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Forum "Knobelaufgaben" - [Knobelaufgabe] Wurzelreihe
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[Knobelaufgabe] Wurzelreihe: Aufgabenstellung
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 02:18 Sa 05.03.2011
Autor: Leif

Aufgabe
Gesucht ist der Grenzwert der angedeuteten Folge:

[mm]w=\wurzel{1+\wurzel{2+\wurzel{3+\wurzel{4+\wurzel{\ldots}}}}}[/mm]



Hallo!

Ich hoffe, ich bin in diesem Forum richtig. Ich habe mir die Aufgabe selbst gestellt und denke, dass sie etwas zum Knobeln ist, für Leute, die einfach Spaß an Mathematik haben.

Indem ich die Koeffizienten vergrößert/verkleinert habe, konnte ich (wegen der Monotonie der Wurzelfunktion) eine obere/untere Abschätzung finden, nämlich folgende:

[mm]1,618 \approx \phi < w < \sqrt[4]{4+\sqrt{2}+\sqrt{5}+\sqrt{10}} \approx 1,813[/mm]

Doch mehr konnte ich bisher nicht herausfinden. Wer hat weitere Ideen oder Ansätze?

Gruß
Leif


        
Bezug
[Knobelaufgabe] Wurzelreihe: interessante Frage !
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 04:10 Sa 05.03.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> Gesucht ist der Grenzwert der angedeuteten Folge:
>  
> [mm]w=\wurzel{1+\wurzel{2+\wurzel{3+\wurzel{4+\wurzel{\ldots}}}}}[/mm]
>  
> Hallo!
>  
> Ich hoffe, ich bin in diesem Forum richtig. Ich habe mir
> die Aufgabe selbst gestellt und denke, dass sie etwas zum
> Knobeln ist, für Leute, die einfach Spaß an Mathematik
> haben.
>  
> Indem ich die Koeffizienten vergrößert/verkleinert habe,
> konnte ich (wegen der Monotonie der Wurzelfunktion) eine
> obere/untere Abschätzung finden, nämlich folgende:
>  
> [mm]1,618 \approx \phi < w < \sqrt[4]{4+\sqrt{2}+\sqrt{5}+\sqrt{10}} \approx 1,813[/mm]
>  
> Doch mehr konnte ich bisher nicht herausfinden. Wer hat
> weitere Ideen oder Ansätze?
>  
> Gruß
>  Leif



Hallo Leif,

wirklich interessante und originelle Frage !
Ich habe mal meinen Taschenrechner etwas geplagt und
festgestellt, dass ich dasselbe Ergebnis bekomme, egal ob
ich mit den Zahlen unter den Wurzeln bis 30, bis 40 oder
bis 50 oder 60 gehe:

      1.75793275662

Vermutlich haben wir damit schon den Grenzwert bis
auf (zumindest fast) so viele Dezimalstellen wie schon
da stehen.

Es wäre schön, wenn du noch angeben würdest, wie
du auf deine angegebenen Schranken gekommen bist.
Dabei ist klar, dass es sehr leicht ist, untere Schranken
zu finden. Aber weshalb hast du als solche gerade die
Zahl [mm] \Phi [/mm] des goldenen Schnitts genommen ?

Ich schlage vor, dass wir die Zahl vorläufig mal als die
Leifsche Konstante bezeichnen ...   ;-)

Es wäre wirklich interessant zu wissen, ob man die
Zahl auf andere (einfachere) Art darstellen kann.
Ich schlage deshalb vor, dass diese Aufgabe als
spezielle Knobelaufgabe deklariert wird.

LG    Al-Chwarizmi



  


Bezug
                
Bezug
[Knobelaufgabe] Wurzelreihe: Abschätzungen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:20 Sa 05.03.2011
Autor: Leif

Gut, nennen wir sie die Leifsche Konstante. :)

Mit der für den goldenen Schnitt gültigen Darstellung [mm]\phi = \wurzel{1+\wurzel{1+\wurzel{1+\ldots}}}[/mm] erhalten wir sofort die untere Abschätzung. Die obere bekommen wir durch
[mm]w < \wurzel{1+\wurzel{2+\wurzel{4+\wurzel{16+\wurzel{256+\ldots}}}}}[/mm], indem wir also ab dem dritten Koeffizienten immer das Quadrat des vorigen schreiben. Dann formt man um:[mm]w^2-1 < \wurzel{2+\wurzel{4+\wurzel{16+\wurzel{256+\ldots}}}} = \bruch{1}{\wurzel{2}}\cdot \wurzel{1+\wurzel{1+\wurzel{1+\ldots}}}[/mm]
Es ergibt sich durch Umformen:
[mm]w < \wurzel[4]{4+\wurzel{2}+\wurzel{5}+\wurzel{10}}[/mm]

Ich hoffe das ist trotz weggelassener Zwischenschritte nochvollziehbar, habe jetzt gerade wenig Zeit.

Fragen kann ich frühestens Morgen Abend beantworten.

Gruß
Leif


Bezug
        
Bezug
[Knobelaufgabe] Wurzelreihe: Nested Radical Constant
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:36 Sa 05.03.2011
Autor: wieschoo

Hi,

ich finde die Aufgabe auch nicht schlecht. Du bist leider nicht der erste:
http://wiki.tcl.tk/17176
Die Konstante hat leider schon einen Namen: "Nested Radical Constant"
Allerdings:
"No closed-form expression is known for this constant (Finch 2003, p. 8). "
Das gehört wohl auch zu den ungelösten Problemen der Mathematik.

[edit]
Noch ein Link: http://mathworld.wolfram.com/NestedRadicalConstant.html

Satz für Konvergenz kannte ich vorher auch nicht:
http://mathworld.wolfram.com/HerschfeldsConvergenceTheorem.html

[nocheinmal edit]
Da gibt es auch schöne Verbindungen zur Natur:
http://tech.dir.groups.yahoo.com/group/TheoryOfEverything/message/26537

Bezug
        
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[Knobelaufgabe] Wurzelreihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:06 Sa 05.03.2011
Autor: ms2008de

Hallo,
> Gesucht ist der Grenzwert der angedeuteten Folge:
>  
> [mm]w=\wurzel{1+\wurzel{2+\wurzel{3+\wurzel{4+\wurzel{\ldots}}}}}[/mm]
>  
>

Eine echt intressante Aufgabe, mich persönlich würds auch mal intressieren , wohin diese Folge konvergiert, wenn man "+" durch "*" ersetzen würde...

Viele Grüße

Bezug
                
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[Knobelaufgabe] Wurzelreihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:18 Sa 05.03.2011
Autor: wieschoo

Das kannst du anders darstellen:
[mm]a_n=\produkt_{i=1}^\infty \sqrt[i]{i}[/mm]
und es kommt etwa 1.661687949633594 heraus.


Bezug
                        
Bezug
[Knobelaufgabe] Wurzelreihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:32 Sa 05.03.2011
Autor: ms2008de

Hallo,
> Das kannst du anders darstellen:[mm]a_n=\produkt_{i=1}^\infty \sqrt[i]{i}[/mm][/i][/mm]
> [mm][i] [/i][/mm]
> [mm][i]und es kommt etwa 1.661687949633594 heraus.[/i][/mm]
> [mm][i] [/i][/mm]

Bist du dir sicher, dass diese Darstellung stimmt?
Also, ich habs mal mit dem Taschenrechner probiert deine Darstellung zu prüfen: [mm] \wurzel{2}*\wurzel[3]{3} \approx [/mm] 2,04, irgendwie zu hoch für den Grenzwert, den du angibst, wenn ich bedenk dass auch alle weiteren Faktoren [mm] \ge [/mm] 1 sind.
Während ich bei [mm] \wurzel{1*\wurzel{2*\wurzel{3}}} [/mm] auf etwa 1,36 komme.

Viele Grüße

Bezug
                                
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[Knobelaufgabe] Wurzelreihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:56 Sa 05.03.2011
Autor: Adamantin

Falsche Darstellung, mein Vorschlag


"Richtig, wieschoos Form wäre eher einzelne Wurzeln, daher schlage ich mal vor:

[mm] a_n:=\produkt_{i=1}^{\infty}(i)^{\bruch{1}{2^i}} [/mm] oder
[mm] a_n:=\produkt_{i=1}^{\infty}\wurzel[2^i]{i}" [/mm]

Würde auch nur einzelne Wurzeln mutiplizieren, aber bei dir soll ja die erste Wurzel über die gesamte Folgereihe gehen, daher ist meines auch falsch

hm laut Taschenrechner stimmt mein Vorschlag aber vielleicht doch...ich konnte es nur nicht richtig übersetzen, aber offenbar ist [mm] (1)^{0,5}*(2)^{\bruch{1}{4}} [/mm] tatsächlich dasselbe wie [mm] \wurzel{1*\wurzel{2}}...oh [/mm] ja richtig, haha...;) wegen [mm] (1*(2)^{\bruch{1}{2}})^{\bruch{1}{2}} [/mm]



Bezug
                                        
Bezug
[Knobelaufgabe] Wurzelreihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:24 Sa 05.03.2011
Autor: wieschoo

[mm]\sqrt{1*\sqrt{2*\sqrt{3*\sqrt{\ldots}}}}=\sqrt{1}*\sqrt{\sqrt{2*\sqrt{3*\sqrt{\ldots}}}}[/mm]
[mm]=\sqrt{1}*\sqrt{\sqrt{2}*\sqrt{\sqrt{3*\sqrt{\ldots}}}}[/mm]
[mm]=\sqrt{1}*\sqrt{\sqrt{2}}*\sqrt{\sqrt{\sqrt{3*\sqrt{\ldots}}}}}[/mm]

Ich hatte mich bei der ordnung der Wurzel vertan. Ok


Bezug
                        
Bezug
[Knobelaufgabe] Wurzelreihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:40 Sa 05.03.2011
Autor: ms2008de


> [mm][i]und es kommt etwa 1.661687949633594 heraus.[/i][/mm]
> [mm][i] [/i][/mm]

Wär auch intressant zu wissen, ob diese Zahl hier schon einen Namen hat...

Bezug
        
Bezug
[Knobelaufgabe] Wurzelreihe: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 03:20 Di 05.04.2011
Autor: matux

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