Klausur LA1 2.4 < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:38 Sa 24.03.2007 | | Autor: | Zerwas |
| Aufgabe | (a) Bestimmen sie alle Eigenwerte der [mm] \IR-linearen [/mm] Abbildung f: [mm] \IR^2\to \IR^2 [/mm] die bzgl. der Standart-Basis durch die Matrix [mm] \pmat{ 4 & 2 \\ -1 & 1 } [/mm] gegeben ist.
(b) Geben sie eine Basis an, bzgl. der die obrige Abbildung Diagonalgestalt hat. |
(a) [mm] \vmat{ \lambda I - A} [/mm] = [mm] \vmat{ \lambda-4 & -2 \\ 1 & \lambda-1} [/mm] = [mm] (\lambda-4)(\lambda-1)+2 [/mm] = [mm] \lambda^2-5\lambda+6
[/mm]
=> [mm] \lambda_1=2, \lambda_2=3
[/mm]
(b) hier habe ich keine Ahnung wie ansetzen
Ich wäre Dankbar wenn jmd diese Aufgaben Korrektur lesen könnte und mich auf Fehler Aufmerksam machen und bei den Aufgaben bei denen mir der Ansatz oder die Begründung fehlt auf die Sprünge hefen könnte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:13 Sa 24.03.2007 | | Autor: | ullim |
Hi,
> (a) Bestimmen sie alle Eigenwerte der [mm]\IR-linearen[/mm]
> Abbildung f: [mm]\IR^2\to \IR^2[/mm] die bzgl. der Standart-Basis
> durch die Matrix [mm]\pmat{ 4 & 2 \\ -1 & 1 }[/mm] gegeben ist.
> (b) Geben sie eine Basis an, bzgl. der die obrige
> Abbildung Diagonalgestalt hat.
> (a) [mm]\vmat{ \lambda I - A}[/mm] = [mm]\vmat{ \lambda-4 & -2 \\ 1 & \lambda-1}[/mm]
> = [mm](\lambda-4)(\lambda-1)+2[/mm] = [mm]\lambda^2-5\lambda+6[/mm]
> => [mm]\lambda_1=2, \lambda_2=3[/mm]
Das ist ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> (b) hier habe ich keine Ahnung wie ansetzen
>
Du musst die Gleichungen
[mm] Av=\lambda_1v [/mm] und [mm] Av=\lambda_2v [/mm] lösen
mit [mm] \lambda_1=2 [/mm] und [mm] \lambda_2=3
[/mm]
> Ich wäre Dankbar wenn jmd diese Aufgaben Korrektur lesen
> könnte und mich auf Fehler Aufmerksam machen und bei den
> Aufgaben bei denen mir der Ansatz oder die Begründung fehlt
> auf die Sprünge hefen könnte.
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:39 Sa 24.03.2007 | | Autor: | Zerwas |
Dann bekommen ich also die Gleichungen:
(*) [mm] \pmat{ 4 & 2 \\ -1 & 1 } \pmat{v_1 \\ v_2 } [/mm] = [mm] 2\pmat{v_1 \\ v_2 }
[/mm]
und
(**) [mm] \pmat{ 4 & 2 \\ -1 & 1 } \pmat{u_1 \\ u_2 } [/mm] = [mm] 3\pmat{u_1 \\ u_2 }
[/mm]
Und die gesuche Basis wäre dann u,v ?
Wenn ich sie dann auflöse und umstelle erhalte ich:
(*) [mm] \pmat{ 4v_1 & 2v_2 \\ -1v_1 & 1v_2 } [/mm] = [mm] \pmat{ 2v_1 \\ 2v_2 } \to \pmat{ 2v_1 & 2v_2 \\ -1v_1 & -1v_2 } [/mm] = 0 ==> [mm] v=\pmat{ 1 \\ -1 }
[/mm]
(**) [mm] \pmat{ 4u_1 & 2u_2 \\ -1u_1 & 1u_2 } [/mm] = [mm] \pmat{ 3u_1 \\ 3u_2 } \to \pmat{ u_1 & 2u_2 \\ -u_1 & -2u_2 } [/mm] = 0 ==> [mm] u=\pmat{ 2 \\ -1}
[/mm]
Also die gesuchte Basis wäre [mm] \pmat{ 1 \\ -1 }, \pmat{ 2 \\ -1} [/mm]
Richtig???
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:40 Sa 24.03.2007 | | Autor: | ullim |
Hi,
das ist richtig, und man kann das auch überprüfen.
Wenn [mm] V=\pmat{ 1 & 2 \\ -1 & -1 } [/mm] ist, dann gilt
[mm] V^{-1}AV=\pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 3 } [/mm] und damit ist
[mm] \vektor{1 \\ -1} [/mm] und [mm] \vektor{2 \\ -1} [/mm] die gesuchte Basis, bzgl. der A diagonal wird.
mfg ullim
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:23 Sa 24.03.2007 | | Autor: | Zerwas |
Noch ine kleine aber iwie mich immer durcheinander bringende sache:
$ [mm] V=\pmat{ 1 & 2 \\ -1 & -1 } [/mm] $ ist dann die Basiswechselmatrix von der standartbasis zur neuen und V^-^1 die von der Neuen zurück zur standartbasis oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:02 Mo 26.03.2007 | | Autor: | Marc |
Hallo Zerwas,
> Noch ine kleine aber iwie mich immer durcheinander
> bringende sache:
> [mm]V=\pmat{ 1 & 2 \\ -1 & -1 }[/mm] ist dann die
> Basiswechselmatrix von der standartbasis zur neuen und
> V^-^1 die von der Neuen zurück zur standartbasis oder?
Nein, es ist genau umgekehrt 
Das sieht man durch folgende Überlegung ein:
Sei S die Standardbasis, also [mm] $S=\left\{e_1=\vektor{1\\0},e_2=\vektor{0\\1}\right\}$ [/mm] und B die neue Basis, also [mm] $B=\left\{b_1=\vektor{1\\-1},b_2=\vektor{2\\-1}\right\}$
[/mm]
Um zu verdeutlichen, zu welcher Basis die Komponentenvektoren gebildet wurden, indiziere ich alle Vektoren mit dem Basis-Namen, also
[mm] $S=\left\{e_1=\vektor{1\\0}_S,e_2=\vektor{0\\1}_S\right\}$ [/mm]
[mm] $B=\left\{b_1=\vektor{1\\-1}_S,b_2=\vektor{2\\-1}_S\right\}$ [/mm] (dies ist kein Tippfehler: Die Basisvektoren sind zur Standardbasis angegeben)
Bzgl. der Basis B hat der erste Basisvektor [mm] $b_1$ [/mm] die Komponentendarstellung [mm] $\vektor{1\\0}_B$ [/mm] (denn [mm] $b_1=\fbox{1}*b_1+\fbox{0}*b_2$), [/mm] der zweite Basisvektor [mm] $\vektor{0\\1}_B$
[/mm]
Nun gilt offenbar die Zahlenspielerei
[mm] $\pmat{ 1 & 2 \\ -1 & -1 }*\vektor{1\\0}=\vektor{1\\-1}$
[/mm]
[mm] $\pmat{ 1 & 2 \\ -1 & -1 }*\vektor{0\\1}=\vektor{2\\-1}$
[/mm]
und mit den Vorüberlegungen lässt sich dieses Rechenschema interpretieren als
[mm] $\pmat{ 1 & 2 \\ -1 & -1 }*\vektor{1\\0}_B=\vektor{1\\-1}_S$
[/mm]
[mm] $\pmat{ 1 & 2 \\ -1 & -1 }*\vektor{0\\1}_B=\vektor{2\\-1}_S$
[/mm]
Es werden also durch die Matrix Vektoren mit einer Komponentendarstellung zur Basis B abgebildet auf ihre Komponentendarstellung zur Basis S.
Also ist die Matrix der Basiswechsel von $B [mm] \to [/mm] S$, also von der neuen Basis zur Standardbasis.
Die inverse Matrix ist der Basiswechsel in die umgekehrte Richtung.
Viele Grüße,
Marc
|
|
|
|
