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| Aufgabe | Sie der reelle Vektorraum V nicht trivial.
[mm] P:=\{A\subset V | span(A) = V\}
[/mm]
Beweise oder widerlege, ob zu jeder Kette (bezüglich Mengeninklusion) in P eine untere Schranke existiert. |
Ich würde sagen ja, die Basen von V müssten doch untere Schranken für alle Ketten sein...
Doch wie beweis ich das? Irgendwie bin ich mir etwas unsicher, da V auch unendlich dimensional sein könnte.
Kann man das irgendwie mit einem Widerspruchsbeweis machen, wenn man sich eine Kette ohne untere Schranke nimmt?
Hat das irgendwas mit dem Auswahlaxiom zu tun???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:21 So 18.04.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sie der reelle Vektorraum V nicht trivial.
> [mm]P:=\{A\subset V | span(A) = V\}[/mm]
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> Beweise oder widerlege, ob zu jeder Kette (bezüglich
> Mengeninklusion) in P eine untere Schranke existiert.
>
> Ich würde sagen ja, die Basen von V müssten doch untere
> Schranken für alle Ketten sein...
Da liegst du leider falsch.
Schau dir mal den Vektorraum $V = [mm] \IR$ [/mm] an: dann ist $P = [mm] \{ A \subseteq \IR \mid A \text{ enthaelt ein Element } \neq 0 \}$.
[/mm]
Kannst du jetzt eine abzaehlbare Folge von aufsteigenden Teilmengen von [mm] $\IR$ [/mm] (die alle etwas [mm] $\neq [/mm] 0$ enthalten) finden, deren Schnitt leer ist? Oder eben [mm] $\{ 0 \}$?
[/mm]
LG Felix
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> Da liegst du leider falsch.
>
> Schau dir mal den Vektorraum [mm]V = \IR[/mm] an: dann ist [mm]P = \{ A \subseteq \IR \mid A \text{ enthaelt ein Element } \neq 0 \}[/mm].
>
> Kannst du jetzt eine abzaehlbare Folge von aufsteigenden
> Teilmengen von [mm]\IR[/mm] (die alle etwas [mm]\neq 0[/mm] enthalten)
> finden, deren Schnitt leer ist? Oder eben [mm]\{ 0 \}[/mm]?
>
> LG Felix
>
Ich hab ja zuerst auch versucht, ein Gegenbeispiel zu finden, mit dem selben Beispielvektorraum. Aber irgendwie hab ich es nicht hingekriegt.
Kann so eine Kette existieren?
Ich meine, dass jedes Element der Kette doch zumindest ein Element ungleich 0 gemein haben muss...
Ist dem nicht so, ist da entweder was kein Erzeugendensystem oder das sind keine Teilmengen voneinander, also wäre es doch keine Inklusionskette in P...
Wie kann der Schnitt leer sein oder 0 sein???
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Hiho,
du scheinst die ganze Zeit von endlichen Ketten auszugehen.
Also mir fällt sofort eine unendliche Kette von Mengen in [mm] \IR [/mm] (sogar Intervalle) ein, deren Schnitt leer ist bzw. nur die 0 enthält.
MFG,
Gono.
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