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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:17 Sa 24.03.2007 | | Autor: | Zerwas |
| Aufgabe | Seien f,g Endomorphismen eines endlich Dimensionalen K-Vektorraums V. Welche der folgenden Aussagen sind richtig?
(a) f ist injektiv => f ist surjektiv
(b) f ist injektiv => $ [mm] f^2 [/mm] ist injektiv
(c) f & g sind inj => f+g ist injektiv |
(a) stimmt, da f: [mm] V\to [/mm] V ergibt sich aus der Tatsache, dass jedem Element ein eindeutiges Anderes zugewiesen wird, dass auch ganz V "getroffen wird
(b) stimmt
(c) stimmt
Ich wäre Dankbar wenn jmd diese Aufgaben Korrektur lesen könnte und mich auf Fehler Aufmerksam machen und bei den Aufgaben bei denen mir der Ansatz oder die Begründung fehlt auf die Sprünge hefen könnte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 09:23 Sa 24.03.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Seien f,g Endomorphismen eines endlich Dimensionalen
> K-Vektorraums V. Welche der folgenden Aussagen sind
> richtig?
> (a) f ist injektiv => f ist surjektiv
> (b) f ist injektiv => $ [mm]f^2[/mm] ist injektiv
> (c) f & g sind inj => f+g ist injektiv
> (a) stimmt, da f: [mm]V\to[/mm] V ergibt sich aus der Tatsache,
> dass jedem Element ein eindeutiges Anderes zugewiesen wird,
> dass auch ganz V "getroffen wird
Nein: Injektiv heisst ja, dass jedes Element aus V auch getroffen wird.
Beispiel:
[mm] f:\IR\to\IR x\mapsto{x²} [/mm] ist injektiv, aber nicht surjektiv
Ausserdem würde dann die Bijektivität keinen Sinn ergeben, wenn eine Injektive Funktion auch eine surjektive wäre.
> (b) stimmt
> (c) stimmt
>
Das dürfte richtig sein
> Ich wäre Dankbar wenn jmd diese Aufgaben Korrektur lesen
> könnte und mich auf Fehler Aufmerksam machen und bei den
> Aufgaben bei denen mir der Ansatz oder die Begründung fehlt
> auf die Sprünge hefen könnte.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Marius
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 11:44 Sa 24.03.2007 | | Autor: | Marc |
Hallo Marius,
> > Seien f,g Endomorphismen eines endlich Dimensionalen
> > K-Vektorraums V. Welche der folgenden Aussagen sind
> > richtig?
> > (a) f ist injektiv => f ist surjektiv
> > (b) f ist injektiv => $ [mm]f^2[/mm] ist injektiv
> > (c) f & g sind inj => f+g ist injektiv
> > (a) stimmt, da f: [mm]V\to[/mm] V ergibt sich aus der Tatsache,
> > dass jedem Element ein eindeutiges Anderes zugewiesen wird,
> > dass auch ganz V "getroffen wird
>
> Nein: Injektiv heisst ja, dass jedes Element aus V auch
> getroffen wird.
> Beispiel:
>
> [mm]f:\IR\to\IR x\mapsto{x²}[/mm] ist injektiv, aber nicht
> surjektiv
>
> Ausserdem würde dann die Bijektivität keinen Sinn ergeben,
> wenn eine Injektive Funktion auch eine surjektive wäre.
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") , siehe meine Antwort 
> > (b) stimmt
> > (c) stimmt
> >
>
> Das dürfte richtig sein
(c) stimmt meiner Meinung nach auch nicht, siehe Gegenbeispiel in meiner Antwort.
Viele Grüße,
Marc
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
