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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:51 Do 08.07.2010 | | Autor: | matheja |
Guten Abend liebe matheraumfreunde,
ich rechne grad eine altklausur durch und habe ein kleines problem mit dieser aufgabe.
| Aufgabe | Seien A, B, und E Ereignisse in einem wahrscheinlichekietsraum (Omega, P)
mit P(A)=0.6, P(B)=P(E)=0.5 sowie [mm] P(B|E)=P(B|E^{c})
[/mm]
(a) Zeigen Sie, dass 0.1<= P(A [mm] \cap [/mm] B)
(b) Bestimmen sie P(B [mm] \cap [/mm] E). Begründen sie ihre antwort |
Meine Idee:
zu
(b) Da [mm] gilt:P(B|E)=P(B|E^{c}) [/mm] folgt B und E sind stochastisch unabhängig
=> P(B [mm] \cap [/mm] E)=P(B)*P(E)=0.5*0.5=0.25
zu
(a) hier steh ich ein bissl auf den schlauch,
weil ich nicht weiß ob A und B stochastisch unabhängig sind, wenn ja
gilt:=> P(A [mm] \cap [/mm] B)=P(A)*P(B)=0.5*0.6=>0.1 womit die aussage gezeigt wäre, aber das ist nur die halbe wahrheit habe ich das gefühl.
Sind meine Überlegungen korrekt?
Wenn nein wo liegt der Fehler und wie kann ich das besser machen.
LG
matheja
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:24 Do 08.07.2010 | | Autor: | abakus |
> Guten Abend liebe matheraumfreunde,
>
> ich rechne grad eine altklausur durch und habe ein kleines
> problem mit dieser aufgabe.
>
> Seien A, B, und E Ereignisse in einem
> wahrscheinlichekietsraum (Omega, P)
> mit P(A)=0.6, P(B)=P(E)=0.5 sowie [mm]P(B|E)=P(B|E^{c})[/mm]
>
> (a) Zeigen Sie, dass 0.1<= P(A [mm]\cap[/mm] B)
> (b) Bestimmen sie P(B [mm]\cap[/mm] E). Begründen sie ihre
> antwort
>
> Meine Idee:
>
> zu
>
> (b) Da [mm]gilt:P(B|E)=P(B|E^{c})[/mm] folgt B und E sind
> stochastisch unabhängig
> => P(B [mm]\cap[/mm] E)=P(B)*P(E)=0.5*0.5=0.25
>
> zu
>
> (a) hier steh ich ein bissl auf den schlauch,
Hallo,
das Ereignis A deckt 60% des Wahrscheinlichkeitsraums ab.
Wo soll B hin, ohne sich mit A zu überschneiden? Seine Abdeckung von 50% des Wahrscheinlichkeitsraums kann im günstigsten Fall die 40% belegen, die von A noch nicht abgedeckt wurden. Übrig bleiben 10%, die in A liegen MÜSSEN.
Ansonsten kommt man vielleicht mit DeMorgan weiter:
[mm] \neg(A\cap B)=\neg A\cup\neg [/mm] B.
Bekanntermaßen gilt [mm] P(X\cup Y)=P(X)+P(Y)-P(X\cap [/mm] Y), diese Beziehung könntest du auf
[mm] P(\neg [/mm] A [mm] \cup\neg [/mm] B ) anwenden...
Gruß Abakus
> weil ich nicht weiß ob A und B stochastisch unabhängig
> sind, wenn ja
> gilt:=> P(A [mm]\cap[/mm] B)=P(A)*P(B)=0.5*0.6=>0.1 womit die
> aussage gezeigt wäre, aber das ist nur die halbe wahrheit
> habe ich das gefühl.
>
>
> Sind meine Überlegungen korrekt?
> Wenn nein wo liegt der Fehler und wie kann ich das besser
> machen.
>
>
> LG
> matheja
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:26 Do 08.07.2010 | | Autor: | matheja |
danke für für die tolle anschauliche erklärung
mfg
matheja
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:51 Do 08.07.2010 | | Autor: | kegel53 |
Sorry, dass ich mich einmische, aber bin grad auf die Frage gestoßen und wunder mich wie hierbei wie DeMorgan helfen kann?!
Es ist doch [mm] P[A\cap{B}]=P[A]+P[B]-P[A\cup{B}] [/mm] oder mit deinem Vorschlag [mm] P[A\cap{B}]=1-P[A^c\cup{B^c}]=1-(P[A^c]+P[B^c]-P[A^c\cap{B^c}]).
[/mm]
D.h. in beiden Varianten kann ich nicht alle W'keiten berechnen, in der ersten macht [mm] P[A\cup{B}] [/mm] Probleme und in der zweiten [mm] P[A^c\cap{B^c}], [/mm] was auf das gleiche rausläuft.
Oder seh ich im Moment schlichtweg was falsch und die Berechnung geht womöglich doch ganz einfach von der Hand??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:13 Fr 09.07.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sorry, dass ich mich einmische, aber bin grad auf die Frage
> gestoßen und wunder mich wie hierbei wie DeMorgan helfen
> kann?!
>
> Es ist doch [mm]P[A\cap{B}]=P[A]+P[B]-P[A\cup{B}][/mm] oder mit
> deinem Vorschlag
> [mm]P[A\cap{B}]=1-P[A^c\cup{B^c}]=1-(P[A^c]+P[B^c]-P[A^c\cap{B^c}]).[/mm]
>
> D.h. in beiden Varianten kann ich nicht alle W'keiten
> berechnen, in der ersten macht [mm]P[A\cup{B}][/mm] Probleme und in
> der zweiten [mm]P[A^c\cap{B^c}],[/mm] was auf das gleiche
> rausläuft.
> Oder seh ich im Moment schlichtweg was falsch und die
> Berechnung geht womöglich doch ganz einfach von der Hand??
es ist eigentlich sehr einfach, und ihr habt doch schon alles gesagt (de Morgan braucht man nicht, aber "Rechenregeln" für Wahrscheinlichkeitsmaße bzw. (endliche) Maße):
Aus $P(A [mm] \cup [/mm] B)+P(A [mm] \cap [/mm] B)=P(A)+P(B)$ folgt
$$P(A [mm] \cap [/mm] B)=P(A)+P(B)-P(A [mm] \cup [/mm] B)=1,1-P(A [mm] \cup B)\,.$$
[/mm]
Wegen $P(A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \le P(\Omega)=1$ [/mm] (da $A [mm] \cup [/mm] B [mm] \subseteq \Omega$) [/mm] folgt
$$P(A [mm] \cap [/mm] B)=1,1-P(A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \ge 1,1-P(\Omega)=1,1-1=0,1\,.$$
[/mm]
Beste Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:59 Fr 09.07.2010 | | Autor: | kegel53 |
Vielen Dank Marcel!!
Das hat mich jetzt doch arg beschäftigt, da konnt ich ohne Lösung nicht ins Bett :).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:31 Fr 09.07.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Guten Abend liebe matheraumfreunde,
> >
> > ich rechne grad eine altklausur durch und habe ein kleines
> > problem mit dieser aufgabe.
> >
> > Seien A, B, und E Ereignisse in einem
> > wahrscheinlichekietsraum (Omega, P)
> > mit P(A)=0.6, P(B)=P(E)=0.5 sowie [mm]P(B|E)=P(B|E^{c})[/mm]
> >
> > (a) Zeigen Sie, dass 0.1<= P(A [mm]\cap[/mm] B)
> > (b) Bestimmen sie P(B [mm]\cap[/mm] E). Begründen sie ihre
> > antwort
> >
> > Meine Idee:
> >
> > zu
> >
> > (b) Da [mm]gilt:P(B|E)=P(B|E^{c})[/mm] folgt B und E sind
> > stochastisch unabhängig
> > => P(B [mm]\cap[/mm] E)=P(B)*P(E)=0.5*0.5=0.25
> >
> > zu
> >
> > (a) hier steh ich ein bissl auf den schlauch,
> Hallo,
> das Ereignis A deckt 60% des Wahrscheinlichkeitsraums ab.
> Wo soll B hin, ohne sich mit A zu überschneiden? Seine
> Abdeckung von 50% des Wahrscheinlichkeitsraums kann im
> günstigsten Fall die 40% belegen, die von A noch nicht
> abgedeckt wurden. Übrig bleiben 10%, die in A liegen
> MÜSSEN.
> Ansonsten kommt man vielleicht mit DeMorgan weiter:
> [mm]\neg(A\cap B)=\neg A\cup\neg[/mm] B.
> Bekanntermaßen gilt [mm]P(X\cup Y)=P(X)+P(Y)-P(X\cap[/mm] Y),
> diese Beziehung könntest du auf
> [mm]P(\neg[/mm] A [mm]\cup\neg[/mm] B ) anwenden...
naja, das ganze folgt sehr schnell aus $A [mm] \cup [/mm] B [mm] \subseteq \Omega\,.$ [/mm] Man kann aber vll. durchaus auch mit de Morgan argumentieren:
$$P((A [mm] \cap B)^c)=P(A^c)+P(B^c)-P(A^c \cap B^c)=0,4+0,5-P(A^c \cap B^c)\,.$$
[/mm]
Da [mm] $P(A^c \cap B^c) \ge [/mm] 0$ ist daher $P((A [mm] \cap B)^c)\le [/mm] 0,9,$ woraus
$$P(A [mm] \cap [/mm] B)=1-P((A [mm] \cap B)^c) \ge [/mm] 1-0,9=0,1$$
folgt.
Beste Grüße,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:23 Fr 09.07.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Guten Abend liebe matheraumfreunde,
>
> ich rechne grad eine altklausur durch und habe ein kleines
> problem mit dieser aufgabe.
>
> Seien A, B, und E Ereignisse in einem
> wahrscheinlichekietsraum (Omega, P)
> mit P(A)=0.6, P(B)=P(E)=0.5 sowie [mm]P(B|E)=P(B|E^{c})[/mm]
>
> (a) Zeigen Sie, dass 0.1<= P(A [mm]\cap[/mm] B)
> (b) Bestimmen sie P(B [mm]\cap[/mm] E). Begründen sie ihre
> antwort
>
> Meine Idee:
>
> zu
>
> (b) Da [mm]gilt:P(B|E)=P(B|E^{c})[/mm] folgt B und E sind
> stochastisch unabhängig
stimmt, siehe etwa ![[]](/images/popup.gif) hier.
> => P(B [mm]\cap[/mm] E)=P(B)*P(E)=0.5*0.5=0.25
Ich sehe da jedenfalls keinen (Denk- oder Rechen-)fehler.
> zu
>
> (a) hier steh ich ein bissl auf den schlauch,
> weil ich nicht weiß ob A und B stochastisch unabhängig
> sind, wenn ja
> gilt:=> P(A [mm]\cap[/mm] B)=P(A)*P(B)=0.5*0.6=>0.1 womit die
> aussage gezeigt wäre, aber das ist nur die halbe wahrheit
> habe ich das gefühl.
Sie müssen nicht unabhängig sein. Benutze
$$P(A [mm] \cap [/mm] B)=1,1-P(A [mm] \cup B)\;\;\text{(Frage an Dich: Wie kommt die 1,1 zustande?)}$$
[/mm]
und schätze $P(A [mm] \cup [/mm] B)$ mit $A [mm] \cup [/mm] B [mm] \subseteq \Omega$ [/mm] ab. Wenn Du nicht weiterkommst, ich habe es hier (in Deinem Thread) auch genauer ausgeführt. Du wirst Dich vll. wundern, wie banal es für Dich ist, wenn Du meine Lösung mal gesehen hat (ist ja meistens so: Wenn man die Lösung kennt, wundert man sich, dass man da nicht alleine drauf gekommen ist ^^).
Beste Grüße,
Marcel
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