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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Klassifizieren und exakt
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Klassifizieren und exakt: Tipps
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:26 Mo 19.01.2015
Autor: Bindl

Aufgabe
Klassifizieren Sie folgende Differentialgleichungen (explizit/implzit, linear/nichtlinear, zeitabhängig/autonom, skalar/nichtskalar, Ordnung). Bestimmen Sie, ob die Differentialgleichungen exakt sind und wenn nicht, bestimmen Sie einen Integrierenden Faktor. Lösen Sie anschließend die exakten Differentialgleichungen.

a) t [mm] \dot [/mm] x cos(x) + sind(x) = 0 , Hinweis: Es genügt hier, das Potenzial zu bestimmen

b) [mm] (x^{2} [/mm] - [mm] 3y^{2}) [/mm] + [mm] 2xy\bruch{dy}{dx} [/mm] = 0 , y(9)=2

Hi zusammen,

zu a)
explizit, da nach [mm] \dot [/mm] x auflösbar
linear, da alle Potenzen = 1 sind
autonom, da nicht von t abhängig
skalar/nichtskalar, ???
Ordnung, 1

M(x,y) = t*cos(x)   -> [mm] M_{y} [/mm] = 0
N(x,y) = sin(x)       -> [mm] N_{x} [/mm] = cos(x)
-> nicht exakt

zu b)
explizit, da nach [mm] 2xy\bruch{dy}{dx} [/mm] = [mm] -x^{2} [/mm] + [mm] 3y^{2} [/mm] auflösbar
nicht linear, da nicht alle Potenzen = 1
autonom, da nicht von t abhängig
skalar/nichtskalar, ???
Ordnung, 1

M(x,y) = [mm] x^{2} [/mm] - [mm] 3y^{2} [/mm]      -> [mm] M_{y} [/mm] = -6y
N(x,y) = 2xy                          -> [mm] N_{x} [/mm] = 2y
-> nicht exakt

Ist das soweit richtig?

Danke für eure Hilfe im voraus

        
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Klassifizieren und exakt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:21 Mo 19.01.2015
Autor: leduart

Hallo
bei a) sehe ich keine Dgl
bei b)  hast du dy/dx also hat das nichts mit t zu tun sondern mit x und ist davon nicht unabhängig.
skalar kenne ich nur für lieare Dgl.
Gruß leduart

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Klassifizieren und exakt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:05 Mo 19.01.2015
Autor: Bindl

zu a)
Hier sollte bei t * x * cos(x) das x mit einem Punkt drauf versehen sein.
Auch hier ist mir das verwenden der vorgegeben Formel nicht gelungen.
[mm] \dotx [/mm]

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Klassifizieren und exakt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:08 Mo 19.01.2015
Autor: Bindl

Hi,

wie sieht es denn bezüglich meiner ersten Berechnungen aussieht?
Ist es richtig das bei beide DGL`s nicht exakt sind und habe ich das auch richtig gezeigt?

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Klassifizieren und exakt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:46 Mo 19.01.2015
Autor: leduart

Hallo
wenn a) nun $ x'*t*cos(x)+sinx=0 $  ist kommt x zwar nicht als direkte Potenz vor aber sicher nicht nur linear was ist mit sin(x)?
also nicht linear, da x' nur linear vorkommt skalar, nicht autonom, da t explizit vorkommt
lösen ist einfach durch Separation.
b) hattest du soweit richtig,

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Klassifizieren und exakt: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 09:46 Di 20.01.2015
Autor: Bindl

Hi,
da ich nun bewiesen habe das beide DGL nicht exakt sind meine weiteren Rechnungen.

zu a)
Hier soll ich ja nur das Potenzial berechnen.

[mm] \bruch{M_{y} - N_{x}}{N}(x,y) [/mm] = [mm] \bruch{0 - cos(x)}{sin(x)} [/mm] = [mm] -\bruch{cos(x)}{sin(x)} [/mm]

[mm] \bruch{N_{x} - M_{y}}{M}(x,y) [/mm] = [mm] \bruch{cos(x) - 0}{t * cos(x)} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{t} [/mm]

Bin ich damit fertig?

zu b)
[mm] \bruch{M_{y} - N_{x}}{N}(x,y) [/mm] = [mm] \bruch{-6y - 2y}{2xy} [/mm] = [mm] \bruch{-8y}{2xy} [/mm] = [mm] \bruch{-4}{x} [/mm]

[mm] \bruch{N_{x} - M_{y}}{M}(x,y) [/mm] = [mm] \bruch{2y + 6y}{x^{2} - 3y^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{8y}{x^{2} - 3y^{2}} [/mm]

[mm] exp(\integral_{}^{x}{-\bruch{4}{n} dn} [/mm] = exp(-4 ln(x)) = [mm] \bruch{4}{x} [/mm]

-> 4x - [mm] \bruch{12y^{2}}{x} [/mm] + [mm] 2y\bruch{dy}{dx} [/mm] = 0
Ab hier stehe ich auf dem Schlauch.

Ist das was bis hierhin gemacht habe korrekt?


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Klassifizieren und exakt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:44 Di 20.01.2015
Autor: Martinius

Hallo Bindl,


> [mm]exp(\integral_{}^{x}{-\bruch{4}{n} dn}[/mm] = exp(-4 ln(x)) =
> [mm]\bruch{4}{x}[/mm]



Hier ist der Fehler:

> $ exp(-4 [mm] *ln(x))\; [/mm] = [mm] \;x^{-4}\;=\; \frac{1}{x^4}$ [/mm]  ist damit der integrierende Faktor.

  

> Ist das was bis hierhin gemacht habe korrekt?
>  


LG, Martinius

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Klassifizieren und exakt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:22 Di 20.01.2015
Autor: Bindl

Hi,

danke es ist natürlich [mm] x^{-4} [/mm] bei Aufgabe b)

Dann müsste ich ja
[mm] \bruch{1}{x^{2}} [/mm] - [mm] \bruch{3y^{2}}{x^{4}} [/mm] + [mm] \bruch{2y}{x^{3}} \bruch{dy}{dx} [/mm] = 0
lösen. Nur wie ?

Habe ich denn a) vollständig gelöst?

Danke für die Hilfe im voraus

Bezug
                                                        
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Klassifizieren und exakt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:26 Di 20.01.2015
Autor: Martinius

Hallo Bindl,

> Hi,
>  
> danke es ist natürlich [mm]x^{-4}[/mm] bei Aufgabe b)
>  
> Dann müsste ich ja
>  [mm]\bruch{1}{x^{2}}[/mm] - [mm]\bruch{3y^{2}}{x^{4}}[/mm] +
> [mm]\bruch{2y}{x^{3}} \bruch{dy}{dx}[/mm] = 0
>  lösen. Nur wie ?
>  
> Habe ich denn a) vollständig gelöst?
>  
> Danke für die Hilfe im voraus


Du hast:   [mm] $\left(\frac{1}{x^2}-\frac{3y^2}{x^4} \right)dx+\left( \frac{2y}{x^3}\right)dy\;=\;0$ [/mm]

Nun integriere:

[mm] $\int \left(\frac{1}{x^2}-\frac{3y^2}{x^4} \right)dx+\int\left( \frac{2y}{x^3}\right)dy\;=\;\int [/mm] 0$


1. Integral:  [mm] $\int \left(\frac{1}{x^2}-\frac{3y^2}{x^4} \right)dx\;=\;-\frac{1}{x}+\frac{y^2}{x^3}+f(y)$ [/mm]

2. Integral:   [mm] $\int\left( \frac{2y}{x^3}\right)dy\;=\;\frac{y^2}{x^3}+f(x)$ [/mm]

wobei f(y)=0  und  [mm] $f(x)\;=\;-\frac{1}{x}$ [/mm]   damit:   [mm] $F(x,y)\;=\;-\frac{1}{x}+\frac{y^2}{x^3}\;=\;C$ [/mm]   oder:   [mm] $y^2\;=\;C*x^3+x^2$ [/mm]


LG, Martinius

Bezug
                                                                
Bezug
Klassifizieren und exakt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:34 Mi 21.01.2015
Autor: Martinius

Hallo Bindl,

Du hast ja noch einen Funktionswert gegeben: (9/2)

Damit:   [mm] $y\;=\; \pm \wurzel{C*x^3+x^2}$ [/mm]

[mm] $2\;=\; \wurzel{C*729+81}$ [/mm]   daher:   [mm] $C\;=\;\frac{-77}{729}$ [/mm]


LG, Martinius

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Bezug
Klassifizieren und exakt: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 15:55 Mi 21.01.2015
Autor: Bindl

> zu a)
>  Hier soll ich ja nur das Potenzial berechnen.
>  
> [mm]\bruch{M_{y} - N_{x}}{N}(x,y)[/mm] = [mm]\bruch{0 - cos(x)}{sin(x)}[/mm]
> = [mm]-\bruch{cos(x)}{sin(x)}[/mm]
>  
> [mm]\bruch{N_{x} - M_{y}}{M}(x,y)[/mm] = [mm]\bruch{cos(x) - 0}{t * cos(x)}[/mm]
> = [mm]-\bruch{1}{t}[/mm]
>  
> Bin ich damit fertig?

Hi,
danke für die zahlreiche Hilfe zu Aufgabe b).

Nun möchte ich nur noch einmal zu Aufgabe a), wo ich ja nur das Potenzial berechnen soll.

Die DGL hat doch ein Potential wenn [mm] M_{y}=N_{x} [/mm] ist damit exakt.
Hier habe ich ja [mm] M_{y} [/mm] = 0 [mm] \not= N_{x} [/mm] = cos(x).
Damit hat die DGL kein Potenzial und ist damit auch nicht exakt,
richtig?

[mm] \bruch{M_{y} - N_{x}}{N}(x,y) [/mm] & [mm] \bruch{N_{x} - M_{y}}{m}(x,y) [/mm] brauch ich ja dann gar nicht mehr berechnen um die Aufgabe zu lösen, richtig ?

Danke für die Hilfe im voraus

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Klassifizieren und exakt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:37 Mi 21.01.2015
Autor: Bindl

Hi,

kann mir jemand bei meiner Unsicherheit bei diesem Aufgabenteil helfen?

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Klassifizieren und exakt: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:20 Sa 24.01.2015
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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