Kleine Ungleichung beweisen < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:37 Mo 18.10.2010 | | Autor: | Teufel |
| Aufgabe | Seien A und B Ereignisse. Zeige:
$P(A [mm] \cap B)-P(A)*P(B)\le\frac{1}{4}$. [/mm] |
Hi!
Die Aufgabe sieht ja recht einfach aus, aber ich komme hier auf keinen grünen Zweig.
Mein Ansatz war hier, $P(A [mm] \cap [/mm] B)$ in Terme mit P(A) und P(B) umzuformen, dann x:=P(A) und y:=P(B) zu setzen und dann zu zeigen, dass das entstehende Polynom $p: [mm] [0,1]^2\to\IR, (x,y)\mapsto [/mm] p(x,y)$ ein globales Maximum mit Wert [mm] \frac{1}{4} [/mm] hat, denn sonst weiß ich nicht, wie ich auf diese komischen [mm] \frac{1}{4} [/mm] kommen soll. Allerdings schaffe ich es nicht, so ein Polynom zu finden.
Beispiel eines gescheiterten Versuchs:
$P(A [mm] \cap [/mm] B)-P(A)*P(B)=P(A)+P(B)-P(A [mm] \cup B)-P(A)*P(B)\le [/mm] P(A)+P(B)-P(A)*P(B)$.
Dann betrachte f(x,y)=x+y-xy. Aber hier sieht man schon, dass [mm] f(1,0)=1>\frac{1}{4} [/mm] gilt.
Kann mir da bitte jemand weiterhelfen?
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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Hallo Teufel,
am besten geht es per Beweis der Nichtexistenz eines Gegenbeispiels. Dazu können wir ohne Mühe erst einmal ausschließen, dass es weitere Ereignisse gibt; sie würden den zu zeigenden Wert ja senken.
Wenn es aber nun nur noch A und B gibt, gilt P(A)+P(B)=1.
Damit kommst Du doch schnell zum Ziel, oder?
Der zweite Teil ist für Dich bestimmt ziemlich leicht. Überleg mal, wie Du den ersten, also die zugrunde liegende Annahme (wenn nicht gar Behauptung) zeigen kannst.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:04 Di 19.10.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Danke für die Antwort erst mal.
Wieso kann man ausschließen, dass es weitere Ereignisse gibt? Gäbe es noch welche, so würde im Allgemeinen $P(A [mm] \cap [/mm] B), P(A) und P(B)$ zwar sinken, aber über die Differenz $P(A [mm] \cap [/mm] B)-P(A)*P(B)$ kann man dann doch nichts aussagen, oder? Denn der 1. Term wird kleiner, der 2. Term wird aber größer.
Aber nimmt man an, dass es nur 2 Ereignisse gibt:
Dann müssten diese doch nicht disjunkt sein, oder? Also P(A)+P(B) könnte auch >1 sein.
Teufel
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Hallo nochmal,
> Wieso kann man ausschließen, dass es weitere Ereignisse
> gibt? Gäbe es noch welche, so würde im Allgemeinen [mm]P(A \cap B), P(A) und P(B)[/mm]
> zwar sinken, aber über die Differenz [mm]P(A \cap B)-P(A)*P(B)[/mm]
> kann man dann doch nichts aussagen, oder? Denn der 1. Term
> wird kleiner, der 2. Term wird aber größer.
Nein, auch der 2. Term wird kleiner. Wie groß kann die Differenz den höchstens sein? Kannst Du Dich von da aus "runter" arbeiten?
> Aber nimmt man an, dass es nur 2 Ereignisse gibt:
> Dann müssten diese doch nicht disjunkt sein, oder? Also
> P(A)+P(B) könnte auch >1 sein.
Ja, klar.
Fangen wir mal anders an. Für [mm] x,y\in\IR,\ 0\le x\le{1},\ 0\le y\le{1} [/mm] sei f(x,y)=max(x,y)-xy.
Gibt es im Definitionsbereich ein Maximum? Zugegeben, max(x,y) ist ein Hindernis. Aber ich bin gewiss, dass Du es lösen kannst.  Wegen der Symmetrie kannst Du ja schonmal oBdA [mm] x\ge{y} [/mm] annehmen.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:56 Di 19.10.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Also, P(A) und P(B) werden beide höchstens kleiner, wenn es noch ein Ereignis C gibt. $P(A [mm] \cap [/mm] B)$ wird dann natürlich auch kleiner, aber -P(A)*P(B) wird doch dann größer! P(A), P(B) werden kleiner [mm] \Rightarrow [/mm] P(A)*P(B) wird kleiner [mm] \Rightarrow [/mm] -P(A)*P(B) wird größer. Oder meinst du etwas anderes?
$P(A [mm] \cap [/mm] B)-P(A)*P(B)$ kann höchstens 1 werden.
Zur Funktion f:
Also es ist ja hier schon f(1,0)=1, welches auch das Maximum darstellt. Wenn ich g(x):=f(x,x) betrachte, so hat g(x) ein Maximum bei [mm] x=\frac{1}{2} [/mm] mit Wert [mm] \frac{1}{4}, [/mm] aber ansonsten kriege ich irgendwie nicht hin, irgendwo sonst [mm] \frac{1}{4} [/mm] zu erzeugen.
Ich weiß da echt nicht weiter. :(
Teufel
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Hallo Teufel,
> Also, P(A) und P(B) werden beide höchstens kleiner, wenn
> es noch ein Ereignis C gibt. [mm]P(A \cap B)[/mm] wird dann
> natürlich auch kleiner, aber -P(A)*P(B) wird doch dann
> größer! P(A), P(B) werden kleiner [mm]\Rightarrow[/mm] P(A)*P(B)
> wird kleiner [mm]\Rightarrow[/mm] -P(A)*P(B) wird größer.
Versteh ich nicht. Wieso wird das größer?
> Oder
> meinst du etwas anderes?
>
> [mm]P(A \cap B)-P(A)*P(B)[/mm] kann höchstens 1 werden.
Wie denn?
> Zur Funktion f:
> Also es ist ja hier schon f(1,0)=1, welches auch das
> Maximum darstellt. Wenn ich g(x):=f(x,x) betrachte, so hat
> g(x) ein Maximum bei [mm]x=\frac{1}{2}[/mm] mit Wert [mm]\frac{1}{4},[/mm]
> aber ansonsten kriege ich irgendwie nicht hin, irgendwo
> sonst [mm]\frac{1}{4}[/mm] zu erzeugen.
Ja, und ist das nicht die Lösung der Aufgabe?
> Ich weiß da echt nicht weiter. :(
>
> Teufel
lg
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:29 Di 19.10.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ich glaube ich hab es jetzt.
Ich habe gezeigt, dass $P(A [mm] \cap [/mm] B)-P(A)P(B) [mm] \le [/mm] P(A)-P(A)P(A)$ bzw. $P(A [mm] \cap [/mm] B)-P(A)P(B) [mm] \le [/mm] P(B)-P(B)P(B)$ gilt. Und wegen [mm] P(X)-P(X)^2\le\frac{1}{4} [/mm] ist alles gezeigt.
Danke für die Anstöße!
Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:33 Di 19.10.2010 | | Autor: | luis52 |
Hm, ist
$ P(A [mm] \cap [/mm] B)-P(A)P(B) [mm] \le [/mm] P(A)-P(A)P(A) $
evident?
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:52 Di 19.10.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Es gilt einerseits $P(A [mm] \cap [/mm] B)-P(A)P(B)=P(A)-P(A [mm] \backslash [/mm] B)-P(A)P(B) [mm] \le [/mm] P(A)-P(A)P(B)$, andererseits aber auch $P(A [mm] \cap [/mm] B)-P(A)P(B)=P(B)-P(B [mm] \backslash [/mm] A)-P(A)P(B) [mm] \le [/mm] P(B)-P(A)P(B)$.
Dann habe ich 2 Fälle betrachtet:
1.) [mm] $P(A)\ge [/mm] P(B)$
2.) $P(A) [mm] \le [/mm] P(B)$
Ist man im 1. Fall, kann man in der 2. Ungleichung P(A) durch P(B) ersetzen (man macht den Term dann noch größer) und man hat $P(A [mm] \cap [/mm] B)-P(A)P(B)=P(B)-P(B [mm] \backslash [/mm] A)-P(A)P(B) [mm] \le [/mm] P(B)-P(A)P(B) [mm] \le [/mm] P(B)-P(B)P(B)$, das ist dann wiederum [mm] \le\frac{1}{4}.
[/mm]
Der andere Fall analog mit der 1. Ungleichung.
Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:27 Di 19.10.2010 | | Autor: | luis52 |
Hi Teufel,
danke fuer die Erleuchtung. Sauber! ![[respekt]](/images/smileys/respekt.gif "[respekt]")
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:37 Di 19.10.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo Teufel,
gut so. Du könntest Dir die Symmetrie der Behauptung zunutze machen und oBdA $ [mm] P(A)\le [/mm] P(B) $ annehmen. Spart etwas Schreibarbeit, sonst nichts.
Grüße
reverend
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Hallo,
ich habe mir das so zurecht gelegt: In einem Venn-Diagramm
habe ich die Bezeichnungen eingeführt:
[mm] x=P(A\backslash{B})
[/mm]
[mm] y=P(B\backslash{A})
[/mm]
[mm] z=P(A\cap{B})
[/mm]
[mm] w=P(\overline{A\cup{B}})
[/mm]
Dies sind vier nicht-negative Zahlen mit der Summe 1 .
Die zu zeigende Ungleichung lautet, mittels dieser Variablen
ausgedrückt:
$\ z-(x+z)*(y+z)\ [mm] \le [/mm] \ [mm] \frac{1}{4}$
[/mm]
$\ z-x*y-x*z-y*z-z*z\ [mm] \le [/mm] \ [mm] \frac{1}{4}$
[/mm]
$\ z*(1-x-y-z)-x*y\ [mm] \le [/mm] \ [mm] \frac{1}{4}$
[/mm]
$\ z*w-x*y\ [mm] \le [/mm] \ [mm] \frac{1}{4}$
[/mm]
Man kann nun leicht zeigen, dass wegen [mm] z+w\le{1} [/mm]
(und [mm] z\ge0 [/mm] , [mm] w\ge0) [/mm] schon [mm] z*w\le\frac{1}{4} [/mm] sein muss.
Wegen [mm] x*y\ge0 [/mm] folgt dann die Behauptung.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:13 Mi 20.10.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo Al,
schicke Lösung!
grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:56 Mi 20.10.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ja, die Lösung ist auch nicht schlecht! Geschmeidiger als meine Lösung. ;)
Teufel
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