Kniffel - kleine Straße < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:45 Mi 25.08.2004 | | Autor: | dono |
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
Hallo,
Ich komme hier mit einer im wahrsten Sinne des Wortes "kniffeligen" Aufgabe auf euch zu ;)
Kniffel ist ein Würfelspiel, bei dem man mit 5 gleichartigen Würfeln würfelt.
Nun habe ich bereits für alle anderen Ereignisse die Wahrscheinlichkeiten bestimmen können und hänge nur noch an der kleinen Straße fest: Eine kleine Straße ist als Kombination der Augenzahlen 1-2-3-4 oder 2-3-4-5 oder 3-4-5-6 festgelegt.
Mein Ergebnisraum Omega besitzt die Mächtigkeit 6*6*6*6*6 = [mm] 6^{5} [/mm] = 7776.
Was mir jetzt noch fehlt, ist die Anzahl der günstigen Möglichkeiten des Ereignisses K := Eine kleine Straße tritt beim ersten Wurf auf.
Ein C++ Programm aus dem Internet das Würfelwürfe simuliert und die legt die Wahrscheinlichkeit auf ca. 12% fest
Ich hoffe jemand ist in der Lage die Anzahl der günstigen Möglichkeiten zu bestimmen und mir den Lösungsweg zu erklären.
Mit freundlichen Grüßen =)
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Hallo Dono!
> Ich komme hier mit einer im wahrsten Sinne des Wortes
> "kniffeligen" Aufgabe auf euch zu ;)
Die bekommen wir bestimmt zusammen hin! 
> Kniffel ist ein Würfelspiel, bei dem man mit 5
> gleichartigen Würfeln würfelt.
> Nun habe ich bereits für alle anderen Ereignisse die
> Wahrscheinlichkeiten bestimmen können und hänge nur noch an
> der kleinen Straße fest: Eine kleine Straße ist als
> Kombination der Augenzahlen 1-2-3-4 oder 2-3-4-5 oder
> 3-4-5-6 festgelegt.
> Mein Ergebnisraum Omega besitzt die Mächtigkeit 6*6*6*6*6
> = [mm]6^{5}[/mm] = 7776.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Was mir jetzt noch fehlt, ist die Anzahl der günstigen
> Möglichkeiten des Ereignisses K := Eine kleine Straße tritt
> beim ersten Wurf auf.
Das verstehe ich jetzt wie folgt:
Gesucht ist das Ereignis A, bei einmaligen Werfen von 5 Würfeln eine kleine Strasse zu erhalten.
Wenn Du das so nicht meinst, melde Dich nochmal, denn, wenn Du zum Beispiel wissen möchtest, dass genau beim k-ten Wurf die kleine Strasse fallen soll, ändert sich der Versuch und somit auch die Berechnung!
Das sollte dann binomialverteilt sein!
So, zunächst gebe ich noch einmal den Grundraum an, dessen Mächtigkeit Du schon richtig bestimmt hast:
[mm]\Omega = {(w_1,...,w_5); w_i \in{1,...,6} und i=1,...,5}[/mm]
Ich hoffe, Du verstehst, was ich damit ausdrücken möchte:
Jeden Wurf mit 5 Würfeln kann als 5er Tupel auffassen, so dass die Mächtigkeit von [mm]\Omega[/mm] [mm] 6^5 [/mm] ist.
Da dieser Versuch Laplace-verteilt ist, müssen wir uns jetzt nur noch überlegen, wieviele Tupel das Ereignis A beschreiben (siehe oben)!
Also:
Ich beschreibe das gesuchte Ereignis wieder als Menge.
Grosse Strassen zähle ich nicht mit!
[mm] A={ (1,2,3,4,i),....,(2,3,4,5,j),...,(3,4,5,6,k),...| i \in {1,2,3,4,6}, j \in {2,3,4,5}; k \in {1,3,4,5,6} }[/mm]
Diese Menge beschreibt unser Ereignis.
Jetzt zur Kardinalität von A:
Für die "1. kleine Straße mit 1-2-3-4" haben wir dann 5!+4*5!/2=360 Möglichkeiten,
denn für (1,2,3,4,6) gibt 5!=120 Permutationen.
Jetzt muss man aber beachten, was ich zunächst auch übersehen habe, dass bei den Permutationen von (1,2,3,4,i) für i=1,2,3,4 jedes Tupel zweimal auftritt.
Z.B. (1,2,3,4,1).
Also insgesmat 4*5!/2 Möglichkeiten.
Für die "2. Kleine Straße mit 2-3-4-5" haben wir dann nur noch 4*5!/2 Möglichkeiten.
Argumentation siehe oben.
In diesem Fall fallen schließlich 2große Straßen heraus!
Analog beim dritten Fall.
Damit erhält man folgende Kardinalität von A:
|A| = (5! + 4*5!/2) + (4*5!/2)+ (5! + 4*5!/2) = 960
Somit erhält man:
P(A)=960/7776 (ca. 12%)
Ich hoffe, dass es jetzt stimmt!
Bei Fragen einfach melden!
Danke nochmal an Stefan!!!
Gruss,
Wurzelpi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:53 Mi 25.08.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Wurzelpi!
Du zählst hier einiges doppelt, z.B. das Ereignis $(1,2,3,4,1)$ zählst du zweimal (auch viele andere). (Weil es dafür eben nicht $5!$ ununterscheidbare Permutationen gibt, sondern [mm] $\frac{5!}{2}$.)
[/mm]
(Weiterhin sind bei dir die "großen Straßen" mit drin, bei denen ich mir nicht sicher bin, ob man sie zählen soll.)
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:54 Mi 25.08.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo!
Ja, da hast Du Recht.
Das habe ich auf die schnelle übersehen und mich auch blamiert. :-(
Leider habe ich keine Zeit, den Fehler vor Montag zu korregieren.
Sorry!
Gruss,
Wurzelpi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:12 Do 26.08.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo Stefan!
15 min habe ich noch Zeit.
Ich versuch´s noch mal!
Aber ohne langatmige Erklärungen!
Gruss,
Wurzelpi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:38 Do 26.08.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Wurzelpi!
Jetzt stimmt es! ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Oder sagen wir es so: Ich habe das Gleiche raus und genauso argumentiert. Das gibt mir etwas Hoffnung, dass es richtig ist. Außerdem stimmt es mit dem simulierten Ergebnis überein.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:14 Do 26.08.2004 | | Autor: | dono |
Hallo,
Ihr seid echt spitze! 
Ja, ich hab vergessen zu erwähnen, dass, wie ihr aber bereits richtig vermutet habt eine große Straße auszuschließen sei. Desweiteren hab' ich es genauso gemeint wie Wurzelpi es aufgefasst hat.
Ich habe außerdem die Simulation noch einmal für 1 Million Würfelwürfe durchgeführt, und sie lieferte mir als Ergebnis 12,3474%. Nicht absolut exakt, aber doch mit einer recht akzeptablen Genauigkeit, wie ich meine.
Vielen Dank auch an Wurzelpi auch für die Erläuterung der Rechenschritte, da bleibt keine Frage offen.
Ich denke, ich werde in diesem absolut erstklassigem Forum ab jetzt häufiger zu Gast sein
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
