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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Kettenregel
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Kettenregel: Verständnisproblem
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:51 So 10.03.2019
Autor: sancho1980

Aufgabe
Kettenregel: Sind f : D [mm] \subseteq \IR^n \to \IR^m [/mm] und g : E [mm] \subseteq \IR^m \to \IR^k [/mm] differenzierbar an der Stelle [mm] x_0 \in [/mm] D bzw. [mm] y_0 [/mm] = [mm] f(x_0) \in [/mm] E, dann ist auch die Verkettung g [mm] \circ [/mm] f differenzierbar an der Stelle [mm] x_0, [/mm] und die Ableitung ist das Produkt der Jacobi-Matrizen

[mm] \bruch{\partial(g \circ f)}{\partial x} (x_0) [/mm] = [mm] \bruch{\partial g}{\partial y}(y_0) [/mm] * [mm] \bruch{\partial f}{\partial x}(x_0) [/mm]

Hallo

ich habe wieder mal ein Verständnisproblem.

Es geht um die Funktion

g(t) = [mm] f(x_0 [/mm] + at)

wobei f : [mm] \IR^n \to \IR, [/mm] a ein Richtungsvektor und t ein Skalar ist.

Jetzt steht hier:

"Die Ableitung g'(0) ist nach der Kettenregel gegeben durch das Matrixprodukt

g'(0) = [mm] \bruch{\partial f}{\partial x} (x_0) [/mm] * a = [mm] \summe_{j=1}^{n} \bruch{\partial f}{\partial x_j} (x_0) a_j" [/mm]

Das kann ich soweit noch nachvollziehen: Ich habe die äußere Funktion f(y) und die innere Funktion [mm] x_0 [/mm] + at. Daher ist die Ableitung der Verkettung gleich dem Produkt aus der Ableitung der äußeren [mm] (\bruch{\partial f}{\partial x}(x_0)) [/mm] Funktion und der Ableitung der inneren (a). Soweit sicher korrekt?

Nun geht es aber um die zweite Ableitung. Hier folgt angeblich (wieder) "aus der Kettenregel":

g''(0) = [mm] a^T [/mm] * [mm] \bruch{\partial^2 f}{\partial x^2}(x_0) [/mm] * a

Wie kommt man darauf?

Ich denke mal, mit der Kettenregel kann ich zwar [mm] \bruch{\partial f}{\partial x}(x_0) [/mm] ableiten (= [mm] \bruch{\partial^2 f}{\partial x^2}(x_0) [/mm] * a)

Aber wie kommt es, dass dann bei der Ableitung von g'(0) noch a transponiert und vorangestellt wird? Das soll irgendwie "aus der Kettenregel" folgen?

        
Bezug
Kettenregel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:38 So 10.03.2019
Autor: sancho1980

Kann mir hier keiner weiterhelfen?

Bezug
                
Bezug
Kettenregel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:35 Mo 11.03.2019
Autor: fred97


> Kann mir hier keiner weiterhelfen?

Habe ich vor einer Minute gemacht, so hoffe ich jedenfalls.


Bezug
        
Bezug
Kettenregel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:34 Mo 11.03.2019
Autor: fred97

$f: [mm] \IR^n \to \IR$ [/mm] sei in einer offenen Umgebung $U$ von [mm] $x_0 \in \IR^n$ [/mm] zweimal differenzierbar. Weiter sei $a [mm] \in \IR^n$ [/mm] ein Richtungsvektor.

Da U offen ist , gibt es ein [mm] \delta [/mm] >0 mit: [mm] $x_0+ta \in [/mm] U$ für $|t|< [mm] \delta.$ [/mm]

Für solche t sei [mm] $g(t):=f(x_0+ta)$. [/mm]

Nach der Kettenregel ist g auf dem Intervall $I:=(- [mm] \delta, \delta)$ [/mm] differenzierbar und es gilt

$g'(t)=  [mm] \bruch{\partial f}{\partial x} (x_0+ta) \cdot [/mm] a =  [mm] \summe_{j=1}^{n} \bruch{\partial f}{\partial x_j} (x_0+ta) a_j= \summe_{j=1}^{n} h_j(t)$, [/mm]

wobei [mm] $h_j(t)=\bruch{\partial f}{\partial x_j} (x_0+ta) a_j.$ [/mm]

Dann ist (*)   [mm] $g''(t)=\summe_{j=1}^{n} [/mm] h'_j(t)$.

Wieder ist, mit der Kettenregel:

[mm] $h_j'(t)= \sum_{i=1}^n\bruch{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j} (x_0+ta)a_ia_j.$ [/mm]

Mit der Matrix $ [mm] \bruch{\partial^2 f}{\partial x^2}(x_0+ta) =(\bruch{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j} (x_0+ta))$ [/mm] und (*) folgt dann

$g''(t)= [mm] a^T \cdot \bruch{\partial^2 f}{\partial x^2}(x_0+ta) \cdot [/mm] a,$

also

[mm] $g''(0)=a^T \cdot \bruch{\partial^2 f}{\partial x^2}(x_0) \cdot [/mm] a$.



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