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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:44 So 01.10.2006 | | Autor: | momomo |
Vor der Herleitung der Kettenregel wurde eine Plausibilitätsbetrachtung durchgeführt. Dabei wurde festgestellt:
1. [mm] v'(x_0)=0, [/mm] dann [mm] u(v(x_0))=0
[/mm]
2. [mm] v(x_0)=y [/mm] und u'(y)=0
Nimmt die innere Funktion einen Wert an, für den sich die Äußere nicht ändert, ist die Gesamtänderungsrate ebenfalls null (erinnert an die Multiplikation).
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Ich versuche grade dieses nachzuvollziehen und tue mich dabei schwer. Ich wäre sehr dankbar wenn es mir jemand anschaulich machen könnte.
Da in diesem Forum Ansätze erwünscht sind, fange ich mal mit meinen Überlegungen an:
- Die innere Funktion könnte zur Veranschaulichung z = v(x) lauten und die äußere entsprechend u(z), dann gilt:
-- zu 1.) Wenn die momente Änderungsrate an einer Stelle [mm] x_0 [/mm] der Funktion v_(x) 0 ist, wenn also die Ursprungsfunktion graphisch betrachtet an diesem Punkt [mm] x_0 [/mm] eine Steigung von null hat, dann wird auch die verkettete, ursprüngliche Funktion aus irgendeinem Grund automatisch null sein, so wie bei der Multiplikation, für die gilt: Ein Produkt zweier Faktoren ist null, wenn einer der Faktoren null ist. Hierbei fragt sich nur: Was ist der Grund...
-- zu 2.) Ich frag mich ob es entweder eine Bedingung sein soll oder eine Umkehrung von 1.), die aus dem Grund hervorgeht.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hm....ich würde sagen, bei der Produktenregel gibt es ja
f'g + fg', wenn ein Faktor Null ist, gibt es noch den anderen, also ist die Lösung nicht 0.
Bei der Kettelregel aber, ist die Ableitung
f(f(g)), d.h. es ist ein Produkt der beiden Ableitung, wenn eines davon Null ist, ist die gesamte Ableitung auch 0.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:21 So 01.10.2006 | | Autor: | momomo |
Mit Multiplikation meinte ich nicht die Produktregel, sondern ganz einfach die Multiplikation allgemein:
Faktor*Faktor=Produkt
und wenn dann ein Faktor null ist, ist das Produkt null.
> Bei der Kettelregel aber, ist die Ableitung
> f(f(g)), d.h. es ist ein Produkt der beiden Ableitung, wenn eines davon Null
> ist, ist die gesamte Ableitung auch 0.
Damit hast Du natürlich recht, aber das hilft mir irgendwo noch nicht weiter. Ich kenne die Kettenregel ja, aber ich frage mich was man sich überlegt bevor man die Kettenregel kennt, um diese Prognosen aufstellen zu können.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:58 So 01.10.2006 | | Autor: | chrisno |
Hallo Momomo,
der anschauliche Weg zur Kettenregel braucht etwas Anlauf. Zuerst aber zu Deinem zu 1):
Wenn [mm] $v'(x_0) [/mm] = 0$ dann heißt das anschaulich (nicht mathematisch korrekt): wenn man mit x ein wenig um [mm] x_0 [/mm] wackelt, dann ändert sich v(x) nicht. Wenn sich z = v(x) nicht ändert, dann ändert sich auch u(z) nicht. Das heißt, wenn man mit x um [mm] x_0 [/mm] wackelt ändert sich u nicht, also ist u´ an dieser Stelle 0.
zu 2) kann ich nichts sagen.
Wenn Du ein Plotprogramm hast, dann probier mal folgendes:
Nimm Dir eine Funktion f(x) (z.B. sin(x)) und plotte diese und dazu f(3x).
Dann siehst Du, dass der Graf von f(3x) aus f(x) entsteht, indem Du den Grafen von f(x) zum entlang der x-achse zum Nullpunkt hin um den Faktor 3 stauchtst. (Die x-Werte werden eben dreimal so schnell abgehandelt.) Das heißt aber auch, dass die Ableitung von f(3x) den dreifachen Wert der entsprechenden Stelle von f(x) haben muß (es ist immer 3 mal so steil).
Diese Betrachtung führt zu der Ableitungsregel:
wenn u(z) = u(cx), dann u´(cx) = c u´(z) dabei ist c eine Konstante, die im Beispiel 3 ist.
Das ist ja schon eine Sparversion der Kettenregel.
Im allgemeinen Fall ist dann v(x) nicht mehr die Multiplikation mit einer Konstanten, sondern ein sich von Ort zu Ort ändernder Stauchfaktor für den Funktionsgrafen. Der aktuelle Stauchfaktor ergibt sich gerade aus der Ableitung (wieviel ändert sich v, wenn an x ein wenig gewackelt wird). Damit steht die Kettenregel da:
wenn u(z) = u(v(x)), dann u´(v(x)) = v´(x) * u´(z).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:21 Mo 02.10.2006 | | Autor: | unixfan |
Ich würde mir einfach mal einen Beweis der Kettenregel genauer anschauen, das wird möglicherweise vieles klären....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:20 Mo 02.10.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo momomo
Erst mal fang mit Geraden an:
1. f=m*x, g=r*x f(g(x))=m*(r*x)=m*r *x , f=mx+b entsprechen!
Ganz klar, die Steigungen werden multipliziert!
2. g(x)=const g'=0 f beliebig f(g(x))=f(const)=konst. d.h. (f(g(x))'=0 unabhängig davon was f' ist-
3.f beliebig, g beliebig aber beide differenzierbar. Dann kann man beide in der Nähe einer Stelle x0 durch ihre Tangenten beliebig gut annähern:
f(x)=f(x0)+f'(x0)*(x-x0) ebenso g. Dann kommt das aber auf den Fall 1. zurück, und alles ist klar.
Gruss leduart
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