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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:36 Sa 25.09.2004 | | Autor: | ziska |
hallo!
ich brauch mal wieder eure hilfe. ich hab mich den nachmittag über mit folgenden aufgaben beschäftigt, aber keine Lösung gefunden:
geg: E(t): (t+1)x + y + (t-1) z +t+3= 0 t aus R
e) Welche Bedingungen müssen zwei Parameterwerte [mm] t_1 [/mm] und _2 erfüllen, damit [mm] E(t_1) [/mm] und [mm] E(t_2) [/mm] zueinander senkrecht stehen?
Bei dieser Aufgabe habe ich die gegebene Funktion dahingehend umgeformt, dass ich den Normalvekor erhiel:
[mm] \vec{x} [/mm] * [mm] \vektor{t+1 \\ 1 \\ t-1} [/mm] = -t - 3
Ich wollte die Bed [mm] \vec{n_1} [/mm] * [mm] \vec{n_2}= [/mm] 0 ausnutzen. Bei der weiteren Berechung erhielt ich [mm] t_1 [/mm] * [mm] t_2 [/mm] =0
Dies kann meiner Meinung nach nicht richtig sein. WO liegt mein Fehler?
f) Welche Ebenen E(t) haben vom nullpunkt den Abstand [mm] \wurzel{3} [/mm] ?
dabei habe ich keine Ansätze. Muss aber sicherlich mit der Formel
[mm] \vec{x}*\vec{n}*= \wurzel{3} [/mm] rechnen, oder? aer wie?!?
g) Zeige, dass der Vektor [mm] \vec{a}= \vektor{1-t \\ 1-t \\ 2+t} [/mm] mit t aus R ein SPannvektor der Ebene E(t) ist.
keine ahnung meinerseits....
h)Die Geraade h(t) liege in der Ebene E(t), stehe senkrecht auf der Gerade(hab ich ausgerechnet, aber grad nicht vorliegend!) und verlaufe durch den Punkt P(-2 / 0 / 1)
Hierbei sind mir alle Bedingungen bekann, jedoch weiß ich nicht, wie ich die in welcher reihenfolge anwenden soll. zuerst muss ich ne allgemeine geradengleichung h(t) aufstellen, oder? wie bringe ich da t hinein? darein kann ich den Punk als [mm] \vec{x_0} [/mm] einsetzen.... und dann?
i) Es sei Q(t) = (1-2t / -2t / 4+2t)
Zeige, dass die DReiecke mi den ECkpunkten P, Q(t) und Q(t+1) eine Seite besitzen, die eine von t unabhängige Länge hat! Bestimme ferner t so, dass die beiden anderen Seite gleich lang sind.
bei dieser aufgabe hab ich nen riesengroßes Fragezeichen im Kopf und auf meinem Zettel!
Wäre echt lieb, wenn ihr mir weiterhelfen könnte. Danke im Voraus, ihr seid meine letzte Hoffnung!
LG;
ziska
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Hallo,
so ich habe mich erstmal mit den ersten beiden Aufgaben beschäftigt, bei der dritten weiss ich nicht was ein Spannvektor sein soll, den Rest werd ich morgen hinzufügen.
Also dein erster Ansatz bei e) war schon richtg die beiden Normalvektoren müssen beim Skalarprodukt 0 ergeben:
[mm] \begin{pmatrix} t1 + 1 \\ 1 \\ t1-1 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} t2 + 1 \\ 1 \\ t2-1 \end{pmatrix} = 0 [/mm]
Durch ausmultiplizieren ergibt sich :
[mm] 2*t1*t2 + 3 = 0 [/mm]
Daraus ergibt sich die Beding, dass das Produkt von t1 und t2 gleich -1,5 ergeben muss, ich denke das müsste richtig sein *hoff*.
So nun zur Aufgabe f) :
Hierbei benutze ich einfach die Abstandsformel von einem Punkt bis zur Ebene ax + by +cz = d
Diese lautet wie folgt:
[mm] \bruch{\left| \vec n * \vec P - d \right|}{\left| \vec n \right|} = L [/mm]
Da der gegebene Punkt der Nullpunkt ist ergibt sich:
[mm] \bruch{t+3}{\wurzel{2t^2 + 3}} = \wurzel{3} [/mm]
Durch quadrieren ergibt sich:
[mm] \bruch{t^2 + 6t +9}{2t^2 + 3} = 3 [/mm]
Ich denke den Rest schaffst du alleine, zur Kontrolle ich bekomme 2 Werte für t raus einmal 0 und einmal 1,2 !!
Ich hoffe ich konnte dir erstmal ein wenig helfen!
mfg.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:04 So 26.09.2004 | | Autor: | ziska |
Hi!
erstmal danke für deine Hilfe, aber ich komme immer noch nicht auf die Bedingung, die du raus bekommen hast.
Ich rechne dir meinen Weg jetzt einfach ma vor, vielleicht findest du ja meinen fehler....
[mm] (t_1 [/mm] +1) [mm] *(t_2 [/mm] +1) +1 + [mm] (t_1 [/mm] -1) * [mm] (t_2 [/mm] -1) =0
[mm] t_1* t_2 +t_1 +t_2+1+1+ t_1*t_2 [/mm] - [mm] t_1 [/mm] - [mm] t_2 [/mm] +1 =0
okay, hat sich erledigt, ich hatte ne 1 übersehn... danke!
zu f) Die formel kenn ich gar net, wo muss man denn was dabei einsetzen? ich kann deinen Schritt hierbei leider (noch) nicht nachvollziehen! sorry....
Danke für deine Mühe!
LG,
ziska
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Hallo ziska,
wir benutze diese Formel immer in der Schule und sie lautet im Wortlaut:
Der Betrag vom Produkt des Normalvektors einer Ebene und einem Punkt P minus d der Ebene geteilt durch den Betrag des Normalvektors ergibt den Abstand des Punktes zur Ebene.
Ich hoffe du hast es ein wenig verstanden ist ganz einfach, du brauchst halt nur eine Ebene in Koordinatenform ax + by +cz = d
mfg.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:22 So 26.09.2004 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Ziska
Zu g): Ich vermute, ein Spannvektor ist ein Richtungsvektor. Wenn man [mm]\vec a[/mm] mit dem Normalenvektor der Ebene multipliziert, ergibt sich für alle t der Wert 0.
Zu h) Auf welcher Geraden soll h(t) senkrecht stehen?
Zu i) Hier musst du die Längen der Vektoren(PQ(t)),
PQ(t+1) und Q(t)Q(t+1) berechnen. Eine Länge soll dann von t unabhängig sein. Q(t+1= bekommst du, indem du für t t+1 einsetzt, also
Q(t+1)=(-1-2t/-2t-2/6+2t).
Wenn du noch Fragen hast, melde dich
Gruß Sigrid
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:08 So 26.09.2004 | | Autor: | ziska |
zu g) ja, der SPannvektor ist ein Richtungsvektor! 
zu h) ich such die Schnittgeraengleichung, die ich bereits ausgerechnet habe, gleich raus und stelle sie dann hierein.
zu i) mal sehn, ob ichs hinbekomme.... hoff
Die Schnittgeradengleichung:
g: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{-2 \\ 0 \\ 1} [/mm] +r* [mm] \vektor{-1 \\ 2 \\ 1}
[/mm]
Danke,
ziska
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:26 So 26.09.2004 | | Autor: | Emily |
> hallo!
> ich brauch mal wieder eure hilfe. ich hab mich den
> nachmittag über mit folgenden aufgaben beschäftigt, aber
> keine Lösung gefunden:
> geg: E(t): (t+1)x + y + (t-1) z +t+3= 0 t aus R
>
> e) Welche Bedingungen müssen zwei Parameterwerte [mm]t_1[/mm] und _2
> erfüllen, damit [mm]E(t_1)[/mm] und [mm]E(t_2)[/mm] zueinander senkrecht
> stehen?
>
> Bei dieser Aufgabe habe ich die gegebene Funktion
> dahingehend umgeformt, dass ich den Normalvekor erhiel:
>
> [mm]\vec{x}[/mm] * [mm]\vektor{t+1 \\ 1 \\ t-1}[/mm] = -t - 3
> Ich wollte die Bed [mm]\vec{n_1}[/mm] * [mm]\vec{n_2}=[/mm] 0 ausnutzen.
> Bei der weiteren Berechung erhielt ich [mm]t_1[/mm] * [mm]t_2[/mm] =0
> Dies kann meiner Meinung nach nicht richtig sein. WO liegt
> mein Fehler?
>
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> f) Welche Ebenen E(t) haben vom nullpunkt den Abstand
> [mm]\wurzel{3}[/mm] ?
>
> dabei habe ich keine Ansätze. Muss aber sicherlich mit der
> Formel
> [mm]\vec{x}*\vec{n}*= \wurzel{3}[/mm] rechnen, oder? aer wie?!?
>
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> g) Zeige, dass der Vektor [mm]\vec{a}= \vektor{1-t \\ 1-t \\ 2+t}[/mm]
> mit t aus R ein SPannvektor der Ebene E(t) ist.
>
> keine ahnung meinerseits....
>
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> h)Die Geraade h(t) liege in der Ebene E(t), stehe senkrecht
> auf der Gerade(hab ich ausgerechnet, aber grad nicht
> vorliegend!) und verlaufe durch den Punkt P(-2 / 0 / 1)
>
> Hierbei sind mir alle Bedingungen bekann, jedoch weiß ich
> nicht, wie ich die in welcher reihenfolge anwenden soll.
> zuerst muss ich ne allgemeine geradengleichung h(t)
> aufstellen, oder? wie bringe ich da t hinein? darein kann
> ich den Punk als [mm]\vec{x_0}[/mm] einsetzen.... und dann?
>
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> i) Es sei Q(t) = (1-2t / -2t / 4+2t)
> Zeige, dass die DReiecke mi den ECkpunkten P, Q(t) und
> Q(t+1) eine Seite besitzen, die eine von t unabhängige
> Länge hat! Bestimme ferner t so, dass die beiden anderen
> Seite gleich lang sind.
>
> bei dieser aufgabe hab ich nen riesengroßes Fragezeichen im
> Kopf und auf meinem Zettel!
Hallo ziska!
du hast dien Punkte [mm]P(-2 / 0 / 1), Q_t(1-2t / -2t / 4+2t) und Q_{t+1}( -1-2t / -2-2t / 6+2t)[/mm]
Jetzt zum Dreieck:
[mm] \vec {PQ_t}=\begin{pmatrix} 1-2*t \\ -2*t \\ 4+2*t \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3-2*t \\ -2*t \\ 3+2*t \end{pmatrix}[/mm]
[mm] \vec {PQ_{t+1}}=\begin{pmatrix} -1-2*t \\ -2-2*t \\ 6+2*t \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1-2*t \\-2 -2*t \\ 5+2*t \end{pmatrix}[/mm]
[mm] \vec {Q_tQ_{t+1}}=\begin{pmatrix} -1-2*t \\ -2-2*t \\ 6+2*t \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1-2*t \\ -2*t \\ 4+2*t \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm]
Du siehst:
[mm] \vec {Q_tQ_{t+1}}=\begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm]
Die Länge also: [mm] l= 2*\wurzel3[/mm]
Für den Rest:
[mm] |\vec {PQ_t}|=|\vec {PQ_{t+1}}|[/mm]
Bei Bedarf: bitte weiterfragen.
Liebe Grüße
Emily
> Wäre echt lieb, wenn ihr mir weiterhelfen könnte. Danke im
> Voraus, ihr seid meine letzte Hoffnung!
>
> LG;
> ziska
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:58 So 26.09.2004 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Ziska
Deine Gerade (ich nenne sie s) ist die Schnittgerade, die in allen Ebenen der Schar liegt. P ist ein Punkt dieser Geraden. Der Richtungsvektor der gesuchten Geraden h muss senkrecht auf dem Richtunsvektor von s stehen und außerdem senkrecht auf dem Normalenvektor von E(t) stehen, denn die gesuchte Gerade h soll ja in E(t) liegen. Wenn
[mm] \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} [/mm]
Richtungsvektor von h sein soll, muss also gelten
-x+2y+z=0
(t+1)x+y+(t-1)z=0 und
Dieses Gleichungssystem musst du noch lösen, wobei du eine Variable (x, y oder z) frei wählen kannst.
Versuch mal die Lösung. Wenn es nicht klappt, helfe ich dir weiter.
Gruß Sigrid
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:08 So 26.09.2004 | | Autor: | ziska |
hallo!
eigentlich is mir das jetzt klar geworden, aber ich hab dennoch nen problem....
also:
1. bei der 2.Gleichung nimmst du doch die Ebenengleichung von E(t), oder? dann müsste die doch eigentlich so lauten:
(t+1)x + y + (t-1)z+ t + 3=0 oder?!?
so, dann hab ich dann diese beiden gleichungen, aber ich bekomm das einfach nicht aufgelöst...
ich hab die erste gleichung mit (t+1) multipliziert, um dann per Additionsverfahren x rauszuschmeißen, aber dann komm ich net weiter....
1+2 : 2y(t+1)+ y + z(t+1)+ z(t-1) +t + 3=0
2yt + 2y +y + zt+ z + zt - z +t +3 =0
2yt + 3y + 2zt + t + 3= 0
wie rechne ich dann weiter? oder is irgendwo nen fehler drin?!?
LG,
ziska
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:49 So 26.09.2004 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Ziska
Ich brauche nur den Normalenvektor von E(t), also [mm] \begin{pmatrix}t+1 \\ 1 \\t-1 \end{pmatrix}, [/mm] denn da die Gerade h in der Ebene liegt, ist ihr Richtungsvektor auch Richtungsvektor der Ebene und steht damit senkrecht auf dem Normalenvektor.
Die Ebenengleichung brauchst du, wenn du einen Punkt der Ebene suchst. Vielleicht ist es besser, wen ich den Richtungsvektor von h mit [mm] \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} [/mm] bezeichne
Du kannst den Vektor auch mit dem Vektorprodukt bestimmen, falls ihr das schon besprochen habt, sonst geht´s mit dem Gleichungssystem (jetzt mit den neuen Bezeichnungen)
(t+1)a+b+ (t-1)c=0 / [mm]*[/mm] 2
-a+2b+c=0
(2t+2)a+2b+(2t-2)c=0
-a+2b + c=0
subtrahieren ergibt
(2t+3)a + (2t-3)c =0
Jetzt kannst du c=2t+3 wählen. Dann folgt
a= -(2t-3)
Jetzt setzt due a und c in die 2. Gleichung ein:
2t-3+2b+2t+3=0
und damit b=-2t
Der Richtungsvektor von h ist also [mm] \begin{pmatrix} -2t+3 \\-2t\\2t+3 \end{pmatrix}
[/mm]
Am besten prüfst du die beiden Orthogonalitätsbedingungen noch einmal nach.
Da du ja einen Punkt von h hast, kannst du die Gleichung. aufstellen.
Was du unbedingt vershen musst, ist die Sache mit der Orthogonalität. Vielleicht hilft dir hier eine Skizze.
Gruß Sigrid
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