Kettenbruch, rekursive Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:17 Do 15.01.2009 | | Autor: | lucana |
| Aufgabe | Wir betrachten den Kettenbruch a und die Kettenwurzel b:
[mm]a=\bruch{1}{1+\bruch{1}{1+\bruch{1+\bruch{1}{1+...}}}[/mm] und [mm]b=\wurzel{1+\wurzel{1+\wurzel{1+...}}}[/mm].
a) Zeigen Sie, dass die Berechnun von a äquivalent dazu ist, den Grenzwert der rekursiv definierten Folge [mm](a_n)_{x\in\IN}[/mm],
[mm]a_{n+1}=\bruch{1}{1+a_n},a_0 = 1, n\in\IN_0[/mm],
zu bestimmen.
b) Berechnen Sie unter der Annahme ,dass die Folge [mm](a_n)_{x\in\IN}[/mm] konvergiert, ihren Grenzwert.
c) Beweisen Sie, dass die Folge [mm](a_n)_{x\in\IN}[/mm] in der Tat konvergiert.
d) Zeigen Sie, dass die Kettenwurzel konvergiert und berechnen Sie b. |
Ich komme bei dieser Aufgabe einfach auf keinen grünen Zweig.
Wenn man die ersten Folgenglieder entwickelt, merkt man ja, dass sich daraus der Kettenbruch entwickelt - nur eben von unten aufgebaut. Aber reicht schon allein diese sichtbare Ähnlichkeit, um a) zu lösen? Denn gezeigt ist ja da noch lange nichts.
Außerdem weiß ich absolut nicht, wie der Grenzwert zu berechnen ist, da ich ja immer nur ein Folgenglied notieren kann, wie soll ich da einen limes berechnen? Dafür brauche ich ja einen Term, den ich auch wirklich aufschreiben kann...
Wäre toll, wenn mir jemand helfen könnte...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo lucana, ![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]")
Etwas mehr Lösungsansatz erwarten wir hier schon. Lies mal die Forenregeln.
Aber ich will Dich damit nicht gleich entmutigen. Du bist hier schon richtig. Die meisten Aufgabenteile kannst Du mit folgendem Tipp lösen:
Nimm an, dass wenn ein Grenzwert besteht, Du in bester Näherung annehmen darfst, dass [mm] a_{n+1}=a_{n}=a.
[/mm]
Schau Dir daraufhin den Kettenbruch und die Kettenwurzel an. Bei beiden bietet sich aufgrund der unendlich fortgesetzten Darstellung eine quasi rekursive Gleichsetzung an. Hierzu ein kleines Beispiel:
Sei [mm] a_{n+1}=1-a_n+a_n^2-a_n^3+a_n^4-...
[/mm]
Wenn ein Grenzwert a existiert, dann wird gelten:
[mm] a=1-a+a^2-a^3+a^4-...
[/mm]
Hier kommt es auf eine geschickte Vorgehensweise an. Natürlich kannst Du umformen zu [mm] -1=-2a+a^2-a^3+a^4...
[/mm]
Eine Lösung ist so aber schlecht zu finden.
Du könntest auch anders umformen: [mm] a=1-a(1-a+a^2-a^3+a^4...)=1-a*a
[/mm]
Aus [mm] a=1-a^2 [/mm] kannst Du dann leicht [mm] a=\bruch{-1\pm\wurzel{5}}{2} [/mm] bestimmen.
So ähnlich geht das in Deiner Aufgabe.
lg,
reverend
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