Kleine aber feine Zahlentheorie < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 14:32 Di 27.07.2004 | | Autor: | Hanno |
Hiho.
Auch wenn der eine Strang noch nicht beendet ist, will ich hier mal eine Aufgabe ( mal wieder Mathematikolympiaden ) stellen, wie sie in der Bundesrunde für 8.Klässler vorkam. Ich finde sie erstaunlich leicht, aber auch sehr schön, da sie einfach eine Reihe von logischen Folgerungen darstellt:
Man finde alle Primzahlen a,b,c,d die die Gleichungen
a+b=c
2a+b=d
erfüllen.
Gruß,
Hanno
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:27 Di 27.07.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Hanno!
Ich habe die Aufgabe raus, aber ich nehme mal an, du willst nicht, dass ich sofort antworte, oder?
Vielleicht können sich ja mal ein paar Schüler daran versuchen. 
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:47 Di 27.07.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Stefan.
Genau, ich hatte die Aufgabe auch sehr schnell raus, doch denke ich, dass sie wirklcih eine sehr schöne Übung für andere wäre. So gesehen können wir ruhig ein paar Tage warten.
Also los, postet eure Vorschläge ( oder gleich eure lÖsungen ;-D )!!
Gruß,
Hanno
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:00 Di 27.07.2004 | | Autor: | The_Lion |
Es gibt keine Primzahlen, die die Bedingungen erfüllen, weil 2 Primzahlen addiert eine gerade Zahl ergäben, und gerade Zahlen sind keine Primzahlen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:03 Di 27.07.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Lion!
Es gibt eine Ausnahme, für welche die Gleichung doch gilt.
Nicht alle Primzahlen sind ungerade
Gruß,
Hanno
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:07 Di 27.07.2004 | | Autor: | The_Lion |
Achjo, ;) stimmt. ich war zu blöd ;=)
die 2
und selbst, wenn das, was ich zuvor gesagt hätte, wahr gewesen wäre (*) hätte ich noch die 2. Gleichung kontrollieren müssen, da hätte es ja evtl sein können, naja egal.
(*edit)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:10 Di 27.07.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Lion.
Und wie geht es jetzt weiter?
Gruß,
Hanno
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:19 Di 27.07.2004 | | Autor: | The_Lion |
a=2 ; b=3 ; c=5 ; d=7
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:33 Di 27.07.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi.
Aber es kann doch auch noch mehr Lösungen geben?
Gruß,
Hanno
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:43 Mi 28.07.2004 | | Autor: | The_Lion |
Soll man das durch raten lösen, oder eine Gleichung/Formel aufstellen ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:08 Mi 28.07.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Lion.
Du sollst logisch begründen, warum deine Lösung die einzig mögliche ist.
Gruß,
Hanno
|
|
|
| |
|
Hallo,
Ich denke, dass die Lösung von The Lion (a=2; b=3; c=5; d=7) die einzig mögliche ist. Es sollen ja die Gleichungen
a+b=c
2a+b=d
erfüllt sein. Daher muss entweder a oder b gleich 2 sein, da a + b sonst gerade wäre. Wenn b=2 wäre käme bei der zweiten Gleichung für d eine gerade Zahl heraus, daher muss a=2 sein. Also:
2+b=c
4+b=d
Wäre b eine Primzahl größer 3, so ließe sie sich durch b=3n+1 oder b=3n+2 beschreiben (b darf ja nicht durch 3 teilbar sein).
Für b=3n+1 wäre 2+b=2+3n+1=3n+3=c durch 3 teilbar und somit keine Primzahl.
Für b=3n+2 wäre 4+b=4+3n+2=3n+6=d durch 3 teilbar.
Daher darf b keine Primzahl größer 3 sein (muss also gleich 3 sein).
Stimmt das oder habe ich irgendwo einen Denkfehler gemacht?
MfG
Jan Henkel
|
|
|
| |
|
Hallo erstmal.
> Wäre b eine Primzahl größer 3, so ließe sie sich durch
> b=3n+1 oder b=3n+2 beschreiben (b darf ja nicht durch 3
> teilbar sein).
> Für b=3n+1 wäre 2+b=2+3n+1=3n+3=c durch 3 teilbar und
> somit keine Primzahl.
> Für b=3n+2 wäre 4+b=4+3n+2=3n+6=d durch 3 teilbar.
> Daher darf b keine Primzahl größer 3 sein (muss also
> gleich 3 sein).
Bin ich mir nicht so sicher... vielleicht lieg' ich aber auch schief, hab von Zahlentheorie keine Ahnung....
aus
2+b=d und
4+b=c folgt
c-d=2, dh. c und d sind mindestens Zwillinge. genauso wie b und d.
Daraus folgt unmittelbar, daß das Tripel (b,d,c) notwendigerweise ein Primzahldrilling sein muß. Meiner Ansicht nach erfüllt aber jeder Primzahldrilling (b,d,c) mit a=2 das Gleichungssystem
a+b=d
2a+b=c.
somit gäbe es unendlich viele Lösungen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 03:03 Mi 04.08.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Christian!
>> Bin ich mir nicht so sicher... vielleicht lieg' ich aber
> auch schief, hab von Zahlentheorie keine Ahnung....
>
> aus
>
> 2+b=d und
> 4+b=c folgt
>
> c-d=2, dh. c und d sind mindestens Zwillinge. genauso wie b
> und d.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Daraus folgt unmittelbar, daß das Tripel (b,d,c)
> notwendigerweise ein Primzahldrilling sein muß.
> Meiner
> Ansicht nach erfüllt aber jeder Primzahldrilling (b,d,c)
> mit a=2 das Gleichungssystem
>
> a+b=d
> 2a+b=c.
> somit gäbe es unendlich viele Lösungen.
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Denn: Wie viele Primzahldrillinge gibt es denn?
Genau eines, nämlich $(3,5,7)$.
Warum?
Von drei Zahlen $p,p+2,p+4$ ist genau eine durch $3$ teilbar (beachte: $p+4 [mm] \equiv [/mm] p + 1 [mm] \pmod{3}$) [/mm] und daher im Falle $p>3$ keine Primzahl.
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
|
