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Kleine Ungleichung: Geltungsbereich und Beweis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:13 Sa 22.11.2008
Autor: Vergil

Hallo,

in der Vorlesung wurde folgende Ungleichung verwendet

[mm] (a+b)^p \le 2^p \cdot ( a^p + b^p) [/mm]  und [mm] a, b \in \IR [/mm]

Mir ist nicht ganz klar für welche p diese Ungleichung gilt. Kennt jemand diese Ungleichung?

Für [mm] p \ge 1 [/mm] könnte ich die Ungleichung folgendermaßen beweisen:
Aus der Ungleichung zwischen Potenzmitteln folgt
[mm] \bruch{a+b}{2} \le \wurzel[p]{\bruch{a^p +b^p}{2}} [/mm] und durch potenzieren
[mm] \left( \bruch{a+b}{2} \right)^p \le \bruch{a^p +b^p}{2} < a^p + b^p[/mm]
und dann hätte man
[mm] (a+b)^p < 2^p \cdot ( a^p + b^p) [/mm] , aber dann würde sogar strikte Ungleichheit gelten.

Kann man den Geltungsbereich für andere p erweitern? Habe ich einen Fehler im Beweis?

Danke für die Hilfe

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Kleine Ungleichung: Wer hat geantwortet?
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:50 So 23.11.2008
Autor: Vergil

Hallo,

wer hat die Frage denn beantwortet oder warum hat sich der Status geändert?

Gruß

Vergil

Bezug
        
Bezug
Kleine Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:05 Mo 24.11.2008
Autor: fred97


> Hallo,
>  
> in der Vorlesung wurde folgende Ungleichung verwendet
>  
> [mm](a+b)^p \le 2^p \cdot ( a^p + b^p)[/mm]  und [mm]a, b \in \IR[/mm]
>
> Mir ist nicht ganz klar für welche p diese Ungleichung
> gilt. Kennt jemand diese Ungleichung?
>  
> Für [mm]p \ge 1[/mm] könnte ich die Ungleichung folgendermaßen
> beweisen:
>  Aus der Ungleichung zwischen Potenzmitteln folgt
>  [mm]\bruch{a+b}{2} \le \wurzel[p]{\bruch{a^p +b^p}{2}}[/mm] und
> durch potenzieren
>  [mm]\left( \bruch{a+b}{2} \right)^p \le \bruch{a^p +b^p}{2} < a^p + b^p[/mm]


das strenge "<" ist hier falsch (z.B. für a=b= 0) . Schreibe also [mm] "\le" [/mm]

FRED



> und dann hätte man
>  [mm](a+b)^p < 2^p \cdot ( a^p + b^p)[/mm] , aber dann würde sogar
> strikte Ungleichheit gelten.
>  
> Kann man den Geltungsbereich für andere p erweitern? Habe
> ich einen Fehler im Beweis?
>  
> Danke für die Hilfe
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.  


Bezug
                
Bezug
Kleine Ungleichung: Danke und kleine Ergänzung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:59 Mi 26.11.2008
Autor: Vergil

Danke FRED,

hast recht, hätte ich mir auch selber überlegen können. Hier habe ich noch einen weiteren Beweis:
Nutze die Konvexität von [mm] x^p [/mm] für [mm] p > 1[/mm]. Dann gilt sicher
[mm] \left( \bruch{a+b}{2} \right)^p \leq \bruch{a^p+b^p}{2} [/mm] oder äquivalent dazu
[mm] (a+b)^p \leq 2^{p-1} \left( a^p + b ^p \right) [/mm]

Gefällt mir so besser. Nochmals danke

Vergil

Bezug
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