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Forum "Algebra" - Kettenhomotopie nachrechnen
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Kettenhomotopie nachrechnen: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 21:41 So 02.06.2013
Autor: Anfaenger101

Hallo Leute,

ich arbeite gerade einen Beweis durch, bei welchen in einem Zwischenschritt eine kontrahierende Kettenhomotopie angegeben wird.
Es wird allerdings nicht nachgerechnet, dass dies eine solche ist, es heißt lediglich, dass man dies leicht nachrechnen kann,
also hab ich mal versucht, das zu machen.

Zuerst zur Ausgangslage: Es sei \mathfrak{g} eine Lie-Algebra, welche als R-Modul frei ist und es bezeichne U\mathfrak{g} die universelle einhüllende Algebra.
Außerdem sei (e_i)_{i \in I} eine geordnete Basis von \mathfrak{g}. Man betrachtet nun Elemente der Form e_{k_1} \cdots e_{k_m} \otimes e_{l_1} \wedge \cdots \wedge e_{l_n} mit k_1 \leq k_2 \leq \cdots \leq k_m und l_1 < l_2 < \cdots < l_n.
Nach dem Theorem von Birkhoff-Witt sind das Basiselemente von U\mathfrak{g} \otimes_{R} \Lambda^n\mathfrak{g}.

Es ist nun d^p_n(e_{k_1} \cdots e_{k_m} \otimes e_{l_1} \wedge \cdots \wedge e_{l_n}) = \sum\limits_{i=1}^n (-1)^{i+1} e_{k_1} \cdots e_{k_m} e_{l_i} \otimes e_{l_1} \wedge \cdots \wedge ê_{l_i} \wedge \cdots \wedge e_{l_n}
und \Sigma_n(e_{k_1} \cdots e_{k_m} \otimes e_{l_1} \wedge \cdots \wedge e_{l_n}) = (-1)^n e_{k_1} \cdots e_{k_{m-1}} \otimes e_{l_1} \wedge \cdots \wedge e_{l_n} \wedge e_{k_m} falls k_m > l_n und \Sigma_n = 0 falls k_m \leq l_n

Es ist noch zu bemerken, dass sich in der Situation des Beweises das Differential nicht ändert,
sollte man die Reihenfolge in dem Prdoukt e_{k_1} \cdots e_{k_m} ändern.

Es wird nun behauptet, dass d^p_{n+1} \Sigma_n + \Sigma_{n-1} d^p_n = 1 gilt, und genau da hänge ich.

Für den Fall k_m > l_n gilt:
(d^p_{n+1} \Sigma_n + \Sigma_{n-1} d^p_n)(e_{k_1} \cdots e_{k_m} \otimes e_{l_1} \wedge \cdots \wedge e_{l_n}) \\ = d^p_{n+1}((-1)^n e_{k_1} \cdots e_{k_{m-1}} \otimes e_{l_1} \wedge \cdots \wedge e_{l_n} \wedge e_{k_m}) + \Sigma_{n-1}(\sum\limits_{i=1}^n (-1)^{i+1} e_{k_1} \cdots e_{k_m} e_{l_i} \otimes e_{l_1} \wedge \cdots \wedge ê_{l_i} \wedge \cdots \wedge e_{l_n})
= (-1)^n \sum\limits_{i=1}^n (-1)^{i+1} e_{k_1} \cdots e_{k_{m-1}} e_{l_i} \otimes e_{l_1} \wedge \cdots \wedge ê_{l_i} \wedge \cdots \wedge e_{l_n} \wedge e_{k_m} \\ + (-1)^{n+1} e_{k_1} \cdots e_{k_{m-1}} e_{k_m} \otimes e_{l_1} \wedge \cdots \wedge e_{l_n} \\ + \sum\limits_{i=1}^n (-1)^{i+1} (-1)^{n-1} e_{k_1} \cdots e_{k_m} \otimes e_{l_1} \wedge \cdots \wedge ê_{l_i} \wedge \cdots \wedge e_{l_n} \wedge e_{l_i}

Allerdings sehe ich jetzt nicht, wieso das e_{k_1} \cdots e_{k_m} \otimes e_{l_1} \wedge \cdots \wedge e_{l_n} sein soll.
Übersehe ich was oder hab ich mich schlichtweg nur verrechnet?

Freue mich über jede Hilfe!

Viele Grüße
Anfänger
        
Bezug
Kettenhomotopie nachrechnen: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:20 Do 06.06.2013
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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