Knobelaufgabe < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:26 Sa 21.03.2009 | | Autor: | Lorence |
| Aufgabe | Leo isst alle 5 Tage, Robert alle 7 Tage und Philipp alle 11 Tage Pizza. Leo und Philipp aßen ihre erste Pizza in diesem Jahr am 3.März, Robert am 4.März.
Wann können oder konnten sie erstmals gemeinsam Pizza essen?
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So, ich habe versucht diese knifflige Aufgabe mit Hilfe der simultanen Kongruenz zu lösen:
Mein Ansatz:
Ich habe vereinfachend angenommen, dass es 360 Tage im Jahr gibt und jeder Monat 30 Tage hat:
Leo x [mm] \equiv [/mm] 5 mod 360
Robert x [mm] \equiv [/mm] 7 mod 360
Philipp x [mm] \equiv [/mm] 11 mod 360
Diese mods sind aber nicht Teilerfremd, also habe ich weitergedacht dass:
3.März = 3 Monat + 3 Tage, also 3*30+3=93 und 4.März = 94
Also sind von Jahr schon 93 Tage rum, also rechne ich in mod 267 (360-93) bzw. mod 268
Also komme ich zu folgendem system:
Leo x [mm] \equiv [/mm] 5 mod 267
Robert x [mm] \equiv [/mm] 7 mod 267
Philipp x [mm] \equiv [/mm] 11 mod 268
jetzt habe ich aber wieder ein Problem und zwar sind die ersten beiden mod's nicht teilerfremd!
Hat jemand ne idee wie ich weiter verfahre?
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:40 Sa 21.03.2009 | | Autor: | Lorence |
Ich glaube ich habe das System falsch aufgestellt:
Es müsste heißen:
x = 1 mod 5
x= 1 mod 7
x= 1 mod 11
???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:09 Sa 21.03.2009 | | Autor: | abakus |
> Leo isst alle 5 Tage, Robert alle 7 Tage und Philipp alle
> 11 Tage Pizza. Leo und Philipp aßen ihre erste Pizza in
> diesem Jahr am 3.März, Robert am 4.März.
> Wann können oder konnten sie erstmals gemeinsam Pizza
> essen?
Da Leo und Philipp gleichzeitig anfangen und 5 und 11 teilerfremd sind, treffen sie sich erstmals nach 55 Tagen (und alle 55 Tage wieder).
Da Robert einen Tag später beginnt, treffen sich alle drei, wenn 1+7k (k [mm] \in [/mm] N) auch ein Vielfaches von 55 ist.
Also muss gelten [mm] 7k+1\equiv [/mm] 0 mod 55.
Gruß Abakus
>
>
> So, ich habe versucht diese knifflige Aufgabe mit Hilfe der
> simultanen Kongruenz zu lösen:
>
> Mein Ansatz:
>
> Ich habe vereinfachend angenommen, dass es 360 Tage im Jahr
> gibt und jeder Monat 30 Tage hat:
>
> Leo x [mm]\equiv[/mm] 5 mod 360
> Robert x [mm]\equiv[/mm] 7 mod 360
> Philipp x [mm]\equiv[/mm] 11 mod 360
>
> Diese mods sind aber nicht Teilerfremd, also habe ich
> weitergedacht dass:
>
> 3.März = 3 Monat + 3 Tage, also 3*30+3=93 und 4.März = 94
>
> Also sind von Jahr schon 93 Tage rum, also rechne ich in
> mod 267 (360-93) bzw. mod 268
>
> Also komme ich zu folgendem system:
>
> Leo x [mm]\equiv[/mm] 5 mod 267
> Robert x [mm]\equiv[/mm] 7 mod 267
> Philipp x [mm]\equiv[/mm] 11 mod 268
>
> jetzt habe ich aber wieder ein Problem und zwar sind die
> ersten beiden mod's nicht teilerfremd!
>
> Hat jemand ne idee wie ich weiter verfahre?
>
> Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:49 So 22.03.2009 | | Autor: | Lorence |
Okay, und wie löse ich das am besten? Also klar ausprobieren, aber kann ich das nicht auch irgendwie mit Hilfe der "simultanen kongruenz lösen oder mit dem ggT vermutlich, mir fehlt nur der Ansatz!
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:45 So 22.03.2009 | | Autor: | pelzig |
Schau ![[]](/images/popup.gif) hier und löse damit das von abakus angegebene System simultaner Kongruenzen:
[tex]\begin{eqnarray*}x&\equiv& 1\pmod{7}\\x&\equiv& 0\pmod{55}\end{eqnarray*}[/tex]
Ich erhalte als Lösung [mm] $x\in 330+385\IZ$
[/mm]
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:58 So 22.03.2009 | | Autor: | Lorence |
Der chin. Restsatz war mir bekannt, nur dass:
[mm] 7k+1\equiv [/mm] 0 mod 55 =
[tex]\begin{eqnarray*}x&\equiv& 1\pmod{7}\\x&\equiv& 0\pmod{55}\end{eqnarray*}[/tex]
wusste ich nicht!
Danke für die hilfe
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