Kern vom Einsetzungsoperator < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:22 Mi 21.06.2006 | | Autor: | Fahnder |
Hi,
also:
[mm] \beta_A [/mm] : K[x] -> End(V) , f|->f(A)
Wenn A [mm] \circ [/mm] A = [mm] id_V [/mm] gilt und A [mm] \not= id_V [/mm] und A [mm] \not= [/mm] 0 ist. Was gilt dann für den Kern von [mm] \beta_A?
[/mm]
Also ich habe
ker ( [mm] \beta_A) [/mm] = [mm] (x^2 [/mm] - 1) *K[x]
ker ( [mm] \beta_A) [/mm] = (x + 1) *K[x]
Also angeblich sollen beide gelten, kann das sein?
Könnte mir dann einer erklären, wieso dies gilt, woraus man das in der Aufgabe ableitet?
Ich habe gedacht, dass
ker ( [mm] \beta_A) [/mm] = [mm] M_A [/mm] *K[x]
wobei [mm] M_A [/mm] das Minimalpolynom ist und dann versucht es in die gleichung einzusetzen, aber kam zu keinem vernünftigen Ergebnis.
Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt
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Grüße!
Nein, beides gilt nicht, aber eines von beiden.
Wegen [mm] $A^2 [/mm] = [mm] E_n$ [/mm] ist natürlich [mm] $X^2 [/mm] - 1$ im Ideal enthalten. Jetzt gibt es zwei Fälle:
Fall 1: Dies ist tatsächlich das Minimalpolynom, dann wird der Kern von diesem Polynom erzeugt.
Fall 2: Es gibt ein Polynom kleineren Grades, das den Kern erzeugt. Dieses muss ein Teiler von obigem sein, also kommen nur $X + 1$ und $X - 1$ in Frage. Da $A [mm] \not= E_n$ [/mm] kommt letzteres nicht in Frage, es kann also nur das erste sein, nämlich genau dann, wenn $A = - [mm] E_n$ [/mm] (was von der Aufgabe nicht ausgeschlossen ist).
Zusammengefasst: falls $A = - [mm] E_n$, [/mm] dann ist der Kern des Einsetzungshom. erzeugt von $X + 1$, ansonsten wird er von [mm] $X^2 [/mm] - 1$ erzeugt.
Alles klar? 
Lars
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