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Kettenregel Mehrdimensional: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:14 Do 12.07.2018
Autor: Takota

Aufgabe
Gegeben:

F(x):= f(x,h(x));

$F'(x)= [mm] \bruch{\partial f}{\partial x}*1 [/mm] +  [mm] \bruch{\partial f}{\partial x}*h'(x)$ [/mm]

Hallo,

kann mir bitte jemand zeigen, wie man mittels der Kettenregel im Mehrdimensionalen auf diese Ableitungsformel kommt?

Müsste da nicht so was stehen:

$ F'(x)= (Funktionalmatrix Aeussere\ Funktion) * (Funktionalmatrix\ Innere Funktion)$ ???

Stimmt auch folgendes:

$F: [mm] \IR^2 [/mm] -> [mm] \IR$ [/mm]  und $ h: [mm] \IR->\IR [/mm] $ ???

h(x) wäre hier doch innere Funktion??

Irgendwie bekomme ich das nicht auf die Reihe

LG
Takota

        
Bezug
Kettenregel Mehrdimensional: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:04 Do 12.07.2018
Autor: fred97


> Gegeben:
>  
> F(x):= f(x,h(x));
>
> [mm]F'(x)= \bruch{\partial f}{\partial x}*1 + \bruch{\partial f}{\partial x}*h'(x)[/mm]
>  
> Hallo,
>  
> kann mir bitte jemand zeigen, wie man mittels der
> Kettenregel im Mehrdimensionalen auf diese Ableitungsformel
> kommt?
>  
> Müsste da nicht so was stehen:
>  
> [mm]F'(x)= (Funktionalmatrix Aeussere\ Funktion) * (Funktionalmatrix\ Innere Funktion)[/mm]
> ???
>  

Das steht doch  auch da. Die aeussere Funktion ist f  und der Gradient ist die Funktionalmatrix,  die innere Funktion ist (x,h(x)), deren Ableitung ist [mm] (1,h'(x))^T [/mm]


> Stimmt auch folgendes:
>  
> [mm]F: \IR^2 -> \IR[/mm]  und [mm]h: \IR->\IR[/mm] ???
>
> h(x) wäre hier doch innere Funktion??

Nein,siehe oben



>  
> Irgendwie bekomme ich das nicht auf die Reihe
>
> LG
>  Takota


Bezug
                
Bezug
Kettenregel Mehrdimensional: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:55 Fr 13.07.2018
Autor: Takota

Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Hallo FRED,

im Moment stellt sich mir das Ganze folgendermaßen dar:

$F(x) = f(x,h(x)) = f[g(x,h(x)]$

$g:\IR -> \IR^2\ ;\ x \mapsto \begin{pmatrix} x \\h(x) \end{pmatrix}$

$f:\IR^2 -> \IR\ ; \begin{pmatrix} y \\z \end{pmatrix} \mapsto f(y,z)$

$\vec g' \begin{pmatrix} x \\h(x) \end{pmatrix}=\left \begin{pmatrix} 1 \\h'(x) \end{pmatrix}\right$

$f'(y,z)=\left (\bruch{\partial f(y,z)}{\partial y}\quad  \bruch{\partial f(y,z)}{\partial z} \right) $

Kettenregel im Mehrdimensionalen:

$F'(x) = f'[\vec g(x,h(x))] * \vec g'(x,h(x)) = f'[g_1(x,h(x)),g_2(x,h(x))] * \vec g'(x,h(x))$

$= \left (\bruch{\partial f(x,h(x))}{\partial x}\quad  \bruch{\partial f(x,h(x))}{\partial h(x)} \right)* \left \begin{pmatrix} 1 \\h'(x) \end{pmatrix}\right$

$= \bruch{\partial f(x,h(x))}{\partial x}*1+\bruch{\partial f(x,h(x))}{\partial h(x)}*h'(x)$

Wobei das $\partial h(x)$ imm Nenner wohl nicht sein kann...?

Was mache ich da falsch? Kannst Du mir bitte das mal richtig aufschreiben, mit Erklärung.

LG
Takota


Bezug
                        
Bezug
Kettenregel Mehrdimensional: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:45 Sa 14.07.2018
Autor: HJKweseleit


> Hallo FRED,
>  
> im Moment stellt sich mir das Ganze folgendermaßen dar:
>  
> [mm]F(x) = f(x,h(x)) = f[g(x,h(x)][/mm]
>  
> [mm]g:\IR -> \IR^2\ ;\ x \mapsto \begin{pmatrix} x \\h(x) \end{pmatrix}[/mm]
>  
> [mm]f:\IR^2 -> \IR\ ; \begin{pmatrix} y \\z \end{pmatrix} \mapsto f(y,z)[/mm]
>  
> [mm]\vec g' \begin{pmatrix} x \\h(x) \end{pmatrix}=\left \begin{pmatrix} 1 \\h'(x) \end{pmatrix}\right[/mm]
>  
> [mm]f'(y,z)=\left (\bruch{\partial f(y,z)}{\partial y}\quad \bruch{\partial f(y,z)}{\partial z} \right)[/mm]
>  
> Kettenregel im Mehrdimensionalen:
>  
> [mm]F'(x) = f'[\vec g(x,h(x))] * \vec g'(x,h(x)) = f'[g_1(x,h(x)),g_2(x,h(x))] * \vec g'(x,h(x))[/mm]
>  
> [mm]= \left (\bruch{\partial f(x,h(x))}{\partial x}\quad \bruch{\partial f(x,h(x))}{\partial h(x)} \right)* \left \begin{pmatrix} 1 \\h'(x) \end{pmatrix}\right[/mm]
>  
> [mm]= \bruch{\partial f(x,h(x))}{\partial x}*1+\bruch{\partial f(x,h(x))}{\partial h(x)}*h'(x)[/mm]
>  
> Wobei das [mm]\partial h(x)[/mm] imm Nenner wohl nicht sein
> kann...?
>  
> Was mache ich da falsch? Kannst Du mir bitte das mal
> richtig aufschreiben, mit Erklärung.



Du hast offenbar meine Antwort noch nicht gelesen oder nicht verstanden.

Du machst gar nichts falsch, hast aber vielleicht nicht das richtige Verständnis dafür, was die Ableitungen bedeuten.

Ich kann dir das auch nur an einem Beispiel plausibel machen.

Zunächst hast du eine Funktion f(y|z), wobei y und z nichts miteinander zu tun haben, sagen wir mal

[mm] f(y|z)=y^2+z^3. [/mm]

Hierfür gibt es nun partielle Ableitungen:

[mm] \bruch{\partial f(y,z)}{\partial y} [/mm] = 2y  sowie [mm] \bruch{\partial f(y,z)}{\partial z} [/mm] = [mm] 3z^2. [/mm]

Wenn du nun y und z durch je eine Funktion von x ersetzt, kannst du das Ganze auch weiter nach x ableiten:

Sagen wir mal: y = x und z = h(x)=sin(x).

Dann bekommst du nun [mm] f(y|z)=f(x|sin(x))=x^2+sin^3(x)=F(x) [/mm]
und als Ableitung: [mm] F'(x)=2x+3sin^2(x)cos(x). [/mm]

Dieses Ergebnis erhältst du aber auch mit Hilfe der gesuchten Formel, die ich aber jetzt anders schreibe:

[mm] \bruch{\partial f(x,sin(x))}{\partial y}*\bruch{dy}{dx}+\bruch{\partial f(x,sin(x))}{\partial z}*\bruch{dz}{dx}, [/mm]

wobei [mm] \bruch{\partial...}{\partial y} [/mm] die o.a. Ableitung NACH DER 1. KOMPONENTE bzw.
[mm] \bruch{\partial...}{\partial z} [/mm] die o.a. Ableitung NACH DER 2. KOMPONENTE bedeutet, also

[mm] \bruch{\partial f(x,sin(x))}{\partial y}=2y, [/mm] aber da y=x ist, =2x
[mm] \bruch{dy}{dx}=1, [/mm] da y=x ist

[mm] \bruch{\partial f(x,sin(x))}{\partial z}=3z^2, [/mm] aber da z=sin(x) ist, = [mm] 3sin^2(x) [/mm]
[mm] \bruch{dz}{dx}= [/mm] cos(x), da z = sin(x) ist

und somit insgesamt auch

[mm] \bruch{\partial f(x,sin(x))}{\partial y}*\bruch{dy}{dx}+\bruch{\partial f(x,sin(x))}{\partial z}*\bruch{dz}{dx}= 2*x+3*sin^2(x)*cos(x) [/mm] wie oben.



Bezug
                                
Bezug
Kettenregel Mehrdimensional: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:58 Sa 14.07.2018
Autor: Takota

Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Hallo HJKweseleit,

danke für die Rückmeldung. Ja, so macht das Sinn.
Es wird in das Ergebniss der partiellen Ableitung $ \left (\bruch{ \bruch{\partial f(y,z)}{\partial z} \right) $ die Argumenten (x,h(x) eingetragen.

Vielleicht war das ein Flüchtigkeitsfehler des Autors, daß er die Anfangsformel so hingeschrieben hat.

Gruß
Takota



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Kettenregel Mehrdimensional: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:30 Mo 16.07.2018
Autor: fred97


> Hallo FRED,
>  
> im Moment stellt sich mir das Ganze folgendermaßen dar:
>  
> [mm]F(x) = f(x,h(x)) = f[g(x,h(x)][/mm]
>  
> [mm]g:\IR -> \IR^2\ ;\ x \mapsto \begin{pmatrix} x \\h(x) \end{pmatrix}[/mm]
>  
> [mm]f:\IR^2 -> \IR\ ; \begin{pmatrix} y \\z \end{pmatrix} \mapsto f(y,z)[/mm]
>  
> [mm]\vec g' \begin{pmatrix} x \\h(x) \end{pmatrix}=\left \begin{pmatrix} 1 \\h'(x) \end{pmatrix}\right[/mm]
>  
> [mm]f'(y,z)=\left (\bruch{\partial f(y,z)}{\partial y}\quad \bruch{\partial f(y,z)}{\partial z} \right)[/mm]
>  
> Kettenregel im Mehrdimensionalen:
>  
> [mm]F'(x) = f'[\vec g(x,h(x))] * \vec g'(x,h(x)) = f'[g_1(x,h(x)),g_2(x,h(x))] * \vec g'(x,h(x))[/mm]
>  
> [mm]= \left (\bruch{\partial f(x,h(x))}{\partial x}\quad \bruch{\partial f(x,h(x))}{\partial h(x)} \right)* \left \begin{pmatrix} 1 \\h'(x) \end{pmatrix}\right[/mm]
>  
> [mm]= \bruch{\partial f(x,h(x))}{\partial x}*1+\bruch{\partial f(x,h(x))}{\partial h(x)}*h'(x)[/mm]
>  
> Wobei das [mm]\partial h(x)[/mm] imm Nenner wohl nicht sein
> kann...?
>  
> Was mache ich da falsch? Kannst Du mir bitte das mal
> richtig aufschreiben, mit Erklärung.

O.K.

Es sei [mm] $f:\IR^2 \to \IR$ [/mm] differenzierbar und $h [mm] :\IR \to \IR$ [/mm] differenzierbar.


Die Ableitung von f im Punkt (x,y) ist eine $1 [mm] \times [/mm] 2$ - Matrix:

   $f'(x,y)= [mm] (f_x(x,y),f_y(x,y)).$ [/mm]

Die innere Funktion ist nicht h sondern [mm] $\phi(x)=(x,h(x))$. [/mm] Da h differenzierbar ist, ist auch [mm] $\phi: \IR \to \IR^2$ [/mm] differenzierbar und [mm] $\phi'(x)$ [/mm] ist eine  $2 [mm] \times [/mm] 1$ - Matrix:

   [mm] $\phi'(x)=\vektor{1 \\ h'(x)}$. [/mm]

Nun verketten wir: $g := f [mm] \circ \phi$, [/mm] also $g: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] und [mm] $g(x)=f(\phi(x))=f(x,h(x))$. [/mm]

Nach der Kettenregel ist

  [mm] $g'(x)=f'(\phi(x))\cdot \phi'(x) [/mm] =  [mm] (f_x(x,y),f_y(x,y)) \cdot \vektor{1 \\ h'(x)}$. [/mm]

[mm] $\cdot [/mm] $ bedeutet Matrizenprodukt ! Also

[mm] $g'(x)=f'(\phi(x))\cdot \phi'(x) [/mm] =  [mm] (f_x(x,h(x)),f_y(x,h(x))) \cdot \vektor{1 \\ h'(x)}=f_x(x,h(x))+f_y(x,h(x))h'(x)$. [/mm]

>  
> LG
>  Takota
>  


Bezug
        
Bezug
Kettenregel Mehrdimensional: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:55 Fr 13.07.2018
Autor: HJKweseleit


> Gegeben:
>  
> F(x):= f(x,h(x));

Korrektur:

>
> [mm]F'(x)= \bruch{\partial f}{\partial x}*1 + \bruch{\partial f}{\partial\red{y}}*h'(x)[/mm]


Beispiel: Sei f(x|y)=3x + [mm] y^2 [/mm]

Dann ist df(x|y) = [mm] \bruch{\partial f}{\partial x}dx [/mm] +  [mm] \bruch{\partial f}{\partial y}dy [/mm] = 3 dx + 2y dy.

Sei nun y =  h(x) = sin(x). Dann ist f(x|y)=3x + [mm] sin^2(x) [/mm] und damit

df(x|y) =  (3 + 2 sin(x) cos(x)) dx .

Nun rechnen wir noch mal mit deiner Formel nach:

F'(x)= [mm] \bruch{\partial f}{\partial x}*1 [/mm] +  [mm] \bruch{\partial f}{\partial y}*h'(x)= [/mm] 3 dx + 2 sin(x)*cos(x) dx, wobei 2 sin(x) = [mm] \bruch{\partial f}{\partial y}=2y [/mm] ist und h'(x)=sin'(x)=cos(x).

Vielleicht erkennst du an diesem Beispiel, wie das Ganze zu verstehen ist.

Bezug
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