Klasse delta-elementar < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:25 Mi 23.01.2013 | | Autor: | Nevanna |
| Aufgabe | | Zeigen Sie mit Hilfe des Kompaktheitssatzes, dass die Klasse der archimedisch angeordneten Körper nicht [mm] \Delta [/mm] - elementar ist. |
Halo ihr Lieben,
ich bereite mich gerade auf meine anstehende Logik-Klausur vor und habe einige Probleme mit den Begriffen Klasse, elementar, usw. Und damit auch mit der obigen Aufgabe ;)
Kann mir evtl jemand (möglichst anschaulich) erklären, was es mit den ganzen Begriffen (also Modellklasse, Theorie, elementar, usw.) auf sich hat und wie ich so etwas im Allgemeinen beweisen kann (wenn so etwas möglich ist ;))? Ich verstehe die mir gegebenen Definitionen leider nicht so wirklich...
Und kann mir evtl jemand auch bei der Lösung obiger Aufgabe helfen?
Ich weiß bislang folgendes:
a) archimedisch angeordnet heißt, dass ich zu jedem a eine natürliche Zahl n habe, mit a < 1+...+1, und das n-mal. So weit so gut, da is ja nix dran ;)
b) Kompaktheitssatz: Wenn ich eine L-Theorie T und einen L-Satz [mm] \alpha [/mm] habe, der aus meiner Theorie folgt (ich weiß leider nicht, wie ich das Zeichen hier reinbekomme), dann gibt es eine endliche Teiltheorie [mm] T_{0} \subseteq [/mm] T von T, aus der [mm] \alpha [/mm] folgt.
Da ich nicht einmal die Definitionen richtig verstanden habe, weiß ich leider gar nicht wie ich an diese Aufgabe rangehen soll :/
Ich wär euch super dankbar wenn ihr mir dabei helfen könntet :)
LG, Nevanna
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:12 Do 24.01.2013 | | Autor: | hippias |
Vielleicht koenntest Du etwas praeziser fragen.
Ein typischer Weg um zu zeigen, dass eine Klasse von Strukturen nicht [mm] $\Delta$-elementar [/mm] ist, geht so: Man nimmt wie so oft das Gegenteil an: also [mm] $Mod(\Phi)$ [/mm] ist genau die Klasse der archimendischen Koerper fuer eine gewisse Menge von Saetzen. Dann konstruierst Du eine Menge von Saetzen [mm] $\Psi$ [/mm] so, dass jede endliche Teilmenge von [mm] $\Psi$ [/mm] einen archimedischen Korper als Modell hat, aber [mm] $\Psi$ [/mm] insgesamt keinen archimedischen Koerper als Modell besitzt.
Der Widerspruch folgt dann so: Sei $X$ ein endliche Teilmenge von [mm] $\Phi\cup \Psi$. [/mm] Dann gibt ein endliches [mm] $\Psi_{0}$ [/mm] mit [mm] $X\subseteq \Phi\cup \Psi_{0}$. [/mm] Nach Deiner pfiffigen Wahl von [mm] $\Psi$ [/mm] gibt es einen archimedischen Koerper, der [mm] $\Psi_{0}$, [/mm] also auch [mm] $\Phi\cup \Psi_{0}$, [/mm] erfuellt, sodass auch $X$ erfuellbar ist.
Da also jede endliche Teilmenge von [mm] $\Phi\cup \Psi$ [/mm] erfuellbar ist, besagt der Kompaktheitssatz, dass [mm] $\Phi\cup \Psi$ [/mm] auch ein Modell $K$ besitzt. Wegen [mm] $K\models \Phi$ [/mm] ist $K$ nach Wahl von [mm] $\Phi$ [/mm] dann ein archimedischer Koerper, fuer den auch [mm] $K\models \Psi$ [/mm] gilt, was aber nicht moeglich sein sollte, dass es so einen archimedischen Koeper gibt.
Als geeignete Menge [mm] $\Psi$ [/mm] erscheint mir hier die Menge der Saetze [mm] $\psi_{n}= \exists [/mm] x > [mm] n\cdot [/mm] 1$ [mm] ($n\cdot [/mm] 1$ stehe fuer die $n$-fache Summe der $1$), denn in einem archimedischen Koerper kann es ja kein Element geben, dass groesser als alle $n$ ist, aber sehr kann es Elemente geben, die groesser als ein bestimmtes $n$ sind.
Versuche es mal, oder frage nocheinmal.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:14 Do 24.01.2013 | | Autor: | Nevanna |
Hi, hippias,
erst einmal danke für deine Antwort, ich habe schon fast die Hoffnung aufgegeben dass mir da jemand weiterhilft :)
Leider konnte ich die Frage nicht präziser stellen, weil ich immer noch Probleme mit der Definition der Modellklasse habe - kannst du/irgendjemand mir die evtl noch einmal erklären?
Zu deiner Antwort: Beim ersten Lesen fand ich das, was du geschrieben hast ziemlich einleuchtend (vor allem das mit dem Gegenbeweis, da hätte ich wirklich selbst drauf kommen können)- da ich gerade eben erst aus der Uni kam werde ich mich jetzt gleich mal dransetzen und es erneut versuchen - Aber dafür schon einmal vielen Dank!
Sollte ich dann weitere Fragen haben melde ich mich noch einmal :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:18 Fr 25.01.2013 | | Autor: | hippias |
Gern geschehen. Ich moechte mich zuerst fuer die vielen Fluechtigkeiten in meiner Antwort entschuldigen: Ich fuege eine ueberarbeitete Version an.
Zu Modellklassen weiss ich nicht viel zu sagen, weil es einfach eine Klasse von Modellen ist. Man spricht hierbei von Klasse statt Menge, weil diese "Menge" von Modellen so gross sein kann, dass es eben keine Menge,sondern eine Klasse ist; daran solltest Du Dich nicht stoeren. Unter der Modellklasse [mm] $Mod(\Phi)$ [/mm] versteht man also die Klasse aller Modelle, die [mm] $\Phi$ [/mm] erfuellen.
Anhang:
Ein typischer Weg um zu zeigen, dass eine Klasse von Strukturen nicht $ [mm] \Delta [/mm] $-elementar ist, geht so: Man nimmt wie so oft das Gegenteil an: also $ [mm] Mod(\Phi) [/mm] $ ist genau die Klasse der archimendischen Koerper fuer eine gewisse Menge [mm] $\Phi$ [/mm] von Saetzen. Dann konstruierst Du eine Menge von Saetzen $ [mm] \Psi [/mm] $ so, dass jede endliche Teilmenge von $ [mm] \Psi [/mm] $ einen archimedischen Koerper als Modell hat, aber $ [mm] \Psi [/mm] $ insgesamt keinen archimedischen Koerper als Modell besitzt.
Der Widerspruch folgt dann so: Sei $ X $ ein endliche Teilmenge von $ [mm] \Phi\cup \Psi [/mm] $. Dann gibt ein endliches $ [mm] \Psi_{0} \subseteq \Psi$ [/mm] mit $ [mm] X\subseteq \Phi\cup \Psi_{0} [/mm] $. Nach Deiner pfiffigen Wahl von $ [mm] \Psi [/mm] $ gibt es einen archimedischen Koerper, der $ [mm] \Psi_{0} [/mm] $, also auch $ [mm] \Phi\cup \Psi_{0} [/mm] $, erfuellt, sodass auch $ X $ erfuellbar ist.
Da also jede endliche Teilmenge von $ [mm] \Phi\cup \Psi [/mm] $ nun erfuellbar ist, besagt der Kompaktheitssatz, dass $ [mm] \Phi\cup \Psi [/mm] $ auch ein Modell $ K $ besitzt. Wegen $ [mm] K\models \Phi [/mm] $ ist $ K $ nach Wahl von $ [mm] \Phi [/mm] $ dann ein archimedischer Koerper, fuer den auch $ [mm] K\models \Psi [/mm] $ gilt, wobei es aber nach Wahl von [mm] $\Psi$ [/mm] nicht moeglich sein sollte, dass es so einen archimedischen Koeper gibt.
Als geeignete Menge $ [mm] \Psi [/mm] $ erscheint mir hier die Menge der Saetze $ [mm] \psi_{n}= \exists [/mm] x( x > [mm] n\cdot [/mm] 1 )$ ($ [mm] n\cdot [/mm] 1 $ stehe fuer die $ n $-fache Summe der $ 1 $), denn in einem archimedischen Koerper kann es ja kein Element geben, dass groesser als alle $ n $ ist, aber sehr kann es Elemente geben, die groesser als ein bestimmtes $ n $ sind.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:57 Fr 25.01.2013 | | Autor: | hippias |
Tja, ich bin zur Zeit gross in Form! Da ist mir noch ein schoener Patzer unterlaufen: Der Beweisgang ist so weit in Ordnung, aber die [mm] $\psi_{n}$ [/mm] muessen lauten [mm] $\psi_{n}= x>n\cdot [/mm] 1$. Denn waere $x$ durch den Existenzquantor gebunden, hiesse es ja, dass jedes [mm] $\psi_{n}$ [/mm] durch ein anderes $x$ erfuellt werden kann, was in einem archimedischen Koerper problemlos moeglich waere. Ohne [mm] $\exists$ [/mm] wird die Variable $x$ durch ein festes Koerperelement belegt und diese Belegung kann dann wirklich nicht alle [mm] $\psi_{n}$ [/mm] erfuellen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:30 Mi 30.01.2013 | | Autor: | Nevanna |
Hi hippias,
dennoch vielen, vielen Dank, du hast mir sehr geholfen! Ich habe mich die letzten Tage noch einmal ausführlicher mit dem Thema befasst (also modell, elementar, usw) und muss nun wirklich sagen, dass ich es wesentlich besser verstehe :) Sollte eine solche Aufgabe in de Klausur kommen, weiß ich jetzt auch wie ich an die Sache rangehen muss :)
Danke!
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