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| Aufgabe | Klassifiziere die isolierten Singularitäten der folgenden Funktionen.
Gib im Falle eines Pols dessen Ordnung an.
a) [mm] f(z)=\frac{z^4}{(z^2+16)^2}
[/mm]
b) [mm] f(z)=\frac{1-\cos{}z}{\sin{}z}
[/mm]
c) [mm] f(z)=\frac{1-\exp{}z}{z^3}
[/mm]
d) [mm] f(z)=z^7\sinh{\frac{2-i}{z}} [/mm] |
Hallo,
ich schreite immer weiter fort in der Funktionenthoerie und nun geht es um Singularitäten.
Folgendes habe ich mir überlegt:
Teilaufgabe a)
Die Nullstellen des Nenners sind [mm] z_{1,2}=\pm{}4i.
[/mm]
Ich berechne den Grenzwert [mm] G:=\lim\limits_{z\to{}z_{1,2}}|f(z)|, [/mm] dies ergibt [mm] G=\infty.
[/mm]
Daraus schlussfolgere ich, dass es sich bei den Punkten [mm] z_{1,2}=\pm{}4i [/mm] um eine Polstelle handelt.
Ich berechne die Ableitung an den Stellen [mm] z_{1,2} [/mm]
[mm] ((z^2+16)^2)'=4z(16+z^2)=0
[/mm]
Ich berechne die 2. Ableitung an der Stelle [mm] z_{1,2}:
[/mm]
[mm] (4z(16+z^2))'=-128
[/mm]
Damit handelt es sich um Polstellen der Ordnung 2 .
Teilaufgabe b) (ich bin mir sehr unsicher)
Singuläre Punkt sind [mm] z_0=k\pi, k\in\IZ
[/mm]
Nach den Halbwinkelsätzen ergibt sich [mm] f(z)=\frac{1-\cos{}z}{\sin{}z}=\tan{\frac{z}{2}}
[/mm]
Somit ist für [mm] z_0=2k\pi [/mm] die Singularität hebbar und für
[mm] z_0=(2k+1)\pi [/mm] ist die Singularität ein Pol, weil [mm] \lim\limits_{z\to{}2k\pi}|f(z)|=\infty
[/mm]
Also hebbar und Polstellen (Ordnung unendlich)
Teilaufgabe c)
Ich berechne mittels der Reihenentwicklung:
[mm] f(z)=\frac{1-\exp{z}}{z^3}=\frac{1-\sum_{n\ge 0}\frac{z^n}{n!}}{z^3}=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{z^{n-3}}{n!}
[/mm]
[mm] =-\frac{1}{z^2}-\frac{1}{2z}-\sum_{n=3}^{\infty}\frac{z^{n-3}}{n!}
[/mm]
Daraus ergibt sich, dass erneut eine Polstelle bei z=0 vorhanden ist.
=> Polstelle der Ordnung 2
Teilaufgabe d)
Noch keinen Plan. Erst einmal die anderen drei Aufgaben überprüfen.
Ich würde mich freuen, wenn jemand über den Schund schaut und mich lobt oder rügt. ;)
Ich wünsche einen schönen Samstag Abend und einen noch besseren Sonntag!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:38 So 11.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Klassifiziere die isolierten Singularitäten der folgenden
> Funktionen.
> Gib im Falle eines Pols dessen Ordnung an.
>
> a) [mm]f(z)=\frac{z^4}{(z^2+16)^2}[/mm]
>
> b) [mm]f(z)=\frac{1-\cos{}z}{\sin{}z}[/mm]
>
> c) [mm]f(z)=\frac{1-\exp{}z}{z^3}[/mm]
>
> d) [mm]f(z)=z^7\sinh{\frac{2-i}{z}}[/mm]
> Hallo,
>
> ich schreite immer weiter fort in der Funktionenthoerie
Hallo Richie,
das ist schön. Funktionentheorie ist mein Hobby !
> und
> nun geht es um Singularitäten.
>
> Folgendes habe ich mir überlegt:
>
> Teilaufgabe a)
>
> Die Nullstellen des Nenners sind [mm]z_{1,2}=\pm{}4i.[/mm]
> Ich berechne den Grenzwert
> [mm]G:=\lim\limits_{z\to{}z_{1,2}}|f(z)|,[/mm] dies ergibt
> [mm]G=\infty.[/mm]
> Daraus schlussfolgere ich, dass es sich bei den Punkten
> [mm]z_{1,2}=\pm{}4i[/mm] um eine Polstelle handelt.
>
> Ich berechne die Ableitung an den Stellen [mm]z_{1,2}[/mm]
> [mm]((z^2+16)^2)'=4z(16+z^2)=0[/mm]
>
> Ich berechne die 2. Ableitung an der Stelle [mm]z_{1,2}:[/mm]
> [mm](4z(16+z^2))'=-128[/mm]
>
> Damit handelt es sich um Polstellen der Ordnung 2 .
Ja.
>
>
> Teilaufgabe b) (ich bin mir sehr unsicher)
>
> Singuläre Punkt sind [mm]z_0=k\pi, k\in\IZ[/mm]
> Nach den
> Halbwinkelsätzen ergibt sich
> [mm]f(z)=\frac{1-\cos{}z}{\sin{}z}=\tan{\frac{z}{2}}[/mm]
> Somit ist für [mm]z_0=2k\pi[/mm] die Singularität hebbar
Ja
> und
> für
> [mm]z_0=(2k+1)\pi[/mm] ist die Singularität ein Pol, weil
> [mm]\lim\limits_{z\to{}2k\pi}|f(z)|=\infty[/mm]
Ja
>
> Also hebbar und Polstellen (Ordnung unendlich)
Vielleicht meinst Du es richtig, aber so kann man das nicht stehen lassen.
[mm]z_0=(2k+1)\pi[/mm] ist ein Pol 1. Ordnung.
>
>
> Teilaufgabe c)
>
> Ich berechne mittels der Reihenentwicklung:
>
> [mm]f(z)=\frac{1-\exp{z}}{z^3}=\frac{1-\sum_{n\ge 0}\frac{z^n}{n!}}{z^3}=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{z^{n-3}}{n!}[/mm]
>
> [mm]=-\frac{1}{z^2}-\frac{1}{2z}-\sum_{n=3}^{\infty}\frac{z^{n-3}}{n!}[/mm]
>
> Daraus ergibt sich, dass erneut eine Polstelle bei z=0
> vorhanden ist.
>
> => Polstelle der Ordnung 2
Ja.
>
>
> Teilaufgabe d)
Tipp: schreib mal die Potenzreihenentwicklung von sinh(z) um z=0 hin.
Setze dann statt z den Quotienten [mm] \bruch{2-i}{z} [/mm] ein.
Dann solltest Du sehen, dass [mm] sinh(\bruch{2-i}{z}) [/mm] in 0 eine wesentliche Singularität hat. Die Multiplikation mit [mm] z^7 [/mm] ändert daran nichts.
Gruß FRED
>
> Noch keinen Plan. Erst einmal die anderen drei Aufgaben
> überprüfen.
>
>
>
> Ich würde mich freuen, wenn jemand über den Schund schaut
> und mich lobt oder rügt. ;)
>
> Ich wünsche einen schönen Samstag Abend und einen noch
> besseren Sonntag!
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Moin Moin Fred,
ich danke dir für deine Antwort.
> > Hallo,
> >
> > ich schreite immer weiter fort in der Funktionenthoerie
>
>
> Hallo Richie,
>
> das ist schön. Funktionentheorie ist mein Hobby !
Hobby und auch Beruf? - Wenn ich mal fragen darf...
>
>
> > und
> > nun geht es um Singularitäten.
> >
> > Folgendes habe ich mir überlegt:
> >
> >
> > Teilaufgabe b) (ich bin mir sehr unsicher)
> >
> > Singuläre Punkt sind [mm]z_0=k\pi, k\in\IZ[/mm]
> > Nach den
> > Halbwinkelsätzen ergibt sich
> > [mm]f(z)=\frac{1-\cos{}z}{\sin{}z}=\tan{\frac{z}{2}}[/mm]
> > Somit ist für [mm]z_0=2k\pi[/mm] die Singularität hebbar
>
>
> Ja
>
>
>
> > und
> > für
> > [mm]z_0=(2k+1)\pi[/mm] ist die Singularität ein Pol, weil
> > [mm]\lim\limits_{z\to{}2k\pi}|f(z)|=\infty[/mm]
>
> Ja
>
>
> >
> > Also hebbar und Polstellen (Ordnung unendlich)
>
>
> Vielleicht meinst Du es richtig, aber so kann man das nicht
> stehen lassen.
>
> [mm]z_0=(2k+1)\pi[/mm] ist ein Pol 1. Ordnung.
Ahja, da habe ich mich in der Tat vertan. Es gibt unendlich viele Polstellen, aber die Ordnung ist auch, wie man durch die Ableitung sehen kann.
Man betrachte dazu [mm] (\sin{z})' [/mm] an der Stelle [mm] z=(2k+1)\pi, [/mm] so folgt [mm] \cos{(2k+1)\pi}=-{1}\not=0 \Rightarrow [/mm] Ordnung 1
>
>
> >
> >
> > Teilaufgabe c)
> >
> > Ich berechne mittels der Reihenentwicklung:
> >
> > [mm]f(z)=\frac{1-\exp{z}}{z^3}=\frac{1-\sum_{n\ge 0}\frac{z^n}{n!}}{z^3}=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{z^{n-3}}{n!}[/mm]
>
> >
> >
> [mm]=-\frac{1}{z^2}-\frac{1}{2z}-\sum_{n=3}^{\infty}\frac{z^{n-3}}{n!}[/mm]
> >
> > Daraus ergibt sich, dass erneut eine Polstelle bei z=0
> > vorhanden ist.
> >
> > => Polstelle der Ordnung 2
>
> Ja.
>
>
> >
> >
> > Teilaufgabe d)
>
> Tipp: schreib mal die Potenzreihenentwicklung von sinh(z)
> um z=0 hin.
>
> Setze dann statt z den Quotienten [mm]\bruch{2-i}{z}[/mm] ein.
>
> Dann solltest Du sehen, dass [mm]sinh(\bruch{2-i}{z})[/mm] in 0 eine
> wesentliche Singularität hat. Die Multiplikation mit [mm]z^7[/mm]
> ändert daran nichts.
Diesen Tipp habe ich sofort verfolgt und komme so auf
[mm] f(z)=z^7\sum\limits_{n\ge 0}\frac{\left(\frac{2-i}{z}\right)^{2n+1}}{(2n+1)!}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2-i)^{2n+1}}{(2n+1)!}\left(z^{-2n+6}\right)
[/mm]
Und damit hat man in der Reihe unendlich viele negative Exponenten
[mm] \Rightarrow [/mm] z=0 ist wesentliche Singularität.
Diese Schlussfolgerung müsste dann auch korrekt sein, ja?
Ich bedanke mich.
Schönen Tag!
>
>
> Gruß FRED
> >
> > Noch keinen Plan. Erst einmal die anderen drei Aufgaben
> > überprüfen.
> >
> >
> >
> > Ich würde mich freuen, wenn jemand über den Schund schaut
> > und mich lobt oder rügt. ;)
> >
> > Ich wünsche einen schönen Samstag Abend und einen noch
> > besseren Sonntag!
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:57 So 11.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Moin Moin Fred,
>
> ich danke dir für deine Antwort.
>
> > > Hallo,
> > >
> > > ich schreite immer weiter fort in der Funktionenthoerie
> >
> >
> > Hallo Richie,
> >
> > das ist schön. Funktionentheorie ist mein Hobby !
> Hobby und auch Beruf? - Wenn ich mal fragen darf...
> >
> >
> > > und
> > > nun geht es um Singularitäten.
> > >
> > > Folgendes habe ich mir überlegt:
> > >
> > >
> > > Teilaufgabe b) (ich bin mir sehr unsicher)
> > >
> > > Singuläre Punkt sind [mm]z_0=k\pi, k\in\IZ[/mm]
> > > Nach den
> > > Halbwinkelsätzen ergibt sich
> > > [mm]f(z)=\frac{1-\cos{}z}{\sin{}z}=\tan{\frac{z}{2}}[/mm]
> > > Somit ist für [mm]z_0=2k\pi[/mm] die Singularität hebbar
> >
> >
> > Ja
> >
> >
> >
> > > und
> > > für
> > > [mm]z_0=(2k+1)\pi[/mm] ist die Singularität ein Pol, weil
> > > [mm]\lim\limits_{z\to{}2k\pi}|f(z)|=\infty[/mm]
> >
> > Ja
> >
> >
> > >
> > > Also hebbar und Polstellen (Ordnung unendlich)
> >
> >
> > Vielleicht meinst Du es richtig, aber so kann man das nicht
> > stehen lassen.
> >
> > [mm]z_0=(2k+1)\pi[/mm] ist ein Pol 1. Ordnung.
>
> Ahja, da habe ich mich in der Tat vertan. Es gibt unendlich
> viele Polstellen, aber die Ordnung ist auch, wie man durch
> die Ableitung sehen kann.
> Man betrachte dazu [mm](\sin{z})'[/mm] an der Stelle [mm]z=(2k+1)\pi,[/mm]
> so folgt [mm]\cos{(2k+1)\pi}=-{1}\not=0 \Rightarrow[/mm] Ordnung 1
> >
> >
> > >
> > >
> > > Teilaufgabe c)
> > >
> > > Ich berechne mittels der Reihenentwicklung:
> > >
> > > [mm]f(z)=\frac{1-\exp{z}}{z^3}=\frac{1-\sum_{n\ge 0}\frac{z^n}{n!}}{z^3}=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{z^{n-3}}{n!}[/mm]
>
> >
> > >
> > >
> >
> [mm]=-\frac{1}{z^2}-\frac{1}{2z}-\sum_{n=3}^{\infty}\frac{z^{n-3}}{n!}[/mm]
> > >
> > > Daraus ergibt sich, dass erneut eine Polstelle bei z=0
> > > vorhanden ist.
> > >
> > > => Polstelle der Ordnung 2
> >
> > Ja.
> >
> >
> > >
> > >
> > > Teilaufgabe d)
> >
> > Tipp: schreib mal die Potenzreihenentwicklung von sinh(z)
> > um z=0 hin.
> >
> > Setze dann statt z den Quotienten [mm]\bruch{2-i}{z}[/mm] ein.
> >
> > Dann solltest Du sehen, dass [mm]sinh(\bruch{2-i}{z})[/mm] in 0 eine
> > wesentliche Singularität hat. Die Multiplikation mit [mm]z^7[/mm]
> > ändert daran nichts.
>
> Diesen Tipp habe ich sofort verfolgt und komme so auf
>
> [mm]f(z)=z^7\sum\limits_{n\ge 0}\frac{\left(\frac{2-i}{z}\right)^{2n+1}}{(2n+1)!}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2-i)^{2n+1}}{(2n+1)!}\left(z^{-2n+6}\right)[/mm]
>
> Und damit hat man in der Reihe unendlich viele negative
> Exponenten
> [mm]\Rightarrow[/mm] z=0 ist wesentliche Singularität.
>
>
> Diese Schlussfolgerung müsste dann auch korrekt sein, ja?
Ja
>
>
> Ich bedanke mich.
> Schönen Tag!
Ebenso FRED
> >
> >
> > Gruß FRED
> > >
> > > Noch keinen Plan. Erst einmal die anderen drei Aufgaben
> > > überprüfen.
> > >
> > >
> > >
> > > Ich würde mich freuen, wenn jemand über den Schund schaut
> > > und mich lobt oder rügt. ;)
> > >
> > > Ich wünsche einen schönen Samstag Abend und einen noch
> > > besseren Sonntag!
> >
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:38 Mo 12.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Moin Moin Fred,
>
> ich danke dir für deine Antwort.
>
> > > Hallo,
> > >
> > > ich schreite immer weiter fort in der Funktionenthoerie
> >
> >
> > Hallo Richie,
> >
> > das ist schön. Funktionentheorie ist mein Hobby !
> Hobby und auch Beruf? - Wenn ich mal fragen darf...
Ja, beides
FRED
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