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Kleiner Satz von Fermat?: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:28 Sa 17.10.2020
Autor: sancho1980

Aufgabe
Sei a [mm] \in \IZ, [/mm] und sei p > 2 eine Primzahl.
Untersuchen Sie, welche Werte [mm] a^{\bruch{p-1}{2}} [/mm] mod p annehmen kann.

Hallo,

ich habe hier einen Beweis für den Kleinen Satz von Fermat, und irgendwie sieht das Problem ja so ähnlich aus. Leider komme ich dennoch nicht weiter und wäre für einen Tipp/Ansatz dankbar...
Viele Grüße,
Martin

        
Bezug
Kleiner Satz von Fermat?: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:54 Sa 17.10.2020
Autor: HJKweseleit

x=[mm]a^{\bruch{p-1}{2}}[/mm]

Hilft [mm] x^2 [/mm] weiter?

Bezug
                
Bezug
Kleiner Satz von Fermat?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 07:51 Sa 17.10.2020
Autor: sancho1980

Hallo,

> Hilft [mm]x^2[/mm] weiter?

Das könnte sein...

Falls ggT(a, p) > 1, dann gilt a = kp, also x mod p = 0.

Falls ggT(a, p) = 1, dann gilt laut Kleinem Satz von Fermat, dass [mm] x^2 [/mm] mod p =
[mm] a^{p-1} [/mm] mod p = 1. Dann hab ich hier ein Lemma:

"Sei p > 2 eine Primzahl,. Es gibt genau zwei Zahlen x in [mm] \IZ_{p}, [/mm] die die Kongruenz [mm] x^2 \equiv [/mm] 1 (mod p) erfüllen. Diese Zahlen sind 1 und p - 1."

Also gilt x mod p = 1 oder x mod p = p - 1.

Ist das richtig, und hab ich an alles gedacht?

Danke und Gruß,

Martin


PS: Falls ja, dann schreib ich das in meiner Lösung natürlich noch ein Bisschen ausführlicher auf ...

Bezug
                        
Bezug
Kleiner Satz von Fermat?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:49 Sa 17.10.2020
Autor: HJKweseleit

So wie ich das sehe, ist alles richtig.

Bezug
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