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Kettenregel: Herleitung d. Ableitung (x^n)'
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:01 Mo 24.09.2018
Autor: sancho1980

Aufgabe
"Die Ableitung [mm] x^a [/mm] folgt aus [mm] x^a [/mm] = exp(a ln(x)) mit der Kettenregel."

Hallo
es gibt im Internet eine ganze Reihe von Erklärungen, warum [mm] (x^a)' [/mm] = a [mm] x^{a-1}. [/mm] Aber in meinem Buch steht ganz nochalant dieser Satz: "Die Ableitung [mm] x^a [/mm] folgt aus [mm] x^a [/mm] = exp(a ln(x)) mit der Kettenregel."

Ich versuche gerade, das nachzuvollziehen, mache aber anscheinend einen Fehler:

Kettenregel: (f(g(x)))' = (f'(g(x)))g'(x)

Also:

[mm] x^a [/mm] = exp(a ln(x)) = f(g(x)) mit f(x) = exp(x) und g(x) = a ln(x)

Daher:

[mm] (x^a)' [/mm] = exp(a ln(x))' = (f'(g(x)))g'(x) = exp(a ln(x)) ((a ln(x))')

Mit der Produktregel folgt:

(a ln(x))' = (ln(x) + [mm] \bruch{a}{x}) [/mm]

also:

[mm] (x^a)' [/mm] = exp(a ln(x))' = (f'(g(x)))g'(x) = exp(a ln(x)) (ln(x) + [mm] \bruch{a}{x}) [/mm]
= ln(x) [mm] x^a [/mm] + a [mm] x^{a - 1} [/mm]

Kann mir einer erklären was ich falsch mache?

Danke,

Martin

        
Bezug
Kettenregel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:11 Mo 24.09.2018
Autor: fred97


> "Die Ableitung [mm]x^a[/mm] folgt aus [mm]x^a[/mm] = exp(a ln(x)) mit der
> Kettenregel."
>  Hallo
>  es gibt im Internet eine ganze Reihe von Erklärungen,
> warum [mm](x^a)'[/mm] = a [mm]x^{a-1}.[/mm] Aber in meinem Buch steht ganz
> nochalant dieser Satz: "Die Ableitung [mm]x^a[/mm] folgt aus [mm]x^a[/mm] =
> exp(a ln(x)) mit der Kettenregel."
>  
> Ich versuche gerade, das nachzuvollziehen, mache aber
> anscheinend einen Fehler:
>  
> Kettenregel: (f(g(x)))' = (f'(g(x)))g'(x)
>  
> Also:
>  
> [mm]x^a[/mm] = exp(a ln(x)) = f(g(x)) mit f(x) = exp(x) und g(x) = a
> ln(x)
>  
> Daher:
>  
> [mm](x^a)'[/mm] = exp(a ln(x))' = (f'(g(x)))g'(x) = exp(a ln(x)) ((a
> ln(x))')

Bis hierher ist alles O.K.


>  
> Mit der Produktregel folgt:
>  
> (a ln(x))' = (ln(x) + [mm]\bruch{a}{x})[/mm]

Hoppla ! Da hast Du Dich vertan. Allgemein: ist a eine Konstante und h eine differenzierbare Funktion, so ist (ah(x))' = ah'(x).

Somit ist $ (a [mm] \ln(x))'=a (\ln(x))'=a \bruch{1}{x}$ [/mm]


>  
> also:
>  
> [mm](x^a)'[/mm] = exp(a ln(x))' = (f'(g(x)))g'(x) = exp(a ln(x))
> (ln(x) + [mm]\bruch{a}{x})[/mm]
>   = ln(x) [mm]x^a[/mm] + a [mm]x^{a - 1}[/mm]
>  
> Kann mir einer erklären was ich falsch mache?
>  
> Danke,
>  
> Martin


Bezug
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