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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:04 Do 29.04.2010 | | Autor: | m4rio |
| Aufgabe | Gegeben sind die Punkte A(3/-3/-2) , B(3/3/-2), C(-3/3/-2), D(-3/-3/-2), S(0/0/4)
a)
Berechnen sie die Höhe der pyramiede, sowie den Abstand des Punktes S von der Geraden durch B & C.
b)
Die Seitenfläche ABS der Pyramiede bildet ein Dreieck. Bestimmen SIe die Seitenlängen des Dreiecks, die winkel im Dreieck, die Flächengröße des Dreiecks, sowie die Oberfläche der Pyramiede...
c)
Die Seitenfläche ADS der Pyramide bildet eine ebene. Stellen die die Ebenengleichungauf. Die Gerade [mm] \vektor{2\\1\\4}+t\vektor{-2\\-3\\3} [/mm] durchstößt die EBene ADS. Brechnen sie den durchstoßpunkt.
d) Die Grundfläche der Pyramide bildet eine ebene. ermitteln die die Schnittmenge mit der Ebene 2x1 - 2x2 + x3 = 4
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hallo, zu der Lösung dieser Aufgaben...kurz in verbalisierter Form überflogen, wäre nett, wenn das mal jemand überprüfen könnte, vektoren werden auf jeden fall ein Thema in der Abschlussprüfung nächste woche werden....
a) BErechnen sie die Höhe:
zunächst den MIttelpunkt der diagonalen [mm] \overline{AB} [/mm] berechnen...
[mm] \bruch{(\overline{B}-\overline{A})}{2}+\overline{A}
[/mm]
dann mit dem Punkt der Spitze S und dem M punkt die Höhe berechnen:
[mm] \wurzel{(S1-M1)^2+(S2-M2)^2+(S3-M3)^2}
[/mm]
= Abstand in LE
das selbe Prinzip auch beim Abstand der Gerade die durch B & C geht...
b) die Seitenlängen des dreiecks...
hier auch 3 Verbindungsvektoren erschaffen ( [mm] \overline{AB}; \overline{AS}; \overline{BS} [/mm] )
nun von jedem Verbindungsvektor die Länge berechnen :
[mm] \wurzel{a1^2+a2^2+a3^2} [/mm]
Die schnittwinkel:
hierzu stelle ich 3 geradengleichungen
1. durch due Punkte A - S
--> A als stützvektor und [mm] \overline{AS} [/mm] als Richtungsvektor
--> durch die Punkte A & B
---> durch die Punkte S & B
jetzt die Geraden AB und AS ; AS & BS ; SB & AB
jeweils gleichsetzen.
zB bei Gerade AB gleichgesetzt mit AS rechne ich den PArameter herasu und setze ihn in die entsprechnde der beiden Geradengleichungen. NUn ergibt sich der schnittpunkt. (der, wie ich gerade festelle, gar nicht relevant ist...)
nun nehme ich von den beiden geradengleichungen jeweils den Richtungsvektor und berechne mit folgender Formel
[mm] cos\alpha=\bruch{|\overline{u}*\overline{v}|}{|\overline{u}|*|\overline{v}|} [/mm]
einen Wert, der, in [mm] Cos^1 [/mm] eingesetzt, den Winkel in diesem Schnittpunkt gibt...
Die Flächengröße berechne ich, indem ich die Länge der Grundseite [mm] \burch{\overline{AB}* die Höhe}{2}
[/mm]
berechne
Oberfläche hab ich keine Ahnung, wie sie berechnet wird...
C) Hier aus den Punkte ADS eine Ebenengleichung aufstellen. und aus der Geradengleichung 2 Gleichungen aufstellen (x1,x2,x3) diese in die Ebenengleichung jeweils für x1, x2, x3 einsetzten und den APrameter berechnen. diesen wieder in die Geradengleichung und wir bekommen den schnittpunkt.
d)
Grundflächenebene aufstellen und prüfen, wie sie zueinander liegen.
weiß leider nciht genau, wie dies berechnet wird, allerdings können sie eine Schnittgerade haben, bei der es unendlich viele schnittpunkte (auf der Schnittgeraden) gibt, ineinander --> unendlich viele gleiche punkte und parallel --> keinen schnittpunkt liegen.
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> Gegeben sind die Punkte A(3/-3/-2) , B(3/3/-2), C(-3/3/-2),
> D(-3/-3/-2), S(0/0/4)
>
>
> a)
> Berechnen sie die Höhe der pyramiede, sowie den Abstand
> des Punktes S von der Geraden durch B & C.
>
> b)
> Die Seitenfläche ABS der Pyramiede bildet ein Dreieck.
> Bestimmen SIe die Seitenlängen des Dreiecks, die winkel im
> Dreieck, die Flächengröße des Dreiecks, sowie die
> Oberfläche der Pyramiede...
>
> c)
> Die Seitenfläche ADS der Pyramide bildet eine ebene.
> Stellen die die Ebenengleichungauf. Die Gerade
> [mm]\vektor{2\\1\\4}+t\vektor{-2\\-3\\3}[/mm] durchstößt die EBene
> ADS. Brechnen sie den durchstoßpunkt.
>
> d) Die Grundfläche der Pyramide bildet eine ebene.
> ermitteln die die Schnittmenge mit der Ebene 2x1 - 2x2 + x3
> = 4
>
>
> hallo, zu der Lösung dieser Aufgaben...kurz in
> verbalisierter Form überflogen, wäre nett, wenn das mal
> jemand überprüfen könnte, vektoren werden auf jeden fall
> ein Thema in der Abschlussprüfung nächste woche
> werden....
>
>
>
> a) BErechnen sie die Höhe:
>
> zunächst den MIttelpunkt der diagonalen [mm]\overline{AB}[/mm]
> berechnen...
>
> [mm]\bruch{(\overline{B}-\overline{A})}{2}+\overline{A}[/mm]
>
> dann mit dem Punkt der Spitze S und dem M punkt die Höhe
> berechnen:
>
> [mm]\wurzel{(S1-M1)^2+(S2-M2)^2+(S3-M3)^2}[/mm]
>
> = Abstand in LE
Hallo,
erstmal schreibt man Pyramide ohne ie.
Dein Verfahren hier klappt natürlich nur, wenn Du schon weißt oder Dich davon überezigt hast, daß es eine gerade Pyramide ist.
Wenn der Lotfußpunkt von S auf die Grundebene nämlich nicht M ist, bekommst Du mit Deienr rechnung nicht die Höhe.
In der konkret vorliegenden Aufgabe ist der Fall sehr leicht gelagert: die Grundfläche ist parallel zur xy-Ebene, sie liegt 2 Einheiten "unter dieser".
Damit hat man die Höhe dann sofort.
>
> das selbe Prinzip auch beim Abstand der Gerade die durch B
> & C geht...
Auch dies klappt nur, wenn vorher klar ist, daß die Pyramide gerade ist.
>
>
> b) die Seitenlängen des dreiecks...
>
> hier auch 3 Verbindungsvektoren erschaffen ( [mm]\overline{AB}; \overline{AS}; \overline{BS}[/mm]
> )
>
> nun von jedem Verbindungsvektor die Länge berechnen :
Ja.
>
> [mm]\wurzel{a1^2+a2^2+a3^2}[/mm]
>
>
> Die schnittwinkel:
>
> hierzu stelle ich 3 geradengleichungen
>
> 1. durch due Punkte A - S
> --> A als stützvektor und [mm]\overline{AS}[/mm] als
> Richtungsvektor
>
> --> durch die Punkte A & B
>
> ---> durch die Punkte S & B
>
> jetzt die Geraden AB und AS ; AS & BS ; SB & AB
>
> jeweils gleichsetzen.
>
> zB bei Gerade AB gleichgesetzt mit AS rechne ich den
> PArameter herasu und setze ihn in die entsprechnde der
> beiden Geradengleichungen. NUn ergibt sich der
> schnittpunkt. (der, wie ich gerade festelle, gar nicht
> relevant ist...)
>
> nun nehme ich von den beiden geradengleichungen jeweils den
> Richtungsvektor und berechne mit folgender Formel
Die Geradengleichungen hättest Du Dir komplett sparen können.
Du berechnest die Schnittwinkel der verbindungsvektoren mit dem Skalarprodukt.
>
> [mm]cos\alpha=\bruch{|\overline{u}*\overline{v}|}{|\overline{u}|*|\overline{v}|}[/mm]
>
> einen Wert, der, in [mm]Cos^1[/mm] eingesetzt, den Winkel in diesem
> Schnittpunkt gibt...
>
>
> Die Flächengröße berechne ich, indem ich die Länge der
> Grundseite [mm]\burch{\overline{AB}* die Höhe}{2}[/mm]
> berechne
Ja.
Hier muß man gut aufpassen, daß man die Höhe des Dreiecks nimmt und nicht die Pyramidenhöhe.
>
> Oberfläche hab ich keine Ahnung, wie sie berechnet
> wird...
Die Inhalte der vier Dreiecke und der qudratischen Grundfläche addieren.
>
>
> C) Hier aus den Punkte ADS eine Ebenengleichung
> aufstellen. und aus der Geradengleichung 2 Gleichungen
> aufstellen
Kapier' ist nicht richtig.
> (x1,x2,x3) diese in die Ebenengleichung jeweils
> für x1, x2, x3 einsetzten und den APrameter berechnen.
> diesen wieder in die Geradengleichung und wir bekommen den
> schnittpunkt.
Könnte sein, daß Du es richtig meinst.
>
> d)
>
> Grundflächenebene aufstellen und prüfen, wie sie
> zueinander liegen.
Am einfachsten ist es, wenn Du die Parameterform der Grundebene aufstellst, und ihre 3 "Etagen" dann in die gegebene Koordinatengleichung einsetzt.
Du bekommst dann einen Zusammenhang zwischen den beiden Ebenenparametern.
Einsetzen in die Parametergleichung liefert die Schnittgerade.
Man muß das mal machen, ich denke, allein von Reden wird das Prinzip schlecht klar.
Gruß v. Angela
>
> weiß leider nciht genau, wie dies berechnet wird,
> allerdings können sie eine Schnittgerade haben, bei der es
> unendlich viele schnittpunkte (auf der Schnittgeraden)
> gibt, ineinander --> unendlich viele gleiche punkte und
> parallel --> keinen schnittpunkt liegen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:51 Do 29.04.2010 | | Autor: | m4rio |
klasse,
ja, mit diesem wort habe ich meine schwierigkeiten...
ist mir spontan gar nicht aufgefallen, dass sie parallel zur x & y achse liegt, die zeichnung erschien mir so eindeutig... aber mit begründung sicherlich punktebringender...
zur winkelberechnung nehme ich dann nur die Verbindungsvektoren und setze sie in die formel ein?
Die Flächengröße berechne ich, indem ich die Länge der
> Grundseite $ [mm] \burch{\overline{AB}\cdot{} die Höhe}{2} [/mm] $
> berechne
Ja.
Hier muß man gut aufpassen, daß man die Höhe des Dreiecks nimmt und nicht die Pyramidenhöhe.
---------> ist denn nicht sie höhe des dreiecks, die höhe der Pyramide...? die ebene von A,B & S spaltet doch die pyramide in der MItte sozusagen...
Das mit der schnittpunktmenge werde ich morgen mal rechnerisch überprüfen...
Danke erstmal!
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> zur winkelberechnung nehme ich dann nur die
> Verbindungsvektoren und setze sie in die formel ein?
Ja.
>
>
>
>
>
> Die Flächengröße berechne ich, indem ich die Länge der
> > Grundseite [mm]\burch{\overline{AB}\cdot{} die Höhe}{2}[/mm]
> >
> berechne
>
> Ja.
> Hier muß man gut aufpassen, daß man die Höhe des
> Dreiecks nimmt und nicht die Pyramidenhöhe.
>
>
>
> ---------> ist denn nicht sie höhe des dreiecks, die höhe
> der Pyramide...?
Nein.
Auf der Mitte des Quadrates steht die Höhe wie ein Fanhenmast, und die Dreiecksseiten lehnen doch schräg dagegen.
In Mathebüchern der 9.Klasse müßtest Du ein Bildchen dazu finden, im Dunstkreis des Pythagoras - oder im Internet.
Gruß v. Angela
> die ebene von A,B & S spaltet doch die
> pyramide in der MItte sozusagen...
>
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> Das mit der schnittpunktmenge werde ich morgen mal
> rechnerisch überprüfen...
>
>
> Danke erstmal!
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:02 Do 29.04.2010 | | Autor: | m4rio |
nun ja, das wäre schon richtig, allerdings liegen die Punkte A & B schräg gegenüber zueinander und teilen die Grundfläche in 2 dreiecke...
müsste unter dieser prämisse doch eigentlich klappen...
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:07 Do 29.04.2010 | | Autor: | abakus |
> nun ja, das wäre schon richtig, allerdings liegen die
> Punkte A & B schräg gegenüber zueinander und teilen die
> Grundfläche in 2 dreiecke...
>
> müsste unter dieser prämisse doch eigentlich klappen...
>
Die gesuchte Dreieckshöhe verläuft vom Mittelpunkt der Seite AB schräg hinauf zur Spitze S.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:09 Do 29.04.2010 | | Autor: | m4rio |
ja, somit hätte die ebene des dreiecks ABS doch die selbe höhe....
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> ja, somit hätte die ebene des dreiecks ABS doch die selbe
> höhe....
Hallo,
???
Ebenen haben keine Höhe...
Schau ![[]](/images/popup.gif) hier: h ist die Höhe der Pyramide, [mm] h_1 [/mm] die der seitlichen Dreiecksfläche.
Gruß v. Angela
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![[]](http://schule.tullits.info/bilder/pyramide4.gif){kind=small}
hier