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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:25 Mo 21.05.2012 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, daß aus der Bedingung [mm] $\int K(u)\, [/mm] du=1$ folgt, daß [mm] $\int \hat{f}_{h}^{K}(u)\, [/mm] du=1$, wobei [mm] $\hat{f}_{h}^{K}(x)=\frac{1}{nh}\sum_{i=1}^{n}K\left(\frac{x-X_i}{h}\right)$ [/mm] den Kernschätzer bezeichnet. |
[mm] \textit{Moin, moin!}
[/mm]
Ich habe das wie folgt bewiesen und wüsste gerne, ob das in Ordnung ist.
[mm] \underline{\textbf{Beweis}}
[/mm]
[mm] $\int \hat{f}_{h}^{K}(u)\, du=\int\frac{1}{nh}\sum_{i=1}^{n}K\left(\frac{u-X_i}{h}\right)\, du=\frac{1}{nh}\int\sum_{i=1}^{n}K(\omega_i)\, h\cdot d\omega_i=\frac{1}{n}\int\left[K(\omega_1)d\omega_1+\hdots+K(\omega_n)d\omega_n\right]$
[/mm]
[mm] $=\frac{1}{n}\left[\underbrace{\underbrace{\int K(\omega_1)d\omega_1}_{=1~\mbox{n.V.}}+\hdots +\underbrace{\int K(\omega_n)d\omega_n}_{=1~\mbox{n.V.}}}_{=n}\right]=\frac{1}{n}\cdot [/mm] n=1$
----
Hierbei habe ich substituiert wie folgt:
[mm] $\omega_i=\frac{u-X_i}{h}$
[/mm]
Dann folgt:
[mm] $\frac{d\omega_i}{du}=\frac{1}{h}\Leftrightarrow h\cdot d\omega_i=du$
[/mm]
[mm] $\Box$
[/mm]
[mm] \textit{Liebe Grüße!}
[/mm]
mikexx
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:35 Mo 21.05.2012 | | Autor: | mikexx |
Ich zweifle ja daran, ob dies in dem Beweis stimmt:
[mm] $\int\left[K(\omega_1)d\omega_1+\hdots+K(\omega_n)d\omega_n\right]=\int K(\omega_1)d\omega_1+\hdots+\int K(\omega_n)d\omega_n$
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:52 Mo 21.05.2012 | | Autor: | dennis2 |
hi, mikexx !
offenbar muss man hier eine begründung dafür finden, warum man das integral und die summe vertauschen darf, d.h., wieso
[mm] $\frac{1}{n}\int\sum_{i=1}^{n}K(\omega_i)d\omega_i=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\int K(\omega_i)d\omega_i$
[/mm]
gilt.
(ich weiß es gerade auch spontan nicht.)
ansonsten ist der beweis aber okay, würde ich meinen.
also wenn jemand die begründung liefern kann, wäre das nett, ich kann es gerade nicht
ich denke aber es hat was damit zu tun, dass K eine funktion ist, die neben der in der aufgabe angegebenen eigenschaft [mm] $\int\limits_{-\infty}^{\infty}K(x)\, [/mm] dx=1$ noch der eigenschaft [mm] $K(x)\geq [/mm] 0$ genügt. mir hängt da irgendwas im hinterkopf, dass man bei nichtnegativen funktionen diese vertauschung vornehmen darf, aber wie gesagt, genau weiß ich es grad nicht und wäre nett, wenn jemand einspringt.
lg dennis
edit: ich meine das stichwort ist hier satz von beppo levi
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:36 Mo 21.05.2012 | | Autor: | dennis2 |
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> [mm]\underline{\textbf{Beweis}}[/mm]
>
> [mm]\int \hat{f}_{h}^{K}(u)\, du=\int\frac{1}{nh}\sum_{i=1}^{n}K\left(\frac{u-X_i}{h}\right)\, du=\frac{1}{nh}\int\sum_{i=1}^{n}K(\omega_i)\, h\cdot d\omega_i[/mm]
bis hierhin ist es okay (auch die substitution).
dann folgt mit dem satz von beppo levi (bzw. einer anwendung davon), dass du summe und integral vertauschen darfst:
sei [mm] $(f_n)$ [/mm] folge in [mm] $\mathcal{M}^{+}:=\left\{f\colon X\to [0,\infty], f\mbox{ messbar}\right\}$ [/mm] und [mm] $f=\sum_{n\in\mathbb{N}}f_n$. [/mm] Dann gilt: [mm] $\int f\, d\mu=\sum_{n}\int f_n\, d\mu$.
[/mm]
die [mm] $K(\omega_i)$ [/mm] bilden eine solche folge
(denn K besitzt die eigenschaften einer gewöhnlichen dichtefunktion)
also kannst du integral und summe miteinander vertauschen und so kommst du dann sauber auf das von dir bereits hingeschriebene ergebnis 1 (jedes der integrale hat n.V. wert 1 und als summe also den wert n).
lg dennis
(sollte irgendwo ein fehler sein, was ich nie ausschließen möchte, so korrigiere man mich bitte !)
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:26 Mo 21.05.2012 | | Autor: | mikexx |
Ist die Funktion K denn messbar?
Oder allgemeiner gefragt: Sind Dichtefunktionen denn messbar?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:22 Di 22.05.2012 | | Autor: | mikexx |
Ich hoffe, die Frage ist nicht zu blöd. 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Mi 23.05.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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