f - [mm] \lambda [/mm] g) größer gleich 0.
Also f und g l.u.
Wie man allerdings zeigt, dass es ein erzeugendensystem ist , ist mir nicht ganz klar. Das es so ist, erscheint mir zwar logisch, aber wie ich's zeigen soll??
allg. Def.: Eine Familie F heit erzeugendensystem von V, wenn <F>=V.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:14 Di 20.12.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Seien [mm]p:=a_{0}+a_{1}x+...+a_{n}x^{n}[/mm] und
> > [mm]q:=b_{0}+b_{1}x+..+b_{n}x^{n}.[/mm]
> >
> > Es ist
> >
> [mm]\bruch{d}{dx}(p+q)=\bruch{d}{dx}((a_0+b_0)+(a_1+b_1)x+...+(a_{n-1}+b_{n-1})x^{n-1}+(a_n+b_n)x^n)=[/mm]
> > ...
> > und es ist
> > [mm]\bruch{d}{dx}p+\bruch{d}{dx}q=[/mm]
> [mm]...=\frac{d}{dx}(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...a_{n}x^{n})+\frac{d}{dx} (b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}+...+b_{n}x^{n})[/mm]
>
> >
> > Wenn Du das ausgerechnet hast, dann vergleichst Du, ob sie
> > gleich sind.
>
> Sie sind gleich, wenn man [mm]\frac{d}{dx}[/mm] sozusagen
> ,,ausklammert'' und in der Klammer entsprechend sortiert,
> erhält man dasselbe.
kurz hierzu: Warum schreibst Du das dann nicht auf? Du darfst hier doch - laut Aufgabenstellung - formal rechnen. Also mach' das doch:
Es gilt mit
[mm] $$p(x)=a_0+a_1x+\ldots+a_nx^n$$
[/mm]
und
[mm] $$q(x)=b_0+b_1x+\ldots+b_nx^n$$
[/mm]
offenbar:
$$1.) [mm] \frac{d}{dx}p(x)=a_1+2a_2x+3a_3x^2+\ldots+na_nx^{n-1}\,,$$
[/mm]
$$2.) [mm] \frac{d}{dx}q(x)=b_1+2b_2x+3b_3x^2+\ldots+nb_nx^{n-1}\,,$$
[/mm]
was impliziert (indem man 1.) und 2.) addiert!)
[mm] $$(I)\;\;\;\frac{d}{dx}p(x)+\frac{d}{dx}q(x)=(a_1+2a_2x+3a_3x^2+\ldots+na_nx^{n-1})+(b_1+2b_2x+3b_3x^2+\ldots+nb_nx^{n-1}=$$
[/mm]
[mm] $$=\underbrace{(a_1+b_1)}_{=:c_1}+2\underbrace{(a_2+b_2)}_{=:c_2}x+\ldots+n\underbrace{(a_n+b_n)}_{=:c_n}x^{n-1}\,.$$
[/mm]
(Für die letzte Gleichheit braucht man die Assoziativität und Kommutativität der Addition sowie das Distributivgesetz.)
Wegen $(p+q)(x):=p(x)+q(x)$ ist nun auch
[mm] $$(p+q)(x)=(a_0+a_1x+a_2x^2+\ldots+a_nx^n)+(b_0+b_1x+b_2x^2+\ldots+b_nx^n)=(a_0+b_0)+(a_1+b_1)x+\ldots+(a_n+b_n)x^{n}\,.$$
[/mm]
Somit ist $(p+q)(x)$ in der Darstellung nach dem letzten Gleichheitszeichen in einer Form, die besagt, was die Anwendung von [mm] $\frac{d}{dx}$ [/mm] "formal bewirkt" (man beachte auch, dass wir so sehen, dass [mm] $p+q\,$ [/mm] ein Polynom vom Grad höchstens [mm] $n\,$ [/mm] ist, wenn [mm] $p\,$ [/mm] und [mm] $q\,$ [/mm] derartige Polynome waren):
[mm] $$(II)\;\;\;\frac{d}{dx}(p+q)(x)=(a_1+b_1)+2(a_2+b_2)x+\ldots+n(a_n+b_n)x^{n-1}\,.$$
[/mm]
Wie kann man mit den oben definierten [mm] $c_n$ [/mm] nun den Ausdruck nach dem letzten Gleichheitszeichen schreiben bzw. auch ohne, dass man die [mm] $c_n$ [/mm] überhaupt eingeführt hätte: Was zeigt ein Vergleich von [mm] $(I)\,$ [/mm] und [mm] $(II)\,$?
[/mm]
(Bedenke die ganz triviale Eigenschaft der "Gleichheit": Sie ist transitiv, d.h. aus [mm] $a=b\,$ [/mm] und [mm] $b=c\,$ [/mm] folgt [mm] $a=c\,.$)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:25 Di 20.12.2011 | | Autor: | rollroll |
Der sagt, dass $ [mm] \frac{d}{dx} [/mm] $ linear ist., da
$ [mm] \frac{d}{dx} [/mm] $(p+q)(x)=$ [mm] \frac{d}{dx} [/mm] $(p(x))+$ [mm] \frac{d}{dx} [/mm] $(q(x))
Was sagt Ihr zu meinen anderen Vorschlägen, Fragen?
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> Der sagt, dass [mm]\frac{d}{dx}[/mm] linear ist.,
Hallo,
wer sagt?
> da
> [mm]\frac{d}{dx} [/mm](p+q)(x)=[mm] \frac{d}{dx} [/mm](p(x))+[mm] \frac{d}{dx} [/mm](q(x))
Für linear reicht das noch nicht.
Was ist noch zu zeigen?
Zeig es. Formal.
Gruß v. Angela
>
> Was sagt Ihr zu meinen anderen Vorschlägen, Fragen?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Di 20.12.2011 | | Autor: | rollroll |
ok, ich versuchs gleich mal...
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> > Das entsprechende Spielchen dann noch für die
> > Multiplikation.
> > Schreib genau auf, was zu zeigen ist - und zeige es
> dann.
> >
> z.z.: [mm]\frac{d}{dx}( \lambda[/mm] p)= [mm]\lambda(\frac{d}{dx}p)[/mm]
> Stimmt das?
Hallo,
ja.
Und nun rechne vor, daß es so ist.
> >
> > >
> > >
> > > > Ist es [mm]=\frac{d}{dx}p(x)+\frac{d}{dx}q(x)[/mm] ?
> > Ja, alle konstanten Polynome werden durch [mm]\bruch{d}{dx}[/mm]
> auf
> > das Nullpolynom abgebildet.
>
> Ok, wie schreibt man das denn formal und mathematisch am
> besten korrekt auf Also Kern [mm](\frac{d}{dx})=?[/mm]
[mm] Kern(\bruch{d}{dx})=\{p(x)\in P_n| p(x)=a für ein a\in \IR\}
[/mm]
>
> > > > > b) Soll man zeigen , dass [mm]x^{0}...x^{n}[/mm] linear unabhängig
> > > > > sind?
> > > >
> > > > Wenn dir klar ist, dass [mm]\operatorname{dim}(P_n)=n+1[/mm] ,
> > > > genügt das.
> > > >
> > > Hmm, also das ist mir nicht ganz kalr, kannst du das mal
> > > erklären?
> > >
> > > > Sonst musst du zeigen, dass [mm]1,x,...,x^n[/mm] auch erzeugend sind
> >
> > Der Aufgabenstellung entnehme ich, daß der Raum [mm]P_n[/mm] noch
> > nicht besprochen wurde, seine Dimension also bislang
> > unbekannt ist.
> > Daher mußt Du zeigen, daß [mm](1,x,...,x^n)[/mm] linear
> > unabhängig und ein Erzeugendensystem ist.
> > Was ist hierfür zu zeigen? (Das "Wie" interessiert
> erst
> > an zweiter Stelle.)
>
> Für linear unabhängig muss man zeigen, dass der
> Nullvektor nur trivial darstellbar ist. Dies ist doch
> eigentlich offensichtlich, wenn man sagt:
> f,g [mm]\in P_{n}[/mm]
> mit deg(f) =m ungleich deg(g) =n
> Wenn sie linear abhängig wären, müsste [mm]f=\lambda[/mm] g und
> damit [mm]f-\lambda[/mm] g=0 sein, also [mm]deg(f-\lambda[/mm] g)= deg(0)= -
> [mm]\infty[/mm]
> da allerdings m ungleich n --> deg(f - [mm]\lambda[/mm] g) größer
> gleich 0.
> Also f und g l.u.
Ich verstehe keinen Fatz von dem, was Du tust und über welche f,g Du parlierst. "Eigentlich offensichtlich" reicht auch für uns nicht - Du studierst ja nicht bei den Schwaflern.
Wir reden über die lineare Unabhängigkeit der n+1 Vektoren [mm] 1,x,x^2,...,x^n.
[/mm]
Oben sagst Du völlig richtig, daß der Nullvektor nur trivial darstellbar ist.
Was bedeutet denn das? Wie darstellbar? Sag das mal genau.
Lies zuvor nach, wie man die lineare Unabhängigkeit von n Vektoren zeigt.
> Wie man allerdings zeigt, dass es ein erzeugendensystem ist
> , ist mir nicht ganz klar. Das es so ist, erscheint mir
> zwar logisch,
Warum erscheint es Dir logisch?
Erklär das mal!
> aber wie ich's zeigen soll??
> allg. Def.: Eine Familie F heit erzeugendensystem von V,
> wenn <F> =V.
Aha. Und was bedeuten die spitzen Klammern?
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:46 Di 20.12.2011 | | Autor: | rollroll |
$ [mm] Kern(\bruch{d}{dx})=\{p(x)\in P_n| p(x)=a für ein a\in \IR\} [/mm] $
Ehrlich gesagt, verstehe ich nicht, was du mit a freina meinst...
ich hab doch geschrieben, über welche f und g rede. Es sind 2 beliebige Polynome aus [mm] P_{n}. [/mm] ich hab gezeigt, dass 2 beliebige Polynome linear unabhägig sind.
Linear Unabhängig heißt man kann den Nullvektor nur trivial darstellen, also quasi, wenn die Koeffizienten 0 sind. wenn u und v Vektoren sind, gilt [mm] \lambda [/mm] u + [mm] \mu [/mm] v=0 --> [mm] \lambda [/mm] = [mm] \mu [/mm] =0
< > steht für erzeugnis
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> [mm]Kern(\bruch{d}{dx})=\{p(x)\in P_n| p(x)=a für ein a\in \IR\}[/mm]
>
> Ehrlich gesagt, verstehe ich nicht, was du mit a freina
> meinst...
Hallo,
oh, das ist mißglückt!
(Oftmals kriegt man raus, was gemeint ist, wenn man den Quelltesxt anguckt.)
Aber 'nen bissele fantasielos bist du auch...
Gemeint ist [mm] $Kern(\bruch{d}{dx})=\{p(x)\in P_n| p(x)=a\quad fuer \quad ein a\in \IR\}$.
[/mm]
> ich hab doch geschrieben, über welche f und g rede. Es
> sind 2 beliebige Polynome aus [mm]P_{n}.[/mm] ich hab gezeigt, dass
> 2 beliebige Polynome linear unabhägig sind.
Ja und weiter? Wen interessiert das? Wir wollen dch wissen, ob die n Polynome [mm] 1,x,x^2,..., x^n [/mm] linesar unabhängig sind - und nicht beliebige Polynome.
> Linear Unabhängig heißt man kann den Nullvektor nur
> trivial darstellen, also quasi, wenn die Koeffizienten 0
> sind. wenn u und v Vektoren sind, gilt [mm]\lambda[/mm] u + [mm]\mu[/mm] v=0
> --> [mm]\lambda[/mm] = [mm]\mu[/mm] =0
Ich fragte nach der linearen Unabhängigkeit von n Vektoren.
> < > steht für erzeugnis
Ja, das weiß ich.
Ich wollte von Dir wissen, wie das definiert ist.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:15 Di 20.12.2011 | | Autor: | rollroll |
Sei M [mm] \subset [/mm] V eine Teilmenge & sei M={ U [mm] \subset [/mm] V Unterraum | M [mm] \subset [/mm] U} die menge aller UR von V, die M enthalten.
<M>=<M>_{K} = [mm] \bigcap_{u \in U}^{} [/mm] U ist dann das Erzeugnis von M
Wenn [mm] v_{1},v_{2},v_{n} [/mm] eine endliche Familie von Vektoren aus V ist, dann ist diese l.u., wenn [mm] \lambda v_{1}+\mu v_{2}+...+\alpha v_{n}=0
[/mm]
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> Sei M [mm]\subset[/mm] V eine Teilmenge & sei M={ U [mm] \subset [/mm] V
> Unterraum | M [mm] \subset [/mm] U} die menge aller UR von V, die M
> enthalten.
Hallo,
irgendwas stimmt hier doch nicht. Wenn M irgendeine Teilmenge ist, dann kann M nicht die angegebene Menge, eine Menge von Unterräumen, sein.
Irgendwas läuft hier gerade schief.
Aber laß es gut sein. Ich wollte eigentlich etwas anderes hören, nämlich, daß in M alle Vektoren enthalten sind, die man als Linearkombination der Elemente von m schreiben kann.
> <m>=<m>_{K} = [mm]\bigcap_{u \in U}^{}[/mm] U ist dann das
> Erzeugnis von M
>
> Wenn [mm]v_{1},v_{2},v_{n}[/mm] eine endliche Familie von Vektoren
> aus V ist, dann ist diese l.u., wenn [mm]\lambda v_{1}+\mu v_{2}+...+\alpha v_{n}=0[/mm]
Nein.
Die Familie ist linear unabhängig, wenn aus [mm] \lambda_1 v_{1}+\lambda_2v_{2}+...+\lambda_n v_{n}=0 [/mm] folgt, daß [mm] \lambda_1=\lambda_2=...=\lambda_n=0.
[/mm]
Und genau dies mußt Du in Deiner Aufgabe verwenden.
(Wann sind eigentlich zwei Polynome gleich? das muß man hier wissen?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:40 Di 20.12.2011 | | Autor: | rollroll |
Also ist B linear unabhänhig, wenn aus [mm] \lambda_{0}x^{0}+ \lambda_{1}x^{1}+...+\lambda_{n}x^{n} [/mm] =0 folgt, dass
[mm] \lambda_{0}=\lambda_{1}=\lambda_{n}=0
[/mm]
Und das muss/soll man jetzt beweisen?
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> Also ist B linear unabhänhig, wenn aus [mm]\lambda_{0}x^{0}+ \lambda_{1}x^{1}+...+\lambda_{n}x^{n}[/mm]
> =0 folgt, dass
> [mm]\lambda_{0}=\lambda_{1}=\red{...}\lambda_{n}=0[/mm]
> Und das muss/soll man jetzt beweisen?
Ja.
Bedenke, daß die 0 rechts für das Nullelement Deines Vektorraumes steht, also für das Nullpolynom.
Dann hatte ich zuvor nach der Gleichheit von Polynomen gefragt nichtganz grundlos.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:51 Di 20.12.2011 | | Autor: | rollroll |
naja, 2 polynome sind gleich, wenn sie in ihrem grad und sämtlichen Koeffizienten übereinstimmen, was bei B ja nicht der Fall ist.
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> naja, 2 polynome sind gleich, wenn sie in ihrem grad und
> sämtlichen Koeffizienten übereinstimmen, was bei B ja
> nicht der Fall ist.
Hallo,
nun, die Polynome in B sind natürlich alle verschieden. Sieht man ja...
Du mußt gründlicher lesen und durchdenken, was Dir gesagt wird.
Ist kein Wunder, daß nix Gescheites dabei rauskommt, wenn 2 Minuten nach meiner letzten Antwort schon die nächste Frage hier steht.
Wann willst Du überlegt haben?
Zeigen willst Du, daß aus
$ [mm] \lambda_{0}x^{0}+ \lambda_{1}x^{1}+...+\lambda_{n}x^{n} [/mm] $=0 folgt, daß
$ [mm] \lambda_{0}=\lambda_{1}=...=\lambda_{n}=0 [/mm] $
Sei also
$ [mm] \lambda_{0}x^{0}+ \lambda_{1}x^{1}+...+\lambda_{n}x^{n} [/mm] $=0.
Ich zitiere mich selbst. Ich schrieb:
"Bedenke, daß die 0 rechts für das Nullelement Deines Vektorraumes steht, also für das Nullpolynom.
Dann hatte ich zuvor nach der Gleichheit von Polynomen gefragt, nicht ganz grundlos."
(Was studierst Du eigentlich? Ein Eintrag im Profil wäre wirklich hilfreich.)
Nun mit dem Holzhammer: wir haben links ein Polynom, rechts ein Polynom.
Wann sind die gleich?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:36 Mi 21.12.2011 | | Autor: | rollroll |
ich kann mich eigentlich nur wiederholen und die definition zitieren, zwei polynome sind gleich wenn sie denselben grad haben und in allen koeffizienten übereinstimmen.
Ich weiß nicht, was du sonst hören willst...
Speziell:
$ [mm] \lambda_{0}x^{0}+ \lambda_{1}x^{1}+...+\lambda_{n}x^{n} [/mm] = 0$
daraus folgt, dass [mm] \lambda_{0}=\lambda{1}=\lambda_{n}= [/mm] 0 sein muss
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:44 Mi 21.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> ich kann mich eigentlich nur wiederholen und die definition
> zitieren, zwei polynome sind gleich wenn sie denselben grad
> haben und in allen koeffizienten übereinstimmen.
> Ich weiß nicht, was du sonst hören willst... Speziell:
> [mm]\lambda_{0}x^{0}+ \lambda_{1}x^{1}+...+\lambda_{n}x^{n} = 0[/mm]
>
> daraus folgt, dass [mm]\lambda_{0}=\lambda{1}=\lambda_{n}=[/mm] 0
> sein muss
Ja, [mm] \lambda_{0}=\lambda_{1}=...= \lambda_{n}= [/mm] 0
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:03 Mi 21.12.2011 | | Autor: | rollroll |
Gut, damit hätte man die lineare Unabhängigkeit, bleibt noch zu zeigen , dass ein erzeugendensystem vorliegt. B ist ein erzeugendensystem des Vektorraums der Polynome, da jeder Vektor durch mindestens eine Linearkombination der Vektoren aus B dargestellt werden kann.
Wie zeigt man das und wie bestimmt man dann [mm] _{B}M_{B}\bruch{d}{dx} [/mm] Wenn man jetzt nur mal (quasi als Ansatz) [mm] P=(1,x,x^{2})
[/mm]
betrachten würde, dann wäre ja die Abbildungsmatrix [mm] \pmat{ 0 & 1 &0 \\ 0 & 0 &2 \\ 0&0 & 0 }, [/mm] weil z.B.: [mm] \bruch{d}{dx}(x)=1=1*1+0*x+0*x^{2}
[/mm]
Ich weiß, dass das nur ein Beispiel ist, vielelicht geht's allgemein ja ähnlich...?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:15 Do 22.12.2011 | | Autor: | rollroll |
Wie drückt man das denn dann allgemein aus?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:50 Do 22.12.2011 | | Autor: | fred97 |
Schreib doch mal die Fääle n=3 und n=4 auf.
Dann siehst Du sicher, wie das allgemein ausschaut.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:02 Do 22.12.2011 | | Autor: | rollroll |
Also vorher hatte ich ja schon n=2 angegeben.
$ [mm] \pmat{ 0 & 1 &0 \\ 0 & 0 &2 \\ 0&0 & 0 }, [/mm] $
n=3
$ [mm] \pmat{ 0 & 1 &0 &0\\ 0 & 0 &2 &0\\ 0&0 & 0&3 \\0 & 0 & 0 & 0 }, [/mm] $
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> Also vorher hatte ich ja schon n=2 angegeben.
> [mm]\pmat{ 0 & 1 &0 \\
0 & 0 &2 \\
0&0 & 0 },[/mm]
> n=3
> [mm]\pmat{ 0 & 1 &0 &0\\
0 & 0 &2 &0\\
0&0 & 0&3 \\
0 & 0 & 0 & 0 },[/mm]
Hallo,
ja, ganz entzückend.
Kannst Du Dir denn jetzt vorstellen, wie dies für [mm] P_n [/mm] allgemein aussieht?
Du solltest diese Matrizen ja nicht zum Spaß aufschreiben oder um Fred zu helfen.
Sie sollten Dir zu einer Idee verhelfen.
Und?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:16 Do 22.12.2011 | | Autor: | rollroll |
So
0 1 0 .......0
: 0 2 0 .....0
: : 0 :
: : : n
0............0
Und die Diagonale würde ich auch noch mit Pünktchen
versehen (da soll dann stehen 1 2 3 .... n)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:18 Do 22.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> So
> 0 1 0 .......0
> : 0 2 0 .....0
> : : 0 :
> : : : n
> 0............0
>
> Und die Diagonale würde ich auch noch mit Pünktchen
> versehen (da soll dann stehen 1 2 3 .... n)
Bingo ! Du hast mir sehr geholfen.
FRED
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:30 Do 22.12.2011 | | Autor: | rollroll |
na dann ist ja alles super 
Gut, dann zum letzten teil der Aufgabe, der letzten Frage von a)
Wann sind zwei Restklassen [f], [g] zweier polynome f,g [mm] \in P_{n} [/mm] linear abhängig in [mm] P_{n}/Kern \bruch{d}{dx}.
[/mm]
Den Kern von [mm] \bruch{d}{dx} [/mm] hatten wir ja schon bestimmt. ich weiß aber nicht so recht, was ich mit den restklassen zweier Polynome anfangen soll.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:38 Do 22.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> na dann ist ja alles super
>
> Gut, dann zum letzten teil der Aufgabe, der letzten Frage
> von a)
> Wann sind zwei Restklassen [f], [g] zweier polynome f,g
> [mm]\in P_{n}[/mm] linear abhängig in [mm]P_{n}/Kern \bruch{d}{dx}.[/mm]
>
> Den Kern von [mm]\bruch{d}{dx}[/mm] hatten wir ja schon bestimmt.
> ich weiß aber nicht so recht, was ich mit den restklassen
> zweier Polynome anfangen soll.
Bevor ich hier aushole, ein paar Fragen an Dich:
Ist V ein Vektorraum und U ein Untervektorraum von V, ist Dir dann bekannt, was man unter dem Quotientenraum V/U versteht ?
Ist Dir bekannt, wie V/U zu einem Vektorraum gemacht wird ?
FRED
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:50 Do 22.12.2011 | | Autor: | rollroll |
> Bevor ich hier aushole, ein paar Fragen an Dich:
>
> Ist V ein Vektorraum und U ein Untervektorraum von V, ist
> Dir dann bekannt, was man unter dem Quotientenraum V/U
> versteht ?
>
Ja, also dann ist (U,+) abelsch, UG von (V,+) und Normalteiler. Auf (V/U) ist auch die Skalarmultiplikation definiert. (V/U,+,*) ist dann der Quotientenraum.
[mm] \pi [/mm] : V--> V/U: x --> [x].
> Ist Dir bekannt, wie V/U zu einem Vektorraum gemacht wird
> ?
>
> FRED
>
> >
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:44 Do 22.12.2011 | | Autor: | fred97 |
Na ja.....
Für f,g [mm] \in [/mm] V gilt:
[f] und [g] sind linear abhängig
[mm] \gdw [/mm]
es ex. [mm] \alpha \in \IR [/mm] mit: [f] = [mm] \alpha [/mm] [g] [mm] =[\alpha [/mm] g]
[mm] \gdw [/mm]
es ex. [mm] \alpha \in \IR [/mm] mit: f - [mm] \alpha [/mm] g [mm] \in [/mm] kern [mm] (\bruch{d}{dx})
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
es ex. [mm] \alpha \in \IR [/mm] mit: $f'- [mm] \alpha [/mm] g'=0$
[mm] \gdw
[/mm]
es ex. [mm] \alpha \in \IR [/mm] mit: $f- [mm] \alpha [/mm] g$ ist konstant.
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:32 Do 22.12.2011 | | Autor: | rollroll |
Super, danke FRED!
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> Gut, damit hätte man die lineare Unabhängigkeit
von [mm] (1,x,x^2,..., x^n),
[/mm]
> bleibt
> noch zu zeigen , dass ein erzeugendensystem vorliegt. B ist
> ein erzeugendensystem des Vektorraums der Polynome, da
> jeder Vektor durch mindestens eine Linearkombination der
> Vektoren aus B dargestellt werden kann.
> Wie zeigt man das
Hallo,
wie sehen die Elemente aus [mm] P_n [/mm] aus?
Sei [mm] p\in P_n.
[/mm]
Dann gibt es [mm] ...\in \IR [/mm] mit p= ....
Und dann kannst Du einfach schreiben: offensichtlich ist p eine linearkombination von (1,x, [mm] x^2,..., x^n).
[/mm]
Hier ist das Wort "offensichtlich" angebracht, weil der Sachverhalt wirklich offensichtlich ist.
Gruß v. Angela
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