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Hallo zusammen,
Wenn ich die Definition von 'Überdeckung' lese, so verstehe ich es nicht:
"Ein System [mm]\left\{U_i\right\}[/mm] von Mengen ist eine Überdeckung, falls ihre Vereinigung der ganze Raum ist."
Ich habe also beliebig viele (?) Mengen. Jetzt vereinige ich diese Mengen und dann ... was? Entsteht ein topologischer Raum oder so? Wäre schon wenn mir jemand erklären könnte, was hier mit "ganzem Raum" gemeint ist.
"Eine offene Überdeckung ist eine Überdeckung [mm]\left\{U_i\right\}[/mm], in der jedes [mm]U_i[/mm] eine offene Menge ist."
Damit ist also bloß gemeint, daß jede dieser Mengen die Axiome einer Topologie erfüllt, oder?
Danke für die Hilfe!
Grüße
Karl
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Hallo Karl,
Du hast einen Raum X und eine Topologie [mm] \tau [/mm] . [mm] \tau [/mm] ist eine Menge von Teilmengen von X eben gerade die offenen.
> Wenn ich die Definition von 'Überdeckung' lese, so verstehe
> ich es nicht:
>
>
> "Ein System [mm]\left\{U_i\right\}[/mm] von Mengen ist eine
> Überdeckung, falls ihre Vereinigung der ganze Raum ist."
>
>
> Ich habe also beliebig viele (?) Mengen. Jetzt vereinige
> ich diese Mengen und dann ... was?
..ergibt das X
>
> "Eine offene Überdeckung ist eine Überdeckung
> [mm]\left\{U_i\right\}[/mm], in der jedes [mm]U_i[/mm] eine offene Menge
> ist."
Das heißt alle diese [mm] U_i [/mm] müssen in [mm] \tau [/mm] enthalten sein.
viele Grüße
mathemaduenn
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Hallo mathemaduenn,
Vielen Dank für die Hilfe aber ich komme mit dem Begriff Topologie irgendwie nicht zurecht. Ich mache mal ein Beispiel:
Seien [mm]X := \{1,2\},\mathfrak{T} := \{\emptyset, \{1\}, \{2\}, X\}[/mm]. Kann man nun sagen, daß [mm](X,\mathfrak{T})[/mm] ein topologischer Raum ist? Im Moment gehe ich vom Gegenteil aus, da man ja hier mit den Topologie-Axiomen nichts "aufbauen" kann:
-> [mm]\emptyset[/mm] und [mm]X[/mm] sind offen.
Ok, das ist dann halt so.
-> Der Durschnitt endlich vieler offener Mengen ist offen.
Nach Axiom 1 gibt es nur 2 Mengen von denen wir ausgehen können, um Axiom 2 anzuwenden. Aber damit konstruiere ich doch nichts "Neues", oder? Denn [mm]\emptyset \cap X = \emptyset[/mm]. Die Aussage ist wahr aber sonst? ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
-> Die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen ist offen.
[mm]\emptyset \cup X = X[/mm], was auch wahr aber irgendwie "nutzlos" ist, weil ich damit z.B. doch nichts über die Offenheit von [mm]\{1\}[/mm] oder [mm]\{2\}[/mm] aussagen kann, oder? Aber wie konstruiert man (bzw. arbeitet man) dann mit den Topologie-Axiomen? Wie zeigt man, daß bestimmte Elemente von [mm]\mathfrak{T}[/mm] offen sind?
Also im Moment sehe ich noch nicht, welche "konstruktive Macht" diese Axiome entfalten können.
> Du hast einen Raum X und eine Topologie [mm]\tau[/mm] . [mm]\tau[/mm] ist
> eine Menge von Teilmengen von X eben gerade die offenen.
Also kann irgendwie jede Menge als "offen" bezeichnet werden?
Was ist denn wenn ich zwei topologische Räume betrachte, wo ich in Einem die Menge [mm]\{1\} \in \mathfrak{T}_1[/mm] als offen festlege und im Anderen als nicht offen, also als abgeschlossen. Wäre das zulässig? ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
> > Wenn ich die Definition von 'Überdeckung' lese, so verstehe
> > ich es nicht:
> >
> >
> > "Ein System [mm]\left\{U_i\right\}[/mm] von Mengen ist eine
> > Überdeckung, falls ihre Vereinigung der ganze Raum
> ist."
> >
> >
> > Ich habe also beliebig viele (?) Mengen. Jetzt vereinige
> > ich diese Mengen und dann ... was?
> ..ergibt das X
Und was ist dann der Unterschied zwischen den Begriffen "topologischer Raum" und "Überdeckung"? Irgendwie überlese ich es. ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
> >
> > "Eine offene Überdeckung ist eine Überdeckung
> > [mm]\left\{U_i\right\}[/mm], in der jedes [mm]U_i[/mm] eine offene Menge
> > ist."
> Das heißt alle diese [mm]U_i[/mm] müssen in [mm]\tau[/mm] enthalten sein.
Auch hier sehe ich den Unterschied noch nicht. Also wo liegen jetzt die konkreten Unterschiede zwischen den Begriffen "topologischer Raum", "Überdeckung" und "offene Überdeckung"?
Viele Grüße
Karl
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:34 Sa 18.02.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo Karl,
> Hallo mathemaduenn,
>
>
> Vielen Dank für die Hilfe aber ich komme mit dem Begriff
> Topologie irgendwie nicht zurecht. Ich mache mal ein
> Beispiel:
>
>
> Seien [mm]X := \{1,2\},\mathfrak{T} := \{\emptyset, \{1\}, \{2\}, X\}[/mm].
> Kann man nun sagen, daß [mm](X,\mathfrak{T})[/mm] ein topologischer
> Raum ist? Im Moment gehe ich vom Gegenteil aus, da man ja
> hier mit den Topologie-Axiomen nichts "aufbauen" kann:
>
Doch, ist es. Man kann auf jeder Menge M eine topologische Struktur definieren, indem man [mm] \mathfrak{T} [/mm] = [mm] \mathcal{P}(M) [/mm] setzt (sog. "diskrete Topologie"). Genauso ginge auch [mm] \mathfrak{T} [/mm] = [mm] \{\emptyset,M\} [/mm] ("indiskrete Topologie").
>
> -> [mm]\emptyset[/mm] und [mm]X[/mm] sind offen.
>
>
> Ok, das ist dann halt so.
>
>
> -> Der Durschnitt endlich vieler offener Mengen ist offen.
>
>
> Nach Axiom 1 gibt es nur 2 Mengen von denen wir ausgehen
> können, um Axiom 2 anzuwenden. Aber damit konstruiere ich
> doch nichts "Neues", oder? Denn [mm]\emptyset \cap X = \emptyset[/mm].
> Die Aussage ist wahr aber sonst?
Damit muss man erstmal auch nichts konstruieren können, es ist einfach eine Forderung die man an ein Mengensystem stellt, das man "Topologie" nennen will. Genauso ist es für einen Vektorraum erstmal nur eine Forderung, dass die Summe zweier Vektoren wieder ein Vektor ist. Das konstruiert ja zunächst auch nichts neues, oder?
"Konstruktiver" wird das ganze erst, wenn man in der Topologie den Basisbegriff einführt, dann kann man aus einer Teilmenge die gesamte Topologie konstruieren (ähnlich zur Vektorraum-Basis).
>
>
> -> Die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen ist
> offen.
>
>
> [mm]\emptyset \cup X = X[/mm], was auch wahr aber irgendwie
> "nutzlos" ist, weil ich damit z.B. doch nichts über die
> Offenheit von [mm]\{1\}[/mm] oder [mm]\{2\}[/mm] aussagen kann, oder? Aber
> wie konstruiert man (bzw. arbeitet man) dann mit den
> Topologie-Axiomen? Wie zeigt man, daß bestimmte Elemente
> von [mm]\mathfrak{T}[/mm] offen sind?
>
Man "zeigt" nicht, dass Elemente von [mm] \mathfrak{T} [/mm] offen sind, man definiert einfach, dass eine Menge "offen" heißt, wenn sie in [mm] \mathfrak{T} [/mm] liegt.
> Also im Moment sehe ich noch nicht, welche "konstruktive
> Macht" diese Axiome entfalten können.
>
Die Axiome selbst zunächst keine. Welche "konstruktive Macht" entfalten die Vektorraum-Axiome? für sich genommen ja erst mal keine, interessant wird es, wenn man weitere Strukturen (lin. Teilräume) oder Abbildungen (Vektorraum-Endomorphismen) und zusätzliche Eigenschaften (z.B. Dimension) ins Spiel bringt und dieses Paket untersucht.
Genauso wird auch die Topologie erst wirklich fruchtbar, wenn man Abbildungen auf topologischen Strukturen untersucht (stetige Abbildungen, Homöomorphismen), deren Invarianten betrachtet und auf dieser Schiene Begriffe wie Konvergenz, Kompaktheit o.ä. auf sehr allgemeiner Basis untersuchen kann.
>
> > Du hast einen Raum X und eine Topologie [mm]\tau[/mm] . [mm]\tau[/mm] ist
> > eine Menge von Teilmengen von X eben gerade die offenen.
>
>
> Also kann irgendwie jede Menge als "offen" bezeichnet
> werden?
>
In Deinem Beispiel schon. Allerdings ist es ein recht einfaches Beispiel von einem topologischen Raum und als solches nicht unbedingt besonders beeindruckend (wird aber wohl immer wieder als Beispiel auftauchen).
> Was ist denn wenn ich zwei topologische Räume betrachte, wo
> ich in Einem die Menge [mm]\{1\} \in \mathfrak{T}_1[/mm] als offen
> festlege und im Anderen als nicht offen, also als
> abgeschlossen. Wäre das zulässig?
>
Das System erfüllt die drei Topologie-Axiome, also ist es auch zulässig.
ACHTUNG! "Nicht offen" und "abgeschlossen" sind nicht gleichbedeutend!
[0;1[ ist nicht offen, aber auch nicht abgeschlossen (mit der Standard-Topologie auf [mm] \IR).
[/mm]
>
> > > Wenn ich die Definition von 'Überdeckung' lese, so verstehe
> > > ich es nicht:
> > >
> > >
> > > "Ein System [mm]\left\{U_i\right\}[/mm] von Mengen ist eine
> > > Überdeckung, falls ihre Vereinigung der ganze Raum
> > ist."
> > >
> > >
> > > Ich habe also beliebig viele (?) Mengen. Jetzt vereinige
> > > ich diese Mengen und dann ... was?
> > ..ergibt das X
>
>
> Und was ist dann der Unterschied zwischen den Begriffen
> "topologischer Raum" und "Überdeckung"? Irgendwie überlese
> ich es.
>
Ich Frage eher, wo ist die Gemeinsamkeit? Ein topologischer Raum ist eine Menge, der über die Topologie eine gewisse "Struktur" aufgeprägt wurde. Eine "Überdeckung" ist ein Hilfsmittel, das ich bei der Untersuchung von Mengenstrukturen einsetzen kann. Hier wird keine Struktur beschrieben, sondern die Ausgangsmenge wird einfach irgendwie (nicht unbedingt disjunkt) zerlegt.
>
> > >
> > > "Eine offene Überdeckung ist eine Überdeckung
> > > [mm]\left\{U_i\right\}[/mm], in der jedes [mm]U_i[/mm] eine offene
> Menge
> > > ist."
> > Das heißt alle diese [mm]U_i[/mm] müssen in [mm]\tau[/mm] enthalten
> sein.
>
>
> Auch hier sehe ich den Unterschied noch nicht. Also wo
> liegen jetzt die konkreten Unterschiede zwischen den
> Begriffen "topologischer Raum", "Überdeckung" und "offene
> Überdeckung"?
>
Wie gesagt ist eine Überdeckung einfach eine Zerlegung einer Menge. Da eine willkürliche Zerlegung in der Regel nicht sehr viele neue Erkenntnisse bringt untersucht man meist überdeckungen mit Zusatzeigenschaften, z.B.:
- eine Überdeckung aus endlich vielen Mengen (endliche Überdeckung)
- eine Überdeckung aus offenen Mengen (offene Überdeckung)
- eine Überdeckung aus...???
Aus der Existenz bzw. nichtexistenz solcher Überdeckungen lassen sich dann oft Rückschlüsse auf die Struktur des zugrundegelegten Raums ziehen.
>
>
> Viele Grüße
> Karl
>
>
>
>
Gruß
piet
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Hallo piet,
Danke erstmal für die Erläuterungen. Ich versuch' das jetzt mal zusammenzufassen.
Wenn ich einen topologischen Raum erzeugen will, nehme ich mir eine beliebige Menge [mm]M[/mm], und eine sogenannte Topologie [mm]\mathfrak{T} \subseteq 2^M[/mm]. Jetzt lege ich (nach eigenem Wohlwollen) fest, welche Elemente aus [mm]\mathfrak{T}[/mm] offen/abgeschlossen sein sollen. Das kann ich für alle Elemente außer [mm]\emptyset[/mm] und [mm]M[/mm] selbst machen. Für [mm]M := \{1,2\}[/mm] kann ich z.B. festlegen, daß [mm]\{1\}[/mm] abgeschlossen und [mm]\{2\}[/mm] offen sein soll, richtig? Wenn ich das für alle Elemente von [mm]\mathfrak{T}[/mm] festgelegt habe, nenne ich die Struktur [mm](M,\mathfrak{T})[/mm] 'topologischer Raum', richtig?
Dann wäre also z.B. [mm]\{2\}[/mm] eine offene Überdeckung, oder auch [mm]\{2\}\cup\{1,2\}\cup\emptyset[/mm] aber [mm]\{1\}[/mm] wäre gar keine Überdeckung. Andererseits wäre z.B. [mm]\{1\} \cap \emptyset[/mm] wieder eine offene Überdeckung? Oder ist das dann "nur" eine Überdeckung?
Danke für die Hilfe!
Grüße
Karl
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:55 Sa 18.02.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi Karl,
> Wenn ich einen topologischen Raum erzeugen will, nehme ich
> mir eine beliebige Menge [mm]M[/mm], und eine sogenannte Topologie
> [mm]\mathfrak{T} \subseteq 2^M[/mm]. Jetzt lege ich (nach eigenem
> Wohlwollen) fest, welche Elemente aus [mm]\mathfrak{T}[/mm]
> offen/abgeschlossen sein sollen. Das kann ich für alle
> Elemente außer [mm]\emptyset[/mm] und [mm]M[/mm] selbst machen.
Du legst nur fest, welche Teilmengen als "offen" gelten, aber NICHT welche als abgeschlossen gelten !
Ich betone nochmals : "abgeschlossen" und "offen" sind keine disjunkten Eigenschaften !!
Noch ein Hinweis : In unterschiedlichen Quellen werden topologische Räume auch unterschiedlich definiert - es kann also sein, dass man zu M auch eine Menge T von Teilmengen angeben muss, die abgeschlossen sind, damit (M,T) ein topologischer Raum ist.
(Dann werden aber NUR die abgeschlossenen Mengen bestimmt, NICHT die offenen !)
> Für [mm]M := \{1,2\}[/mm]
> kann ich z.B. festlegen, daß [mm]\{1\}[/mm] abgeschlossen und [mm]\{2\}[/mm]
> offen sein soll, richtig?
Für dein Beispiel heißt es , dass du [mm] T= \{ \emptyset , \{ 2 \} , M \} [/mm] festlegst.
Wenn dieses T jetzt die drei Axiome erfüllt, dann ist (M,T) ein topologischer Raum.
Noch ein Beispiel:
M={1,2,3} und es sei [mm]T=\{ \emptyset , \{ 1 \} , \{ 2 \} ,M \}[/mm]
dann ist dies KEIN topologischer Raum, denn mit {1} und {2} muss auch {1,2} offen sein !
> Dann wäre also z.B. [mm]\{2\}[/mm] eine offene Überdeckung,
Nein, wieso ist {2} in deinem Beispiel eine Überdeckung ?
Eine Überdeckung von M durch endlich viele Mengen [mm] $U_i$ [/mm] bedeutet doch, dass [mm] $M\subseteq \bigcup_{i=1}^{n} U_i [/mm] $
und wenn n=1 bei dir und [mm] $U_1=\{ 2 \}$ [/mm] , dann wird doch nicht ganz M überdeckt.
(man meint hier nur : jedes Element von M ist in der obigen Vereinigung der [mm] U_i [/mm] enthalten)
> auch [mm]\{2\}\cup\{1,2\}\cup\emptyset[/mm]
Ja klar, hier wird ganz M überdeckt und weil jedes [mm] U_i [/mm] offen (bzw in T enthalten) ist , ist es auch eine offene Überdeckung.
>aber [mm]\{1\}[/mm] wäre gar
> keine Überdeckung.
Richtig, genauso wie oben nicht.
Aber { {1},{2} } ist eine Überdeckung, die nicht offen ist, denn {1} ist ja nicht offen
> Andererseits wäre z.B. [mm]\{1\} \cap \emptyset[/mm]
> wieder eine offene Überdeckung? Oder ist das dann "nur"
> eine Überdeckung?
Es ist gar keine Überdeckung, denn M wird doch gar nicht ganz überdeckt.
Ich hoffe mal, es ist durch die Beispiele etwas klarer geworden...
viele Gruesse
DaMenge
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:49 So 19.02.2006 | | Autor: | Karl_Pech |
Hallo DaMenge,
Wenn auch etwas spät, so danke ich dir für die Erläuterungen. Damit ausgestattet versuche ich jetzt mal einen Beweis für Normen nachzuvollziehen...
Viele Grüße
Karl
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Hallo Karl, und hallo Freunde gepflegter Topologie bei einer schönen Tasse heissen Tees,
Karl, entschuldige, dass ich gar nicht auf die Frage reagiert habe, ich muss das am Freitag irgendwie uebersehen haben. War hier ein etwas chaotischer Tag - bzw die Folge eines solchen.
Na ja, Ihr habt Euch ja schon gut durch das Thema gekaempft, trotzdem mag folgende Anmerkung die Sache noch etwas abrunden.
Also erstmal formal:
Man nennt ein Paar (X,T) mit [mm] T\subseteq [/mm] P(X) einen topologischen Raum, wenn folgende Axiome gelten:
....(hier muesste man sie dann hinschreiben)
Das ist erst mal eine Definition, und dann nennt man die Mengen [mm] U\in [/mm] T offene Mengen. Nur eine Sprechweise !
Wenn man zwei topologische Räume (X,T) und (Y,T') hat, so heisst eine Abbildung [mm] f\colon X\to [/mm] Y stetig, falls
fuer alle [mm] Y'\in [/mm] T' gilt, dass [mm] f^{-1}(Y')\in [/mm] T liegt.
Auch nur eine Sprechweise.
Und so weiter.....
Jetzt zur Motivation:
Wir kennen doch schon alle recht gut die offenen Mengen von [mm] \IR [/mm] (also offene Intervalle (a,b) mit a<b) und Vereinigungen solcher). Wir kennen auch die allgemeine Definition offener Mengen des [mm] \IR [/mm] - oder sagen wir: direkt des [mm] \IR^n:
[/mm]
Eine Menge [mm] U\subseteq \IR^n [/mm] heisst offen, falls zu jedem [mm] u\in [/mm] U ein [mm] \epsilon [/mm] >0 existiert, so dass bezueglich der
Euklidischen Norm die Menge
[mm] B_{\epsilon}(u)=\{v\in \IR^n\: |\: \parallel u-v\parallel_2 \: <\: \epsilon\} [/mm] Teilmenge von U ist.
Und wir kennen stetige Abbildungen [mm] f\colon\IR^n\to\IR^m [/mm] (zB via [mm] \epsilon [/mm] - [mm] \delta- [/mm] Definition).
Nun macht man doch aufbauend auf diesen Begriffen offener, abgeschlossener Mengen, Stetigkeit usw.
so tolle Dinge wie Analysis, Geometrie usw..
Dabei hat man ja in [mm] \IR^n [/mm] eine ganze Menge Methoden und Denkweisen entwickelt, zum grossen teil zuerst direkt aus
der geometrischen Anschauung.
Jetzt kann man sich doch fragen: Kann ich diese Sichtweisen, Denkansätze, Methoden usw auch allgemeiner
einsetzen, in Situationen, wo ich vielleicht die geometrische Anschauung zunaechst nicht mehr habe.
Und dann sagt man sich zB: Ok, was ist es eigentlich, was ich bei den offenen Mengen des [mm] \IR^n [/mm] an Eigenschaften immer wieder benutze ? Nun, und da kam halt heraus: Es sind genau die Eigenschaften, die in den Axiomen fuer offene Mengen eines topologischen Raumes stehen.
Und wenn man dann einen anderen - vielleicht sehr abstrakt anmutenden - topologischen Raum hat, so gilt doch
immerhin dann fuer den direkt all das, was man vorher schon ueber den schoen anschaulichen Raum [mm] \IR^n [/mm] schon herausgefunden hat nur unter Verwendung der Eigenschaften, die in den Topologie-Eigenschaften stehen.
Insofern sind diese Axiome aus Effizienzgruenden entstanden: Ich muss nicht fuer jeden neuen raum, den ich betrachte, nochmal alles neu beweisen, sondern wenn es ein topologischer Raum ist, gilt all das schon fuer ihn, was ich ueber topologische Räume nur unter Verwendung der Axiome und abstrakten Begriffe schon vorher zeigen konnte - und das ist schon eine ganze Menge.
Trotzdem wird Topologie erst dadurch interessant, dass man konkrete Beispiele studiert und nicht bei der Axiomatik steckenbleibt, man muss immer auch in Beispielen denken.
Erstmal herzliche Gruesse,
Mathias
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:38 Mo 20.02.2006 | | Autor: | Karl_Pech |
Hallo Mathias,
> Hallo Karl, und hallo Freunde gepflegter Topologie bei
> einer schönen Tasse heissen Tees,
Ich dachte schon, du trinkst nur Kaffee - aber nein, siehe da ... 
Deinen Artikel habe ich mir jetzt durchgelesen. Also zumindest ist mir jetzt klar geworden, wie die Topologie so ungefähr entstanden ist. Man beobachtete vertraute mathematische Objekte und hat sich dann gedacht, die "Beobachtungen", die man dort gemacht hat, zu einer neuen Theorie mit allgemeineren Strukturen auszubauen. Erinnert einen irgendwie an Matroide und Greedy-Algorithmen... (ich versteh' aber auch heute sehr wenig davon; hab's nur erwähnt, weil man offenbar diese allgemeinen Strukturen mit Freude für Korrektheitsbeweise für Greedy-Algorithmen einsetzt, weil man deren allgemeine Eigenschaften dann übertragen kann ohne immer wieder neu beweisen zu müssen, daß ein Greedy-Ansatz für ein Problem optimal ist. (Stattdessen reicht es zu zeigen, daß das Problem ein Speziallfall eines Matroiden ist, oder so... (weiß ich jetzt auch nicht mehr genau ))
Grüße
Karl
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 05:32 Di 21.02.2006 | | Autor: | mathiash |
Hallo Karl,
morgens als erstes Orangensaft, dann Tee und dann in der Uni den ersten Kaffee, dafuer kein Nikotin oder so.
Also diese Entwicklung, wie wir sie hier exemplarisch fuer die Topologie und die Matroide nachgezeichnet haben, ist
alles andere als ungewoehnlich, sie ist der absolute Normalfall in der Mathematik.
ZB schau Dir die Algebra heute an: Da tummeln sich sehr viele abstrakte Begriffe, selbst in den einfuehrenden Vorlesungen zur Algebra wird man da ganz ordentlich mit zugeschuettet.
Entstanden ist dieses abstrakte Gedankengebilde jedoch aus der Motivation heraus, Polynomgleichungen zu loesen.
Und heutzutage werden algebraische Methoden ganz massiv in der Topologie und (Teilen der) Geometrie eingesetzt.
Na ja, wir sind sicher nicht die richtigen, solche Betrachtungen mit hinreichender Würde und Kompetenz anzustellem,
aber drüber sprechen/schreiben kann ja kaum verboten sein.
Interessant fuer Algorithmiker ist es, dort, wo existent, Paradigmen algorithmischer Ansaetze nachzuvollziehen
(und neue zu entwickeln). Mir faellt neben den von Dir angesprochenen Matroiden noch was schoenes aus nem etwas anderen Bereich ein. es geht um Approximationsalgorithmen fuer Probleme wie Vertex Cover und so, und die
allgemeine Gedankenwelt heisst ''Local Ratio Technik'', Literatur dazu (incl Survey Article) findet sich auf der
Homepage von Reuven Bar-Yehuda in Israel.
Frohes Schaffen !
Mathias
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Dissertation