Klausur LA1 2.2 < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:33 Sa 24.03.2007 | | Autor: | Zerwas |
| Aufgabe | Seinen V & W endlich dimensionale K-VR. Sei f: [mm] W\to [/mm] V eine K-lineare Abbildung mit Ker(f)=0.
Zeigen Sie: Es gibt eine K-lineare Abbildung g: [mm] V\to [/mm] W mit [mm] g\circ [/mm] f = [mm] id_W [/mm] & [mm] V=Bild(f)\oplus [/mm] Ker(g) |
Aus Ker(f) = 0 folgt, dass f injektiv ist
Dann konstruiere man eine Teilraum [mm] V'\subset [/mm] V mit [mm] V'={w|w_i=f(v_i)}. [/mm]
Nun ist [mm] f:W\to [/mm] V' bijektiv und man kann g' definieren durch g'=f^-1. Die Linearität von g' ergibt sich dann direkt aus der von f.
Weiter kann man nun g definieren durch g(v) [mm] =\begin{cases} g'(v), & \mbox{für } \forall v\in Im(f) \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases}
[/mm]
g ist nun weiterhin linear und [mm] g\circ [/mm] f = [mm] id_W, [/mm] da Im(f) durch die g'=f^-1 dies gewährleistet
zz.: [mm] V=Bild(f)\oplus [/mm] Ker(g)
Im(f)=V' (n.Def.)
Ker(g) ist nach Konstruktion genau V ohne V' also ergibt sich:
[mm] V=Bild(f)\oplus [/mm] Ker(g)
Ich wäre Dankbar wenn jmd diese Aufgaben Korrektur lesen könnte und mich auf Fehler Aufmerksam machen und bei den Aufgaben bei denen mir der Ansatz oder die Begründung fehlt auf die Sprünge hefen könnte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Seinen V & W endlich dimensionale K-VR. Sei f: [mm]W\to[/mm] V eine
> K-lineare Abbildung mit Ker(f)=0.
> Zeigen Sie: Es gibt eine K-lineare Abbildung g: [mm]V\to[/mm] W mit
> [mm]g\circ[/mm] f = [mm]id_W[/mm] & [mm]V=Bild(f)\oplus[/mm] Ker(g)
Hallo,
Deine Grundgedanken sind richtig, und ich konnte das auch im Wesentlichen nachvollziehen.
Ein paar Kritikpunkte:
> Aus Ker(f) = 0 folgt, dass f injektiv ist
> Dann konstruiere man eine Teilraum [mm]V'\subset[/mm] V mit
> [mm]V'=\{w|w_i=f(v_i)\}.[/mm]
Ich vermute, daß in Deiner Menge V' irgendwie (stillschweigend) eine Basis im Spiel ist. Das müßte vorher irgendwo stehen. So kann man mit dem Index i nichts anfangen.
Ich glaube, Du meinst einfach: V':=Bildf. Ist's das?
> Nun ist [mm]f:W\to[/mm] V' bijektiv und man kann g' definieren durch
> g'=f^-1. Die Linearität von g' ergibt sich dann direkt aus
> der von f.
"Ergibt sich dann direkt" - darauf falle ich nicht rein! Wie ergibt sich das?
(Ich zeige Dir unten, wie Du das elegant umschiffen kannst.
> Weiter kann man nun g definieren durch g(v) [mm]=\begin{cases} g'(v), & \mbox{für } \forall v\in Im(f) \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases}[/mm]
>
> g ist nun weiterhin linear und [mm]g\circ[/mm] f = [mm]id_W,[/mm] da Im(f)
> durch die g'=f^-1 dies gewährleistet
>
> zz.: [mm]V=Bild(f)\oplus[/mm] Ker(g)
> Im(f)=V' (n.Def.)
> Ker(g) ist nach Konstruktion genau V ohne V' also ergibt
> sich:
> [mm]V=Bild(f)\oplus[/mm] Ker(g)
Ich würde bei der Aufgabe stärker mit den Basen arbeiten, das vereinfacht manches.
Kernf=0, also ist die Funktion injektiv, auf ihrem Bild sogar bijektiv.
Betrachte Bildf [mm] \subseteq [/mm] V.
Bild f ist ein VR, hat also eine endliche (weil V endl. dim.) Basis [mm] (v_1,...v_m).
[/mm]
Nach dem Basisergänzungssatz kann man diese durch Vektoren [mm] v_{m+1},.., v_n [/mm] ergänzen zu einer Basis von V.
Da lineare Abbildungen durch ihre Werte auf einer Basis eindeutig bestimmt sind und f auf Bildf bijektiv ist, kann man durch
[mm] g(v_i):=\begin{cases} w_i, & \mbox{mit} f(w_i)=v_i \mbox{für } i\in\{1,...,m\} \\ 0, & \mbox{für } i\in \{m+1,...,n\} \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
eine lineare Abbildung definieren.
Es ist Bild [mm] f=
[/mm]
und nach Konstruktion der Abbildung g hat man [mm] Kerng=.
[/mm]
Da [mm] (v_1,...,v_n) [/mm] eine Basis von V ist, ist der Schnitt von [mm] [/mm] und [mm] [/mm] leer, und es ist [mm] V=+.
[/mm]
Wie gesagt, auf das Spiel mit den Basen kam es mir an.
Ist auch immer nett, wenn man so Dinge wie den Basisergänzungssatz beim Namen nennen kann und es tut. Oder Sprüche wie den, daß jede lineare Abbildung durch die Werte auf ihrer Basis eindeutig bestimmt ist.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:07 Sa 24.03.2007 | | Autor: | Zerwas |
Okay ... ich war auch am überlegen ob ich mit Basen arbeiten soll hatte aber dann den Eindruck mich iwie völlig zu verzetteln ... Vielen Dank für die Korrektur
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