matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenGraphentheorieKnotengrade
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Graphentheorie" - Knotengrade
Knotengrade < Graphentheorie < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Graphentheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Knotengrade: Induktion
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:41 Di 24.01.2006
Autor: dump_0

Hallo.

Sei [tex]D = {d_1,...,d_n} mit n \ge 2[/tex] eine Folge von natürlichen Zahlen größer 0.
Wenn es einen Baum mit Gradseqquenz D gibt, dann gilt:

[tex] \summe_{i=1}^{n}d_i = 2n - 2[/tex].

Nun soll ich mit Induktion über n zeigen das auch die Gegenrichtung hierfür gilt. Könnte mir bitte jemand sagen was hier mit Gegenrichtung gemeint ist, etwa das T ein Baum ist, wenn obige Gleichung gilt ?

Mfg
[mm] dump_0 [/mm]

        
Bezug
Knotengrade: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:03 Di 24.01.2006
Autor: mathiash

Hallo [mm] dump_0, [/mm]

und hallo Freunde der Graphentheorie !
Gleich folgt ein feierlicher Moment, Ihr werdet's dann sehen...

Zur Frage:

Du sollst zeigen: Wenn die Sequenz [mm] d_1,\ldots [/mm] , [mm] d_n [/mm] die Eigenschaft

[mm] \sum_{i=1}^nd_i=2n-2 [/mm] hat, dann gibt es einen Baum mit n Knoten und Gradsequenz [mm] d_1,\ldots [/mm] , [mm] d_n. [/mm]

Konstruiere den einfach via Induktion: Nimm einen Knoten vom Grad [mm] d_1, [/mm]
dann vereinfacht sich die verbleibende Sequenz usw.

Gruss,

Mathias

Bezug
                
Bezug
Knotengrade: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:05 Di 24.01.2006
Autor: dump_0

Hallo Mathias.

Danke für deine Antwort.
Ich verstehe leider nicht ganz wie ich den Beweis jetzt beginnen soll.
Wenn ich mir einen Knoten vom Grad [mm] d_1 [/mm] hernehme ex. noch weitere n-1 vom Grad [mm] d_i [/mm] 2 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] n.

Wie soll ich jetzt fortfahren ? :)

Mfg
[mm] dump_0 [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Knotengrade: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:09 Mi 25.01.2006
Autor: mathiash

Hallo,

fang also mit einem beliebigen Knoten an, sagen wir [mm] v_1, [/mm] und gib ihm [mm] d_1 [/mm] Nachbarn,
zB [mm] v_2,\ldots [/mm] , [mm] v_{d_1+1}. [/mm]

Dann ist [mm] v_1 [/mm] erledigt und wir koennen ihn aus der Betrachtung streichen.
Nun ersetzen wir [mm] d_2 [/mm] durch [mm] d_2-1,\ldots [/mm] , [mm] d_{d_1+1} [/mm] durch [mm] d_{d_1+1}-1. [/mm]

Problem nun: Wir wollen ja jetzt nicht mit Waeldern weiterrechnen (mal es Dir mal auf !), sondern induktiv mit einer Baumkonstruktion.

Also: Kontrahiere [mm] v_2,\ldots v_{d_1+1} [/mm] zu einem Knoten mit d-Wert gleich Summe der
aktualisierten d-Werte der Knoten [mm] v_2,\ldots [/mm] , [mm] v_{d_1+1} [/mm] und den restlichen unveraenderten d-Werten.

Diese neue Sequenz (ich schreib sie mal hin in Termen der urspr. Sequenz [mm] d_1,\ldots d_n) [/mm]

[mm] d_2-1+\ldots [/mm] + [mm] d_{d_1+1}-1, d_{d_1+2},\ldots d_n [/mm]

erfuellt wieder die Eigenschaft: wir haben [mm] n-(d_1+1) [/mm] Knoten, und es ist

[mm] \sum_{i=2}^nd_i^{neu} [/mm]  = 2n-2 [mm] -2\cdot d_1 [/mm]  = [mm] 2(n-d_1-1), [/mm] also konstruiere induktiv einen Baum dafuer und ersetze anschliessend den ersten Knoten durch den Knoten vom Grad [mm] d_1 [/mm] mit [mm] d_1 [/mm] Nachbern, teile die [mm] d_2+\ldots +d_{d_1+1}-d_1 [/mm] Nachbarn
des neuen ersten Knoten unter diesen gemaess der Werte [mm] d_2-1,\ldots d_{d_1+1}-1 [/mm]
auf.

Viele Gruesse,

Mathias

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Graphentheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


Alle Foren
Status vor 21m 4. Gonozal_IX
UAnaR1FolgReih/Produktionsentwicklung
Status vor 23m 4. Gonozal_IX
UAnaR1FolgReih/Wert einer Reihe
Status vor 28m 4. Gonozal_IX
UAnaR1FolgReih/Zinseszinsrechng stetige Verzi
Status vor 29m 2. Gonozal_IX
UAnaR1FolgReih/Absolute Konvergenz
Status vor 13h 11m 2. fred97
UAnaR1FolgReih/Monotonie einer Folge
^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]