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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:31 Mo 19.01.2015 | | Autor: | Bindl |
| Aufgabe | Klassifizieren Sie folgende Differentialgleichungen (explizit/implizit, linear/nichtlinear, zeitabhängig/autonom, skalar/nichtskalar, Ordnung) und bestimmen Sie eine Lösung mittels der Methode der getrennten Veränderlichen.
a) [mm] x^{-4} [/mm] + [mm] y(x)^{3} [/mm] y`(x) = 0
b) (t-9)(t+9) [mm] \dot [/mm] x (t) = x , x(1) = 10 |
Hi zusammen,
zunächst versuche ich mal die Klassifizierung zu klären.
explizit: DGL lässt sich nach der höchsten Ableitung auflösen
implzit: wenn nicht explizit
linear: wenn alle Potenzen = 1 sind & wenn es zwei Lösungen gibt [mm] y_{1},y_{2} [/mm] und auch [mm] c_{1}y_{1}, c_{2}y_{2} [/mm] stimmt
nichtlinear: wenn nicht linear
zeitabhängig: DGL ist abhängig von t
autonom: DGL ist nicht abhängig von t
skalar: ???
nichtskalar: ???
Ordnung: ist gleich der höchsten Ableitung
zu a)
explizit, da nach y`(x) = [mm] \bruch{-x^{-4}}{y(x)^{3}} [/mm] = - [mm] bruch{1}{x^{4} * y(x)^{3}} [/mm] auflösbar
nichtlinear, da nicht alle Potenzen = 1
autonom, da es keine Variable t vorhanden ist
skalar/nichtskalar, ???
Ordnung: 1
jetzt mein Lösungsversuch:
y`(x) * [mm] y(x)^{3} [/mm] = - [mm] bruch{1}{x^{4}}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{y(x)^{3} dy} [/mm] = - [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{x^{4}} dx}
[/mm]
[mm] \bruch{y(x)^{4}}{4} [/mm] = [mm] bruch{1}{3x^{3}} [/mm] + C
[mm] y(x)^{4} [/mm] = [mm] bruch{4}{3x^{3}} [/mm] + 4C
muss ich nun die 4te Wurzel ziehen oder wo liegt mein Fehler ?
zu b)
explizit, da nach [mm] \dot [/mm] x (t) auflösbar
linear, da alle Potenzen = 1
zeitabhängig, da t vorhanden
skalar/nichtskalar, ???
Ordnung, 1
zum Lösungsversuch:
[mm] \integral_{}^{}{(t-9)(t+9) dt} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{x dx}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{3} (t-9)^{2}(t+18) [/mm] = [mm] \bruch{x^{2}}{2} [/mm] + C
[mm] t^{3} [/mm] - 316t + 1458 = [mm] bruch{3x^{2}}{2} [/mm] + C
ein auflösen nach t ist hier ja nicht möglich, also wo ist mein Fehler ?
Hier mein Ansatz wie die Rechnung weiter geht wenn ich nach t auflösen könnte:
Für x=10 einsetzen und für t=1 und dann C berechnen.
Wäre das korrekt?
Danke für eure Hilfe im voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:47 Mo 19.01.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
a) ist richtig. aich 4 te Wurzel.
b) sehe ich keine Dgl diu schreibst (t-9)(t+9) x (t) = x
wenn ich deine Lösungsansatz sehe ist die dazugehörige DGl (t-9)(t+9) = x '(t)*x(t)
wenn das die Dgl ist ist dein Integral über [mm] t^2-81 [/mm] falsch , und am Ende willst du nicht nach t sondern nach x auflösen.
skalar heisst wohl allgemein dass y' nicht mit höheren Potenzen vorkommt. also sind die alle skalar.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:02 Mo 19.01.2015 | | Autor: | Bindl |
zu b)
das sollte ein x(t) mit einem Punkt auf dem x.
Ich habe mir bei den Formel das ganze rausgesucht und das a mit x ersetzt, nur leider hat das ganze wohl nicht so hingehauen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:27 Mo 19.01.2015 | | Autor: | Bindl |
zu a)
y(x) = [mm] \wurzel[4]{\bruch{4}{3x^{3}} + 4C}
[/mm]
damit wäre ich ja mit a) fertig
zu b)
[mm] \integral_{}^{}{t^2 - 81 dt} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{x dx}
[/mm]
[mm] \bruch{t^{3}}{3} [/mm] - 81t = [mm] \bruch{x^{2}}{2} [/mm] + C
x = 2 * [mm] (\bruch{t^{3}}{3} [/mm] - 81t - C)
für x=10 & t=1
C = [mm] -\bruch{257}{3}
[/mm]
Ist das korrekt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:54 Mo 19.01.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
heisst dien Dgl zu a) jetzt
[mm] $((t-9)*(t+9)**\bruch{dx}{dt}=x
[/mm]
dann ist deine Lösung ganz falsch.
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:25 Mo 19.01.2015 | | Autor: | Bindl |
Hi,
die DGL lautet:
(t-9)(t+9) * x`(t) = x
Ich schreibe nun x`(t) statt ein x mit einem Punkt drauf.
Sind meine Klassifizierungen falsch oder integriere ich das falsche ?
Kann mir jemand den Ansatz zeigen wenn dem so ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:34 Mo 19.01.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Klassifizierung ist richtig, außerdem skalar x' keine ander fkt von x'
deine Lösung ist falsch. wenn du wirklich [mm] \bruch{dx}{dt} [/mm] schreibst statt x'siehst du hoffentlich warum!
Gruß leduart
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:03 Di 20.01.2015 | | Autor: | Bindl |
Hi,
ich blicke jetzt wirklich nicht mehr durch.
Ich schreibe die Rechnungen jetzt nochmal auf da wir scheinbar mit a) und b) durcheinander gekommen sind.
a)
[mm] x^{-4} [/mm] + [mm] y(x)^{3} [/mm] * y'(x) = 0
y'(x) * [mm] y(x)^{3} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{x^{4}}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{y(x)^{3} dy} [/mm] = [mm] -\integral_{}^{}{\bruch{1}{x^{4}} dx}
[/mm]
[mm] \bruch{y(x)^{4}}{4} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3x^{3}} [/mm] + C
[mm] y(x)^{4} [/mm] = [mm] \bruch{4}{3x^{3}} [/mm] + 4C
Jetzt die 4te Wurzel ziehen(ich weiß nicht wie ich es schreiben soll) und fertig.
b)
(t-9)(t+9)*x`(t) = x ,x(1)=10
Ich weiß ich wie ich den Punkt auf das x bekomme, deswegen schreibe ich hier x`. Bei mir verwende ich natürlich das x mit dem Punkt drauf, also die Zeitableitung.
[mm] t^{2} [/mm] - 81 = [mm] \bruch{x}{x`(t)}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{t^{2} - 81 dt} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{x dx}
[/mm]
[mm] \bruch{t^{3}}{3} [/mm] - 81t = [mm] \bruch{x^{2}}{2} [/mm] + C
x = [mm] 2(\bruch{t^{3}}{3} [/mm] - 81t - C)
für x=10 & t=1
10 = [mm] 2(\bruch{1^{3}}{3} [/mm] - 81*1 - C)
C = [mm] -\bruch{257}{3}
[/mm]
Ist das korrekt, oder wo liegt Fehler ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:31 Di 20.01.2015 | | Autor: | chrisno |
>... [mm]y(x)^{4}[/mm] = [mm]\bruch{4}{3x^{3}}[/mm] + 4C
> Jetzt die 4te Wurzel ziehen(ich weiß nicht wie ich es
> schreiben soll) und fertig.
so: [mm]y(x) = \sqrt[4]{\bruch{4}{3x^{3}} + 4C}[/mm]
Ich rate generell dazu, die Probe zu machen
>
> b)
> (t-9)(t+9)*x'(t) = x ,x(1)=10
> Ich weiß ich wie ich den Punkt auf das x bekomme,
> deswegen schreibe ich hier x'. Bei mir verwende ich
> natürlich das x mit dem Punkt drauf, also die
> Zeitableitung.
so geht der Punkt [mm](t-9)(t+9) \dot{x}(t) = x[/mm]
>
> [mm]t^{2}[/mm] - 81 = [mm]\bruch{x}{x'(t)}[/mm]
schon diese Umformung führt Dich nicht zum Ziel. Mit [mm]\dot{x} = \bruch{dx}{dt}[/mm] steht da
[mm]t^{2} - 81 = \bruch{x}{\bruch{dx}{dt}}[/mm] und damit kommst Du nicht zur nächsten Zeile.
> [mm]\integral_{}^{}{t^{2} - 81 dt}[/mm] = [mm]\integral_{}^{}{x dx}[/mm]
>
> [mm]\bruch{t^{3}}{3}[/mm] - 81t = [mm]\bruch{x^{2}}{2}[/mm] + C
> x = [mm]2(\bruch{t^{3}}{3}[/mm] - 81t - C)
>
> für x=10 & t=1
> 10 = [mm]2(\bruch{1^{3}}{3}[/mm] - 81*1 - C)
> C = [mm]-\bruch{257}{3}[/mm]
>
> Ist das korrekt, oder wo liegt Fehler ?
Ob Du eine Lösung gefunden hast, kannst Du immer durch einsetzen (Probe) prüfen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:57 Di 20.01.2015 | | Autor: | Bindl |
Hi,
kannst du mir vielleicht einmal kurz eine die zu machende Probe zeigen?
zu a)
Habe ich das nun korrekt gelöst?
zu b)
[mm] (t^{2}-81) [/mm] * [mm] \dot{x}(t) [/mm] = x
Soll ich das zu
[mm] \bruch{\dot{x}(t)}{x} [/mm] = [mm] \bruch{1}{t^{2}-81}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{x}{\bruch{1}{x} dx} [/mm] = [mm] \integral_{}^{t}{\bruch{1}{t^{2}-81} dt}
[/mm]
ln(x) = [mm] \bruch{ln(\bruch{t-9}{t+9}}{18}) [/mm] + C
Dann kann ich nicht nach x auflösen.
Kann mir vielleicht jemand zeigen was zu machen ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:26 Di 20.01.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
auf beiden Seiten die Se- fkt anwenden.
Probe, x' ausrechnen, x und x' in die Dgl einsetzen ist sie erfüllt?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:10 Di 20.01.2015 | | Autor: | Bindl |
Hi,
ich kann leider mit dem Hinweis nichts anfangen.
Sind beide Rechnungen a) & b) falsch?
Trennung der Variablen soll ich machen.
Das habe ich doch bei a) und b) gemacht.
Das muss ich dann integrieren.
Ich stehe wahrlich auf dem Schlauch.
Ist es vielleicht möglich mir genauer zu zeigen was ich falsch mache?
Vielleicht kann man mir einfach den Anfang als "Musteranfängen" zeigen?
Danke für die Hilfe im voraus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:11 Di 20.01.2015 | | Autor: | chrisno |
Zu a:
Ich finde die Äußerungen zu Deiner Lösung zu a eindeutig. Wenn Du noch nicht sicher bist, mach die Probe: $ y(x) = [mm] \sqrt[4]{\bruch{4}{3x^{3}} + 4C} [/mm] $
einmal ableiten: $y'(x) = .......$
nun y(x) und y'(x) in diese Differentialgleichung einsetzen:
$ [mm] x^{-4} [/mm] + [mm] y(x)^{3} [/mm] y'(x) = 0 $
und prüfen, ob wirklich 0 heraus kommt.
Wenn Du das nicht verstehst, dann rechne mindestens y'(x) aus.
Zu b:
> ln(x) = $ [mm] \bruch{ln(\bruch{t-9}{t+9}}{18}) [/mm] $ + C
> Dann kann ich nicht nach x auflösen.
> Kann mir vielleicht jemand zeigen was zu machen ist?
hast Du den Hinweis bekommen:
> auf beiden Seiten die e- fkt anwenden
Das heißt auf beiden Seiten der Gleichung die e-Funktion, also die Exponentialfunktion, geschrieben [mm] $e^x$ [/mm] oder auch exp(x), welches die Umkehrfunktion zur natürlichen Logarithmusfunktion, geschrieben ln(x), ist, anwenden.
Erkläre, was daran nicht klar ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:39 Di 20.01.2015 | | Autor: | Bindl |
Hi,
der Hinweis war das ich auf beiden Seiten die Se-Fkt anwenden soll.
Ich hätte drauf kommen könne das e und nicht Se gemeint ist.
Sorry, das hat mich vollkommen durcheinander gebracht.
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dann bekommt man: [mm] x=\bruch{\bruch{t-9}{t+9}}{exp(18)}+exp(c)
[/mm]
nun haben wir aber noch das Anfangswertproblem: x(1)=10
also form ich die obige gleichung nach c auf: [mm] c=ln(x)-(\bruch{ln(\bruch{t-9}{t+9})}{18})
[/mm]
dann für x=10 und t=1 einsetzen: [mm] c=ln(10)-(\bruch{ln(\bruch{1-9}{1+9})}{18})
[/mm]
und dann habe ich das Problem, dass ich in der Gleichung den [mm] ln(\bruch{1-9}{1+9}) [/mm] hab, und dieser ja nicht existiert.
Wo liegt der Fehler? Werde noch verrückt!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:13 Mi 21.01.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] exp(a/b+c\not= [/mm] exp(a)(exp(b) +exp(c) !
ich hatte vorher auch vergessen zu verbessern [mm] \integral [/mm] {1/x dx}=ln|x| +C
du kannst die Anfangsbedingung vor oder nach auflösen einsetzen.
Gruß leduart
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> Hallo
> [mm]exp(a/b+c\not=[/mm] exp(a)(exp(b) +exp(c) !
wenn ich dich richtig verstehe habe ich die e-fkt falsch angewandt? wenn ja weiß ich aber nicht wie es richtig sein sollt. mein gedankengang:
ln|x| = [mm] \bruch{ln\bruch{|t-9|}{|t+9|}}{18}+c [/mm] |*exp()
[mm] \gdw [/mm] |x| = [mm] \bruch{\bruch{|t-9|}{|t+9|}}{exp(18)}+exp(c) [/mm]
> ich hatte vorher auch vergessen zu verbessern [mm]\integral[/mm]
> {1/x dx}=ln|x| +C
der hinweis is goldwert, danke!
> du kannst die Anfangsbedingung vor oder nach auflösen
> einsetzen.
> Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:27 Mi 21.01.2015 | | Autor: | Bindl |
> [mm]\gdw[/mm] |x| = [mm]\bruch{\bruch{|t-9|}{|t+9|}}{exp(18)}+exp(c)[/mm]
Jetzt muss ich doch nur noch für x=10 & für t=1 setzen und dann c ausrechnen, oder ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:39 Mi 21.01.2015 | | Autor: | Bindl |
Hi,
es steht dort das chrisno an einer Antwort arbeitet.
Ich hoffe mir kann hier jemand helfen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:06 Do 22.01.2015 | | Autor: | leduart |
ja!
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:00 Do 22.01.2015 | | Autor: | chrisno |
Das war der Stand der Dinge:
ln(x) = $ [mm] \bruch{ln(\bruch{t-9}{t+9}}{18}) [/mm] $ + C
Die Betragsstriche kamen dann noch dazu.
> es steht dort das chrisno an einer Antwort arbeitet.
> Ich hoffe mir kann hier jemand helfen.
Das tut mir leid. Irgendwie bin ich da nicht korrekt ausgestiegen, vermutlich.
Das, von PhillyEagles
> wenn ich dich richtig verstehe habe ich die e-fkt falsch angewandt? wenn ja weiß ich aber nicht wie > es richtig sein sollt. mein gedankengang:
> ln|x| = $ [mm] \bruch{ln\bruch{|t-9|}{|t+9|}}{18}+c [/mm] $ |*exp()
ist falsch. Gerade das * vor dem exp() weist darauf hin, dass etwas gründlich schief geht:
> $ [mm] \gdw [/mm] $ |x| = $ [mm] \bruch{\bruch{|t-9|}{|t+9|}}{exp(18)}+exp(c) [/mm] $
Dazu gab es von Leduart den Hinweis
> $ [mm] exp(a/b+c\not= [/mm] $ exp(a)(exp(b) +exp(c)
Ich weise auf das [mm] $\not=$ [/mm] hin. Die Klammern lassen sich ergänzen.
Du schreibst nun als Ergebnis des Umformungsschrittes:
> |x| = $ [mm] \bruch{\bruch{|t-9|}{|t+9|}}{exp(18)}+exp(c) [/mm] $
Ich sehe das so:
[mm] $\ln(|x|) [/mm] = [mm] \bruch{\ln(|\bruch{t-9}{t+9}|)}{18} [/mm] + C$
Auf beiden Seiten wird die Exponentialfunktion angewendet:
[mm] $\exp\left(\ln(|x|))\right) [/mm] = [mm] \exp\left(\bruch{\ln(|\bruch{t-9}{t+9}|)}{18} + C\right)$
[/mm]
Das wurde gemacht, damit sich links Funktion und Umkehrfunktion aufheben, es bleibt |x| übrig. Um die Betragsfunktion musst Du Dich noch kümmern.
Rechts müssen die Rechenregeln für die Exponentialfunktion angewendet werden. Dann komme ich nicht auf Dein Ergebnis. Man könnte das rechts auch unumgeformt stehen lassen
Du kannst Dein Ergebnis leicht überprüfen: Rechne die Probe.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:16 Do 22.01.2015 | | Autor: | Bindl |
Also wir haben
> [mm]\exp\left(\ln(|x|))\right) = \exp\left(\bruch{\ln(|\bruch{t-9}{t+9}|)}{18} + C\right)[/mm]
Dann bekomme ich
|x| = [mm] e^{C} [/mm] * [mm] (|\bruch{t-9}{t+9}|)^{\bruch{1}{18}}
[/mm]
Das kommt mir jedoch etwas kommisch vor, denn wenn ich für x=10 und t=1 einsetze dann bekomme ich für C=2,314982.
Ich denke mal ich habe [mm] \exp\left(\bruch{\ln(|\bruch{t-9}{t+9}|)}{18} + C\right) [/mm] falsch berechnet. Wie sollte es denn richtig lauten ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:31 Do 22.01.2015 | | Autor: | chrisno |
Was spricht gegen Dein Ergebnis? Wenn ich einsetze und nachrechne, dann passt es. Du kannst auch anstelle von [mm] $e^C$ [/mm] die Konstante $D = [mm] e^C [/mm] = [mm] 10,1247\ldots$ [/mm] nehmen.
Nun hast Du immer noch den Betrag von x. Mein Vorschlag: lass ihn probehalber weg. Leite x(t) nach der Zeit ab und schaue, wie das Ganze in die Differentialgleichung passt.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:51 Do 22.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> Also wir haben
> > [mm]\exp\left(\ln(|x|))\right) = \exp\left(\bruch{\ln(|\bruch{t-9}{t+9}|)}{18} + C\right)[/mm]
>
> Dann bekomme ich
>
> |x| = [mm]e^{C}[/mm] * [mm](|\bruch{t-9}{t+9}|)^{\bruch{1}{18}}[/mm]
>
> Das kommt mir jedoch etwas kommisch vor, denn wenn ich für
> x=10 und t=1 einsetze dann bekomme ich für C=2,314982.
Die Sucht nach Dezimalzahlen ist ja schlimmer als Drogensucht !
>
> Ich denke mal ich habe
> [mm]\exp\left(\bruch{\ln(|\bruch{t-9}{t+9}|)}{18} + C\right)[/mm]
> falsch berechnet. Wie sollte es denn richtig lauten ?
Du hast Dich nicht verhauen. Hübscher kan man schreiben:
[mm] $C=\bruch{19}{18}*\ln(10)-\bruch{1}{6}*\ln(2)$
[/mm]
Der cleane FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:56 Do 22.01.2015 | | Autor: | Bindl |
Danke für eure zahlreiche Hilfe
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:11 Do 22.01.2015 | | Autor: | chrisno |
Also machst Du den Rest alleine.
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