Kettenregel < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:09 Do 07.04.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | Berechnen Sie das Differential der Funktion [mm] $f\circ [/mm] g$, wobei
[mm] $f:\IR^{2}\rightarrow \IR^{3}, [/mm] ~ [mm] f(u,v)=(u^{2}+uv, e^{uv},arctan(uv))$ [/mm] und
[mm] $g:\IR^{3}\rightarrow \IR^{2}, [/mm] ~ [mm] g(x,y,z)=(x^{2}+y,z^{2}-xy). [/mm] |
Hallo,
Die Kettenregel lautet: [mm] f'(g())\cdot [/mm] g'()
Nach welcher Variable differenziert man?
Oder muss man hier das totale differential bilden?
Das sieht dann so aus:
[mm] $df(u,v)=(3u+v,(v+u)e^{uv}, (v+u)\frac{1}{1+u^{2}v^{2}})$
[/mm]
$df(x,y,z)= (2x+1, -y-x+2z)$
also wäre das Differential: [mm] $df((u,v)((x^{2}+y,z^{2}-xy)))df(x,y,z)$
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt
Danke und Gruss
kushkush
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Hallo kushkush,
> Berechnen Sie das Differential der Funktion [mm]f\circ g[/mm], wobei
>
> [mm]f:\IR^{2}\rightarrow \IR^{3}, ~ f(u,v)=(u^{2}+uv, e^{uv},arctan(uv))[/mm]
> und
>
> [mm]$g:\IR^{3}\rightarrow \IR^{2},[/mm] ~
> [mm]g(x,y,z)=(x^{2}+y,z^{2}-xy).[/mm]
> Hallo,
>
> Die Kettenregel lautet: [mm]f'(g())\cdot[/mm] g'()
>
> Nach welcher Variable differenziert man?
> Oder muss man hier das totale differential bilden?
Ich denk schon, daß hier das totale Differential gebildet werden muss,
da es sich um mehrdimensionale Funktionen handelt.
>
> Das sieht dann so aus:
>
> [mm]df(u,v)=(3u+v,(v+u)e^{uv}, (v+u)\frac{1}{1+u^{2}v^{2}})[/mm]
>
> [mm]df(x,y,z)= (2x+1, -y-x+2z)[/mm]
>
> also wäre das Differential:
> [mm]df((u,v)((x^{2}+y,z^{2}-xy)))df(x,y,z)[/mm]
>
Schau mal hier: ![[]](/images/popup.gif) Totales Differential
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt
>
> Danke und Gruss
> kushkush
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:16 Do 07.04.2011 | | Autor: | kushkush |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Mathepower,
> total
$\frac{df}{du}f(u,v)= (2u+v,ve^{uv},v\frac{1}{1+u^{2}v^{2}})
$\frac{df}{dv}f(u,v)=(u,ue^{uv},u\frac{1}{1+u^{2}v^{2}})$
totales Differential ist also: $df f(u,v)=(3u+v,(u+v)e^{uv},(u+v)\frac{1}{1+u^{2}v^{2}})$
$\frac{dg}{dx}g(x,y,z)=(2x,-y)$
$\frac{dg}{dy}g(x,y,z)=(1,-x)$
$\frac{dg}{dz}g(x,y,z)=(0,2z)$
totales Differential ist: $dg g(x,y,z)=(2x+1,2z-x-y)$
Also habe ich: $\IR^{2}\rightarrow \IR^{2}$
$df(g(x,y,z))\cdot dgg(x,y,z)= (3(x^{2}+y)+(z^{2}-xy), ((x^{2}+y)+(z^{2}-xy))(e^{(x^{2}+y)(z^{2}-xy}},((x^{2}+y)+(z^{2}-xy))(\frac{1}{1+(x^{2}+y)^{2}(z^{2}-xy)^{2}) }))(2x+1,2z-x-y)$
Stimmt das so?
> Gruss
Danke
Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:25 Fr 08.04.2011 | | Autor: | pelzig |
Das ist leider ziemlicher Unsinn. Das totale Differential von [mm]f[/mm] ist nicht etwa die Summe von [mm]\frac{\partial f}{\partial u}[/mm] und [mm]\frac{\partial f}{\partial v}[/mm] oder was auch immer du da gemacht hast, sondern
[mm]Df(u,v)=\pmat{\frac{\partial f_1}{\partial u}&\frac{\partial f_1}{\partial v}\\
\frac{\partial f_2}{\partial u}&\frac{\partial f_1}{\partial v}\\
\frac{\partial f_3}{\partial u}&\frac{\partial f_1}{\partial v}}(u,v) =\pmat{2u+v&v\\
ve^{uv}&ue^{uv}\\
\frac{v}{1+(uv)^2}&\frac{u}{1+(uv)^2}}[/mm]
Analog ist
[mm]Dg(x,y,z)=\pmat{2x&1&0\\
-y&-x&2z}[/mm].
Nun setze alles in die Kettenregel ein: [mm]D(f\circ g)(x,y,z)=Df(g(x,y,z))\cdot Dg(x,y,z)[/mm], wobei hier das Produkt von Matrizen zu nehmen ist!
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:00 So 10.04.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
> Unsinn
> Matrix
Danke!
Gruss
kushkush
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