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Forum "Differenzialrechnung" - Kettenregel
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Kettenregel : Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:08 Sa 15.01.2005
Autor: anipup

Warum heißt die Kettenregel Kettenregel?
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt
        
Bezug
Kettenregel : Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:41 Sa 15.01.2005
Autor: Amarradi

Hallo erstmal,
Die Kettenregel heißt Kettenregel, weil man eine Kette von Ableitungen mit der gesamten Funktion unternimmt
Beispiel Summenregel
(u + - v)'= u' + - v'
f(x) = [mm] x^2 [/mm] + [mm] x^3 [/mm] ->

f'(x) = 2x + [mm] 2x^2 [/mm]

Bei dieser Funktionen hast du zwei Terme und machst jeden Term einzeln, ohne Beachtung was mit dem nächsten oder vorhergehenden passiert.

Beispiel Kettenregel

f(g(x))' = f(x)'*g(x)'
oder
innere Ableitung mal äußere Ableitung
f(x) =  [mm] \wurzel{x^2} [/mm]
innere Ableitung ist hier g(x)= [mm] x^2 [/mm]
äußere Ableitung ist hier f(x)= [mm] \wurzel{x} [/mm]
Da die Multiplikation Kommutativ ist kann man auch erst die äußere ableiten ind dann die innere

f(x)= [mm] \wurzel{x} [/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{1}{2 \wurzel{x}} [/mm]

[mm] g(x)=x^2 [/mm]
g'(x)=2x
[mm] f(x)*g(x)=\bruch{1}{2*\wurzel{x}}*2x [/mm]
und gekürzt lautet das
f(x)*g(x)= [mm] \bruch{x}{\wurzel{x}} [/mm]

Dabei muss man die gesamt  Funktion als einheit betrachten und dann die innere und äußere Funktion finden ind ableiten

hoffentlich hilfts

* Tausend tolle Sachen die gibt es überall zu sehn, manchmal muss man fragen um sie zu verstehn*
Bezug
        
Bezug
Kettenregel : Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:29 Sa 15.01.2005
Autor: Loddar

Hallo Anja,

auch Dir hier [willkommenmr] !!
Wir freuen uns her auch über 'ne nette Begrüßung [grins].


> Warum heißt die Kettenregel Kettenregel?

Die MBKettenregel heißt so, weil es sich um eine MBAbleitungsregel für verkettete Funktion handelt.

Nehmen wir mal ein Beispiel (das Beispiel von Amarradi ist leider etwas unglücklich gewählt und unsauber formuliert):


Beispiel [1]:

$f(x) = [mm] (2-3x^2)^3$ [/mm]
Es handelt sich hier um eine verkettete Funktion mit $h(x) = [mm] 2-3x^2$ [/mm] sowie $g(x) = [mm] [h(x)]^3$ [/mm]

In diesem Fall könntest Du die Klammer auch ausmultiplizieren und anschließend herkömmlich ableiten. Dabei solltest Du auf das gleiche Ergebnis kommen wie mit der Kettenregel.
Der Aufwand mit dieser Methode (ausmultiplizieren) wäre aber viel zu groß. Zudem gibt es viele Funktionen, wo diese Methode nicht möglich ist (siehe Beispiel [2]).

Zurück zum Beispiel...

innere Ableitung:
$h(x) = [mm] 2-3x^2$ $\Rightarrow$ [/mm] $h'(x) = (-3) * 2 * [mm] x^1 [/mm] = -6x$

äußere Ableitung:
$g(x) = [mm] (...)^3$ $\Rightarrow$ [/mm] $g'(x) = 3 * [mm] (...)^2$ [/mm]
Bei der äußeren Ableitung ist uns zunächst völlig egal, was in der Klammer steht. Wir bilden zunächst ganz "normal" die Ableitung.
Das was in der Klammer steht (hier: [mm] $2-3x^2$), [/mm] berücksichtigen wir erst mit der inneren Ableitung (in der Klammer könnte auch "APFELBAUM" stehen :-)).

Denn nun wenden wir die Kettenregel an:
$f'(x) = [mm] \underbrace{3 * (...)^2}_{=aussere Abl.} [/mm] * [mm] \underbrace{(-6x)}_{=innere Abl.} [/mm] = 3 * [mm] (2-3x^2)^2 [/mm] * (-6x) = -18x * [mm] (2-3x^2)^2$ [/mm]



Beispiel [2]:

$f(x) = [mm] e^{3x}$ [/mm]
Wiederum verkettete Funktion mit $h(x) = 3x$ sowie $g(x) = [mm] e^{h(x)}$. [/mm]

Der (umständliche) Weg des Ausmultiplizierens funktioniert hier nicht!

innere Ableitung:
$h(x) = 3x$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $h'(x) = 3$

äußere Ableitung:
$g(x) = [mm] e^{(...)}$ $\Rightarrow$ [/mm] $g'(x) = [mm] e^{(...)}$, [/mm] da [mm] $(e^x)' [/mm] = [mm] e^x$ [/mm]

Kettenregel:
$f'(x) = [mm] \underbrace{e^{(...)}}_{=aussere Abl.} [/mm] * [mm] \underbrace{3}_{=innere Abl.} [/mm] = [mm] e^{3x} [/mm] * 3 = 3 * [mm] e^{3x}$ [/mm]


Ich hoffe, wir konnten etwas zu Deiner Klärung beitragen ...


Loddar

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