Kern von Abb. aus einer Matrix < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:16 So 05.12.2010 | | Autor: | Sup |
| Aufgabe | Gegeben ist die Matrix [mm] \pmat{ 3 & 3 & 4 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 1 \\ 2& 0 & 0 & -2 \\ 3 & 3 & 4 & 1 }
[/mm]
a) welchen Wert hat die Determinaten von A?
b) Bestimme den Rang von A
c) Bestimme die Dimension des Bildes von A, des Kernes von A und eine Basis des Kernes von A |
So erstmal hallo zusammen,
mit a) und b) hatte ich eig keine Probleme.
Als Wert von det A habe ich 0 raus.
Durch Spalten- und Zeilenumformung bin ich auf den Rang 3 gekommen.
c) Ich bin mir nich ganz sicher, aber ist der Rang der Matrix IMMER gleich der Dimensions des Bildes?
In dem Fall wäre das 3 und mit Hilfe der Dimensionsformel kriegt man dann für dim Kern (A) = 1.
Sooo, wenn ich nun eine Basis des Kerns bestimmen soll brauche ich zuerst mal den Kern oder?
Also löse ich die Gleichen A*x=0 mit einem linearen Gleichungssystem.
Irgendwie kamm bei mir bei solchen Aufgaben immer raus, dass alle Variabeln =0 sind. So auch bei dieser. Deshalb bin ich mir nicht sicher, ob ich überhaupt richtig auflöse bzw. nach dem Richtigen "suche":
Hier mal meine Schritte [mm] [x=\vektor{a \\ b \\ c \\ d}]
[/mm]
I. 3a+3b+4c+d=0
II. 2a+b+c+d=0
III. 2a-2d=0
IV. 3a+3b+4c+d=0
I.+(-1)*IV. -->
I. 3a+3b+4c+d=0
II. 2a+b+c+d=0
III. 2a-2d=0 -> a=d
V. 2d=0 -> d=0
I. 3b+4c+=0
II. b+c=0
III. a=d
VI. d=0
Jetzt habe ich da zwei Gleichungen übrig.
Aus II. folgt b=-c, was aber I. widersprechen würde, sofern nich b=c=0 sind oder?
Und irgendwie komme ich ab hier nicht mehr weiter
Hoffe ihr könnt mir helfe,
Gruß Sup
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:31 So 05.12.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
Gleichung V. ist falsch. Sie muss 0 = 0 lauten.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:16 So 05.12.2010 | | Autor: | Sup |
Jo stimmt, habe ich auch grade festgestellt.
Dann habe ich folgendes LGS:
I. 3a+3b+4c+d=0
II. 2a+b+c+d=0
III. 2a-2d=0 --> a=d
IV. 3a+3b+4c+d=0
I.+(-1)*IV und a=d eingesetzte -->
V. 4a+3b+4c=0
VI. 3a+b+c=0
VII. 0=0 --> a=d
VIII. 0=0
I+ (-3)*II.
V. 4a+3b+4c=0
IX.-5a+c=0 -->c=5a
VII. 0=0
VIII. 0=0
so dann kann ich das noch in die V. Gleichung einsetzten: 4a+3b+4*(5a)=0 --> 24a+3b=0
Was ist dann mein Kern und eine Basis des Kerns?
Und kriege ich nicht so einen Kern der Dimension 2 raus, aber bräuchte ja einen (siehe 1. Post) mit dim=1...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:04 So 05.12.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
warum brichst du so kurz vor dem Ziel ab ?
Deine letzte Gleichung lautete doch 24a + 3b = 0, also b = -8a, vorher hattest du schon c = 5a und d = a.
Das ergibt doch offenbar für deinen Vektor $ x = [mm] \vektor{a \\ b \\ c \\ d} [/mm] = [mm] \vektor{a \\ -8a \\ 5a \\ a} [/mm] = [mm] a*\vektor{1 \\ -8 \\ 5 \\ 1} [/mm] $
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:14 So 05.12.2010 | | Autor: | Sup |
Arghhh, danke, manchmal bin ich schon ein Depp mit nem Brett vor dem Kopf :D
Und eine Basis des Kerns kriege ich in dem ich für a eine belibige Zahl einsetzte, bspw. 1, richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:27 So 05.12.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
>
> Und eine Basis des Kerns kriege ich in dem ich für a eine
> belibige Zahl einsetzte, bspw. 1, richtig?
"beliebig" falsch, "bspw 1" richtig.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:28 So 05.12.2010 | | Autor: | Sup |
was wären dann noch eine andere Basis des Kerns bzw. was kann ich für a einsetzen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:35 So 05.12.2010 | | Autor: | Sax |
> was kann ich für a einsetzen?
Fast alles.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:37 So 05.12.2010 | | Autor: | Sup |
Ok danke nochmal, damit wären alle fragen beantwortet.
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