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Kettenregel: Beweis verstehen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:55 Mi 03.09.2008
Autor: cares87

Aufgabe
f:U [mm] \to \IR, [/mm] g:V [mm] \to \IR [/mm] mit f(U) [mm] \subset [/mm] V.
Sei f in x [mm] \in [/mm] U diffbar, g in g=f(x) [mm] \subset [/mm] V diffbar.
Dann ist (g [mm] \circ [/mm] f):V [mm] \to \IR [/mm] diffbar in x [mm] \in [/mm] U und es gilt: (g [mm] \circ [/mm] f)'(x) = g'(f(x)) [mm] \* [/mm] f'(x)

Hallo,

ich bin bei dem Beweis zur Kettenregel etwas in Verwirrung geraten, ich hoffe, ihr könnt mir helfen:
Als erstes haben wir g*:V [mm] \to \IR [/mm] definiert mit [mm] g*(z)=\begin{cases}\bruch{g(z)-g(y)}{z-y},&\mbox{für} z \not= y\\g(y),&\mbox{für} {z=y}\end{cases} [/mm]
Jetzt folgt als nächstes: g diffbar in y=f(x) [mm] \Rightarrow \lim_{z \not= y} [/mm] g*(z) = g*(y) = g(y). Lasse ich hier beim Limes y gegen z laufen und habe dann den Differentialquotienten?
okay, den Rest des Beweises hab ich mir selbst überlegen können, wollte nur bei dem Teil schnell nachfragen.
Danke und schöne Grüße,
Caro

        
Bezug
Kettenregel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:09 Mi 03.09.2008
Autor: angela.h.b.


> f:U [mm]\to \IR,[/mm] g:V [mm]\to \IR[/mm] mit f(U) [mm]\subset[/mm] V.
>  Sei f in x [mm]\in[/mm] U diffbar, g in g=f(x) [mm]\subset[/mm] V diffbar.
>  Dann ist (g [mm]\circ[/mm] f):V [mm]\to \IR[/mm] diffbar in x [mm]\in[/mm] U und es
> gilt: (g [mm]\circ[/mm] f)'(x) = g'(f(x)) [mm]\*[/mm] f'(x)
>  Hallo,
>  
> ich bin bei dem Beweis zur Kettenregel etwas in Verwirrung
> geraten, ich hoffe, ihr könnt mir helfen:
>  Als erstes haben wir g*:V [mm]\to \IR[/mm] definiert mit
> [mm]g*(z)=\begin{cases}\bruch{g(z)-g(y)}{z-y},&\mbox{für} z \not= y\\g\red{'}(y),&\mbox{für} {z=y}\end{cases}[/mm]
> Jetzt folgt als nächstes: g diffbar in y=f(x) [mm]\Rightarrow \lim_{z \not= y}[/mm]
> g*(z) = g*(y) = [mm] g\red{'}(y). [/mm] Lasse ich hier beim Limes y gegen z
> laufen und habe dann den Differentialquotienten?
> okay, den Rest des Beweises hab ich mir selbst überlegen
> können, wollte nur bei dem Teil schnell nachfragen.


Hallo,

ich glaube, Du hast hier  etwas fallsch aufgeschrieben, ich habe markiert, wie's m.E. richtig wäre.

Du läßt das z gegen y laufen:

Weil g n.V. diffbar ist in y gilt

[mm] g'(y)=\limes_{z \to y}g^{\*}(z) [/mm]

und nach Def. der Funktion [mm] g^{\*} [/mm] ist ja auch [mm] g^{\*}(y)=g'(y), [/mm] also [mm] g'(y)=\limes_{z \to y}g^{\*}(z)=g^{\*}(y). [/mm]

Gruß v. Angela



Bezug
                
Bezug
Kettenregel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:18 Mi 03.09.2008
Autor: cares87

ok, danke :)


Bezug
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