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Forum "Lineare Abbildungen" - Kern und Bild bestimmen
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Kern und Bild bestimmen: Rückfrage, Idee Hilfe, Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:49 Mo 18.06.2018
Autor: Dom_89

Aufgabe
Bestimme Kern und Bild der linearen Abbildung L : [mm] \IR^{3} \to \IR^{2} [/mm] definiert durch [mm] L(\overrightarrow{x}) [/mm] = [mm] \pmat{ x_{1} & -x_{2} & +2x_{3} \\ 2x_{1} & -3x_{2}} [/mm]
und verifiziere die Dimensionsformel

Hallo,

hier einmal mein Vorgehen:

Für den Kern:

[mm] L(\overrightarrow{x}) [/mm] = [mm] \pmat{ x_{1} & -x_{2} & +2x_{3} \\ 2x_{1} & -3x_{2}} [/mm]

[mm] \pmat{ 1 & -1 & 2 | 0 \\ 2 & -3 & 0 | 0 } [/mm]

II - 2I ergibt:

[mm] \pmat{ 1 & -1 & 2 | 0 \\ 0 & -1 & -4 | 0 } [/mm]

Setzte [mm] x_{3} [/mm] = t

In II ergibt sich damit:

[mm] -x_{2}-4x_{3}= [/mm] 0 [mm] \Rightarrow x_{2} [/mm] = [mm] -4x_{3} [/mm] = -4t

In I ergibt sich damit:

[mm] x_{1}-x_{2}+2x_{3} [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow x_{1} [/mm] = [mm] -6x_{3} [/mm] = -6t

[mm] Kern(A_{L}) [/mm] = [mm] {t\vektor{-6 \\ -4 \\ 1};t\in\IR} [/mm]

[mm] dim(Kern(A_{L})) [/mm] = 1

Für das Bild:

[mm] \pmat{ 1 & -1 & 2 \\ 2 & -3 & 0 }*\vektor{(\overrightarrow{x_{1}}) \\ (\overrightarrow{x_{2}})} [/mm] = [mm] \pmat{ 1x_{1} & -1x_{2} & +2x_{3} \\ 2x_{1} & -3x_{2} & +0x_{3}} [/mm]

[mm] \Rightarrow x_{1}\vektor{1 \\ 2}+x_{2}\vektor{-1 \\ -3}+x_{3}\vektor{2 \\ 0} [/mm]

[mm] Bild(A_{L}) [/mm] = [mm] {r\vektor{1 \\ 2}+s\vektor{-1 \\ -3};r,s\in\IR} [/mm]

[mm] dim(Bild(A_{L})) [/mm] = 2

Dimensionsformel:

dim(V) = dim(Bild) + dim(Kern)
3 = 2+1
3=3

Nun zu meinen Fragen:

- Ist mein Vorgehen hier grundsätzlich soweit in Ordnung gewesen, oder kann/muss ich etwas anders machen?

- Beim Bild ist es doch so, dass man alle linear Unabhängigen nehmen soll; in meinem Fall sind doch alle drei linear Unabhängig !? Was mache ich in einem solchen Fall dann?

Vielen Dank für eure Hilfe!

        
Bezug
Kern und Bild bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:02 Mo 18.06.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> Bestimme Kern und Bild der linearen Abbildung L : [mm]\IR^{3} \to \IR^{2}[/mm]
> definiert durch [mm]L(\overrightarrow{x})[/mm] = [mm]\pmat{ x_{1} & -x_{2} & +2x_{3} \\ 2x_{1} & -3x_{2}}[/mm]

>

> und verifiziere die Dimensionsformel
> Hallo,

>

> hier einmal mein Vorgehen:

>

> Für den Kern:

>

> [mm]L(\overrightarrow{x})[/mm] = [mm]\pmat{ x_{1} & -x_{2} & +2x_{3} \\ 2x_{1} & -3x_{2}}[/mm]

>

> [mm]\pmat{ 1 & -1 & 2 | 0 \\ 2 & -3 & 0 | 0 }[/mm]

>

> II - 2I ergibt:

>

> [mm]\pmat{ 1 & -1 & 2 | 0 \\ 0 & -1 & -4 | 0 }[/mm]

>

> Setzte [mm]x_{3}[/mm] = t

>

> In II ergibt sich damit:

>

> [mm]-x_{2}-4x_{3}=[/mm] 0 [mm]\Rightarrow x_{2}[/mm] = [mm]-4x_{3}[/mm] = -4t

>

> In I ergibt sich damit:

>

> [mm]x_{1}-x_{2}+2x_{3}[/mm] = 0 [mm]\Rightarrow x_{1}[/mm] = [mm]-6x_{3}[/mm] = -6t

>

> [mm]Kern(A_{L})[/mm] = [mm]{t\vektor{-6 \\ -4 \\ 1};t\in\IR}[/mm]

>

> [mm]dim(Kern(A_{L}))[/mm] = 1

>

> Für das Bild:

>

> [mm]\pmat{ 1 & -1 & 2 \\ 2 & -3 & 0 }*\vektor{(\overrightarrow{x_{1}}) \\ (\overrightarrow{x_{2}})}[/mm]
> = [mm]\pmat{ 1x_{1} & -1x_{2} & +2x_{3} \\ 2x_{1} & -3x_{2} & +0x_{3}}[/mm]

>

> [mm]\Rightarrow x_{1}\vektor{1 \\ 2}+x_{2}\vektor{-1 \\ -3}+x_{3}\vektor{2 \\ 0}[/mm]

>

> [mm]Bild(A_{L})[/mm] = [mm]{r\vektor{1 \\ 2}+s\vektor{-1 \\ -3};r,s\in\IR}[/mm]

>

> [mm]dim(Bild(A_{L}))[/mm] = 2

>

> Dimensionsformel:

>

> dim(V) = dim(Bild) + dim(Kern)
> 3 = 2+1
> 3=3

>

> Nun zu meinen Fragen:

>

> - Ist mein Vorgehen hier grundsätzlich soweit in Ordnung
> gewesen, oder kann/muss ich etwas anders machen?

Soweit ich das sehe, ist alles bis auf eine Kleinigkeit richtig. Bei der Berechnung des Kerns hast du in der Lösung von [mm] x_1 [/mm] einen Rechenfehler, das sollten IMO [mm] x_1=-2t [/mm] sein.

> - Beim Bild ist es doch so, dass man alle linear
> Unabhängigen nehmen soll; in meinem Fall sind doch alle
> drei linear Unabhängig !?

Nein, das ist ein Irrtum. Drei zweidimensionale Spaltenvektoren können niemals linear unabhängig sein (überlege mal weshalb, Stichwort Basis...).

> Was mache ich in einem solchen
> Fall dann?

Genau das, was du getan hast. Eine Basis des Bilds kannst du aber auch direkt berechnen, indem du die Abbildungsmatrix mit allen Einheitsvektoren des Urbildraums multiplizierst, also hier mit [mm] (1,0)^T [/mm] und [mm] (0,1)^T. [/mm]


Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
Kern und Bild bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:59 Di 19.06.2018
Autor: Dom_89

Hallo Diophant,

vielen Dank für die schnelle Antwort!

Ich habe mir jetzt nochmal die Berechnung von [mm] x_{1} [/mm] genau angeschaut und komme aber immer wieder auf [mm] x_{1}=-6t [/mm]

Habe ich hier etwas übersehen bzw. dann doch falsch gemacht?

Bezüglich des Bildes bin ich mir aber immer noch etwas unsicher:

In meiner Aufgabe sind doch alle drei Vektoren linear Unabhängig, oder ?
Ich habe dazu von allen möglichen Kombinationen die einmal die Determinante berechnet und komme immer auf ein Ergebnis [mm] \not= [/mm] 0 was doch bedeutet, dass sie linear Unabhängig sind.

Ich habe hier in meiner Lösung ja dann

[mm] Bild(A_{L}={r\vektor{1 \\ 2}+s\vektor{-1 \\ -3};r,s\in\IR} [/mm] gewählt

Möglich sind doch dann auch

[mm] Bild(A_{L}={r\vektor{1 \\ 2}+s\vektor{2 \\ 0};r,s\in\IR} [/mm] und

[mm] Bild(A_{L}={r\vektor{-1 \\ -3}+s\vektor{2 \\ 0};r,s\in\IR} [/mm]

oder ?

Viele Dank für die Hilfe

Bezug
                        
Bezug
Kern und Bild bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:22 Di 19.06.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> Ich habe mir jetzt nochmal die Berechnung von [mm]x_{1}[/mm] genau
> angeschaut und komme aber immer wieder auf [mm]x_{1}=-6t[/mm]

>

> Habe ich hier etwas übersehen bzw. dann doch falsch
> gemacht?

>

Mea culpa.Ich habe das im Kopf gerechnet und einen Vorzeichenfehler begangen. Dein [mm] x_3=-6t [/mm] ist richtig, sorry.

> Bezüglich des Bildes bin ich mir aber immer noch etwas
> unsicher:

>

> In meiner Aufgabe sind doch alle drei Vektoren linear
> Unabhängig, oder ?
> Ich habe dazu von allen möglichen Kombinationen die
> einmal die Determinante berechnet und komme immer auf ein
> Ergebnis [mm]\not=[/mm] 0 was doch bedeutet, dass sie linear
> Unabhängig sind.

>

> Ich habe hier in meiner Lösung ja dann

>

> [mm]Bild(A_{L}={r\vektor{1 \\ 2}+s\vektor{-1 \\ -3};r,s\in\IR}[/mm]
> gewählt

>

> Möglich sind doch dann auch

>

> [mm]Bild(A_{L}={r\vektor{1 \\ 2}+s\vektor{2 \\ 0};r,s\in\IR}[/mm]
> und

>

> [mm]Bild(A_{L}={r\vektor{-1 \\ -3}+s\vektor{2 \\ 0};r,s\in\IR}[/mm]

>

> oder ?

Die Vektoren sind paarweise linear unabhängig, aber alle drei zusammengenommen sind es eben nicht, das ist ein großer Unterschied!

Dennoch kannst du diese drei möglichen Paare natürlich als Basen für das Bild verwenden, da brauchst du auch keine Determinanten berechnen: zwei (vom Nullvektor verschiedene) Spaltenvektoren sind genau dann linear abhängig, wenn sie ein Vielfaches voneinander sind, sonst sind sie linear unabhängig.


Gruß, Diophant

Bezug
                                
Bezug
Kern und Bild bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:43 Di 19.06.2018
Autor: Dom_89

Vielen Dank für die Hilfe :)

Bezug
                        
Bezug
Kern und Bild bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:20 Di 19.06.2018
Autor: HJKweseleit

Was dich offenbar stört, ist folgendes:

Du weißt nun, dass eine Dimension des [mm] \IR_3 [/mm] den Kern bildet, und so bleiben für das (2-dimensionale) Bild nur 2 Dimensionen übrig. Nun gehst du alle drei voneinander linear unabhängigen kanonischen Basisvektoren durch und stellst fest, dass keiner zum Kern gehört.

Der Eindruck ist nun, dass einer dieser drei Vektoren zum Kern gehören müsste.

Tatsächlich gehört zum Kern aber eine spezielle Kombination dieser drei Vektoren, die du ja schon bestimmt hast, sowie alle Vielfachen davon, nämlich $ [mm] {t\vektor{-6 \\ -4 \\ 1};t\in\IR} [/mm] $.

Wenn du nun [mm] \vektor{-6 \\ -4 \\ 1} [/mm] als einen Basisvektor nimmst, kannst du für die zwei fehlenden Basisvektoren des [mm] \IR_3 [/mm] höchstens noch zwei der kanonische Vektoren als Basis hinzunehmen (welche ist allerdings egal).

So ist z.B.  [mm] \vektor{0 \\ 0\\ 1}=1*\vektor{-6 \\ -4 \\ 1} [/mm] + [mm] 6*\vektor{1 \\ 0 \\ 0}+4*\vektor{0\\ 1 \\ 0} [/mm] eine Linearkombination der drei anderen.

Somit wird dann auch [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] auf [mm] \vektor{ 0 \\ 0}+6*\vektor{1 \\ 2}+4*\vektor{-1 \\ -3}=\vektor{2 \\ 0} [/mm] abgebildet.

Bezug
                                
Bezug
Kern und Bild bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:38 Mo 25.06.2018
Autor: Dom_89

Hallo,

vielen Dank noch für die zusätzliche Erläuterung :)

Bezug
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