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Forum "Algebra" - Kleinstes Element einer Menge
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Kleinstes Element einer Menge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:45 Do 14.04.2011
Autor: Loriot95

Aufgabe
Sei G eine endliche Gruppe mit neutralem Element e.Sei [mm] a\in [/mm] G. Sei [mm] M:=\{ n \in \IN_{>0} | a^{n} = e\} [/mm] und [mm] n_{min} [/mm] das minmale Element von M. Beweisen Sie, dass für alle m [mm] \in [/mm] M ein [mm] k_{m} \in \IN [/mm] existiert mit m = [mm] k_{m}*n_{min}. [/mm]



Guten Tag,

habe mich an dieser Aufgabe versucht. Habe dabei folgendes gemacht: Angenommen es gibt ein m' [mm] \in [/mm] M, so dass für alle [mm] k_{m} \in \IN: [/mm] m' [mm] \not= k_{m}*n_{min}. [/mm] Dann gilt für ein [mm] k_{m}: (k_{m}+1)*n_{min} [/mm] > m > [mm] k_{m}*n_{min} \Rightarrow [/mm]
[mm] n_{min} [/mm] > m - [mm] k_{m}*n [/mm] > 0. Was ein Widerspruch ist, denn
[mm] a^{m-k_{m}*n} [/mm] = e. Somit wäre [mm] n_{min} [/mm] nicht das kleinste Element aus M. Stimmt das so?

LG Loriot95

        
Bezug
Kleinstes Element einer Menge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:56 Do 14.04.2011
Autor: fred97

Du solltest vielleicht noch spendieren:

          G ist eine Gruppe mit dem neutralen Element e

FRED

Bezug
                
Bezug
Kleinstes Element einer Menge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:58 Do 14.04.2011
Autor: Loriot95

Oh, ja das habe ich komplett vergessen zu notieren.Danke. Stimmt mein Lösungsweg denn?

LG Loriot95

Bezug
        
Bezug
Kleinstes Element einer Menge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:32 Do 14.04.2011
Autor: fred97


> Sei G eine endliche Gruppe mit neutralem Element e.Sei [mm]a\in[/mm]
> G. Sei [mm]M:=\{ n \in \IN_{>0} | a^{n} = e\}[/mm] und [mm]n_{min}[/mm] das
> minmale Element von M. Beweisen Sie, dass für alle m [mm]\in[/mm] M
> ein [mm]k_{m} \in \IN[/mm] existiert mit m = [mm]k_{m}*n_{min}.[/mm]
>  
>
> Guten Tag,
>  
> habe mich an dieser Aufgabe versucht. Habe dabei folgendes
> gemacht: Angenommen es gibt ein m' [mm]\in[/mm] M, so dass für alle
> [mm]k_{m} \in \IN:[/mm] m' [mm]\not= k_{m}*n_{min}.[/mm] Dann gilt für ein
> [mm]k_{m}: (k_{m}+1)*n_{min}[/mm] > m > [mm]k_{m}*n_{min} Das verstehe ich nicht, wieso ? ist m=m' ????? > \Rightarrow[/mm]
>  
> [mm]n_{min}[/mm] > m - [mm]k_{m}*n[/mm] > 0. Was ein Widerspruch ist, denn
>  [mm]a^{m-k_{m}*n}[/mm] = e. Somit wäre [mm]n_{min}[/mm] nicht das kleinste
> Element aus M. Stimmt das so?


Nein.Ich setze [mm] n_0:=n_{min} [/mm]

Sei m [mm] \in [/mm] M. Dann ist m [mm] \ge n_0. [/mm] Es ex. ein k [mm] \in \IN [/mm] und ein l [mm] \in \IN [/mm] mit:

                  [mm] $m=k*n_0+l$ [/mm] und 0 [mm] \le [/mm] l< [mm] n_0. [/mm]

Es folgt: [mm] $e=a^m= a^{k*n_0}*a^l$ [/mm]

Warum ist [mm] $a^{k*n_0}=e$ [/mm]  ?  Und warum folgt dann l=0 ?

FRED

>  
> LG Loriot95


Bezug
                
Bezug
Kleinstes Element einer Menge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:12 Do 14.04.2011
Autor: Loriot95


>  >  
> >
> > Guten Tag,
>  >  
> > habe mich an dieser Aufgabe versucht. Habe dabei folgendes
> > gemacht: Angenommen es gibt ein m' [mm]\in[/mm] M, so dass für alle
> > [mm]k_{m} \in \IN:[/mm] m' [mm]\not= k_{m}*n_{min}.[/mm] Dann gilt für ein
> > [mm]k_{m}: (k_{m}+1)*n_{min}[/mm] > m > [mm]k_{m}*n_{min} Das verstehe ich nicht, wieso ? ist m=m' ????? Weil ich mich da verschrieben habe. > \Rightarrow[/mm]
>  
> >  

> > [mm]n_{min}[/mm] > m - [mm]k_{m}*n[/mm] > 0. Was ein Widerspruch ist, denn
>  >  [mm]a^{m-k_{m}*n}[/mm] = e. Somit wäre [mm]n_{min}[/mm] nicht das
> kleinste
> > Element aus M. Stimmt das so?
>  
>
> Nein.Ich setze [mm]n_0:=n_{min}[/mm]
>  
> Sei m [mm]\in[/mm] M. Dann ist m [mm]\ge n_0.[/mm] Es ex. ein k [mm]\in \IN[/mm] und
> ein l [mm]\in \IN[/mm] mit:
>  
> [mm]m=k*n_0+l[/mm] und 0 [mm]\le[/mm] l< [mm]n_0.[/mm]
>  
> Es folgt: [mm]e=a^m= a^{k*n_0}*a^l[/mm]
>  
> Warum ist [mm]a^{k*n_0}=e[/mm]  ?  Und warum folgt dann l=0 ?

[mm] a^{k*n_{0}}= (a^{n_{0}})^{k} [/mm] = [mm] e^{k} [/mm] = e. Also ist [mm] a^{l} [/mm] = e. Wenn l kein Vielfaches von [mm] n_{0} [/mm] ist, so kann nur l = 0 sein. [mm] (n_{0} [/mm] ist die kleinste Zahl aus M. und l ist kleiner als [mm] n_{0}). [/mm]

> FRED
>  >  
> > LG Loriot95
>  

Vielen Dank für deine Hilfe.

LG Loriot95

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