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Forum "Schul-Analysis" - Kleine Zusatzfrage zu Achsensymmetrie gebr.-rationaler Funktionen
Kleine Zusatzfrage zu Achsensymmetrie gebr.-rationaler Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Kleine Zusatzfrage zu Achsensymmetrie gebr.-rationaler Funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:51 Di 04.05.2004
Autor: Ahnungsloser

Hallo, ich habe noch eine Zusatzfrage zur Achsensymmetrie zur y-Achse
bei gebrochen rationalen Funktionen.

Bewiesen haben wir:
================
Wenn Zähler und Nenner beide gerade Funktionen sind (oder beide ungerade),
ist die Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse.

Nun habe ich versucht zu überlegen, ob auch die Umkehrung gilt:
===============================================
Jede zur y-Achse achsensymmetrische gebr.rationale Funtion ist so aufgebaut,
daß Zähler und Nenner entweder beide gerade oder beide ungerade Funktionen sind.

Dann würde man nämlich die Berechnung mit f(x)=f(-x) vermeiden.

Allerdings habe ich Gegenbeispiele (wenn auch triviale) gefunden:

f(x) = (x²+x) / (x²+x) = 1         oder     g(x) =  (2x²+2x) / (x²+x) = 2

Hier habe ich unsymmetrische Funktionen, deren Quotient symmetrisch (zur y-Achse) ist.
Die Umkehrung der Regel scheint also nicht zu gelten.

Das heißt ja dann für die Praxis: Wenn ich eine gebr.-rat. Funktion habe, die im Zähler und/oder im Nenner ein unsymmetrisches Polynom habe, dann muß ich die Achsensymmetrie trotzdem nochmal mit der Formel f(x) = f(-x) überprüfen. Richtig?


        
Bezug
Kleine Zusatzfrage zu Achsensymmetrie gebr.-rationaler Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:25 Di 04.05.2004
Autor: Paulus

Hallo Ahnungsloser

ich bin mir nicht so sicher, ob die Funktion wirklich, im strengsten Sinne, symmetrisch ist.

[mm]\bruch{x^2+x}{x^2+x}[/mm]

ist nämlich für die Punkte [mm]x=-1[/mm] und [mm]x=0[/mm] gar nicht definiert, im Punkt  [mm]x=1[/mm] aber schon.

Das erkennst du zum Beispiel auch, wenn du

[mm]f(x) = \bruch{x^2-1}{x^4+x^2+1}[/mm]

mit [mm](x-1)[/mm] erweiterst:

[mm]f(g) = \bruch{(x^2-1)*(x-1)}{(x^4+x^2+1)*(x-1)} = \bruch{x^3-x^2-x+1}{x^5-x^4+x^3-x^2+x-1} [/mm]

Diese Funktion scheint, wenn man ihren Graphen betrachtet, gerade zu sein. In Wirklichkeit ist sie es aber nicht, weil [mm]g(1)[/mm] nicht definiert ist, wohl aber [mm]g(-1)[/mm]. Somit gilt auch nicht:

[mm]g(1) = g(-1)[/mm]

aber:

[mm]f(1) = f(-1)[/mm]


...ein weiteres Beispiel dafür, dass Graphen keine Beweise sind! ;-)



Bezug
                
Bezug
Kleine Zusatzfrage zu Achsensymmetrie gebr.-rationaler Funktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:32 Di 04.05.2004
Autor: Marc

Hallo Ahnungsloser,

was ich auch noch sagen wollte: Die rationale Funktion sollte schon vollständig gekürzt sein, bevor man diese Symmetrieüberlegungen macht.

Durch Erweiterung der rationalen Funktion mit $(x-1)$ kann man ja schließlich jede Symmetrie des Zählers und Nenners zerstören.

Ich bin mir noch nicht sicher, ob deine Behauptung stimmt:

Vor.: [mm] $f(x)=\bruch{g(x)}{h(x)}$, [/mm] $g(x),h(x)$ teilerfremde Polynomfunktionen

Beh.: $f(x)$ symmetrisch [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $g(x)$ symmetrisch und $h(x)$ symmetrisch.

(Mit symmetrisch meine ich jeweils punkt- bzw. achsensymmetrisch zum Ursprung bzw. zur y-Achse).

"Vom Gefühl her" würde ich sagen, es stimmt, ich hatte aber noch nicht die Muße, es zu zeigen, aber du hast uns ja eine Woche Zeit gegeben :-)

Alles Gute,
Marc



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