Koeffizient c0 bei FR < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:12 Sa 29.06.2013 | | Autor: | Ahrion |
| Aufgabe 1 | a) Wir betrachten [mm] \delta [/mm] auf [mm] [-\pi,\pi].
[/mm]
Berechnen Sie die komplexen Fourier-Koeffizienten [mm] c_{i} [/mm] und die reellen Fourier-Koeffizienten [mm] a_{i} [/mm] und [mm] b_{i} [/mm] von [mm] \delta, [/mm] jeweils für das Intervall [mm] [-\pi,\pi].
[/mm]
Geben Sie die zugehörige Fourier-Reihe in komplexer und in reeller Form an. |
| Aufgabe 2 | Gegeben ist f(t) = [mm] e^{-t} \cdot [/mm] sinh(t) auf [mm] [0,\pi].
[/mm]
a)Berechnen Sie die komplexen Fourier-Koeffizienten [mm] c_{i} [/mm] und die reellen Fourier-Koeffizienten [mm] a_{i} [/mm] und [mm] b_{i} [/mm] von f, jeweils für das Intervall [mm] [0,\pi].
[/mm]
b) Geben Sie die reelle Fourier-Reihe von f an der Stelle t = 0 und ihren Wert an (Begründung nicht vergessen). Leiten Sie daraus eine Gleichung für die Unbekannte
S := [mm] \summe_{i=0}^{\infty} \bruch{1}{1+i^{2}}
[/mm]
her, aus der sich durch Umstellung S berechnen liesse (Sie brauchen diese Umstellung nicht auszuführen, aber die Gleichung mit der einzigen Unbekannten S ist anzugeben). |
Hallo,
also erstmal zu Aufgabe 1. Ich würde nur gerne wissen, ob das soweit richtig ist [mm] (\delta [/mm] ist Dirac-Impuls):
a)
[mm] c_{i} [/mm] = [mm] \bruch{1}{T_{0}} \integral_{-\bruch{T_{0}}{2}}^{\bruch{T_{0}}{2}}{f(t) * e^{-j i \bruch{2\pi}{T_{0} }t} dt} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2 \pi} \integral_{-\bruch{\pi}{2}}^{\bruch{\pi}{2}}{\delta(t) * e^{-j i \bruch{2\pi}{T_{0} }t} dt} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2 \pi}
[/mm]
[mm] a_{i} [/mm] = 2 [mm] \cdot\ Re\{c_{i}\} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\pi}
[/mm]
[mm] b_{i} [/mm] = -2 [mm] \cdot\ Im\{c_{i}\} [/mm] = 0
[mm] c_{0} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2 \pi} \integral_{-\bruch{\pi}{2}}^{\bruch{\pi}{2}}{\delta(t) dt} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2 \pi}
[/mm]
[mm] FR_{r}(t) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2 \pi} [/mm] + [mm] \bruch{1}{\pi} \summe_{i=1}^{\infty} [/mm] cos(i * t)
[mm] FR_{k}(t) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2\pi} \summe_{i=-\infty}^{\infty} e^{-j i t}
[/mm]
Zu Aufgabe 2 a)
Hier habe ich ein kleines Problem mit [mm] c_{i} [/mm] bzw [mm] c_{0}
[/mm]
[mm] c_{i} [/mm] = [mm] \bruch{1}{T_{0}} \integral_{-\bruch{T_{0}}{2}}^{\bruch{T_{0}}{2}}{f(t) * e^{-j i \bruch{2\pi}{T_{0} }t} dt} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\pi} \integral_{0}^{\pi}{e^{-t} * sinh(t) * e^{-j i 2 t} dt} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\pi} \integral_{0}^{\pi}{e^{-t} * \bruch{1}{2}(e^{t}-e^{-t}) * e^{-j i 2 t} dt} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2 \pi} \integral_{0}^{\pi}{e^{-j i 2 t} - e^{- 2 -j i 2} dt}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2 \pi} \left[\bruch{j}{2 i} * e^{-j i 2 t} - \bruch{1}{- 2 -j i 2} * e^{-ji2t - 2t}\right]_0^\pi [/mm] = [mm] \bruch{1}{2 \pi} \left[\bruch{j}{2 i} - \bruch{1}{- 2 -j i 2} * e^{- 2 \pi} - \left( \bruch{j}{2 i} - \bruch{1}{- 2 -j i 2} \right)\right] [/mm] (da [mm] e^{-j i 2 \pi} [/mm] = 1, wenn i wie hier ein Integer ist)
= [mm] \bruch{1}{2 \pi} \left[ - \bruch{1}{- 2 -j i 2} * e^{- 2 \pi} + \bruch{1}{- 2 -j i 2} \right] [/mm] = [mm] \bruch{1}{2 \pi} \left[ \bruch{1- e^{- 2 \pi}}{- 2 -j i 2} \right]
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2 \pi} \left[ \bruch{(1- e^{- 2 \pi})(- 2 +j i 2)}{(- 2 -j i 2)(- 2 +j i 2)} \right] [/mm] = [mm] \bruch{1}{2 \pi} \left[ \bruch{-2+ 2 e^{- 2 \pi} +j i 2 - j i 2 e^{- 2 \pi}}{(4 + 4 i^{2} )} \right]
[/mm]
= [mm] \bruch{-1 + e^{- 2 \pi} +j i - j i e^{- 2 \pi}}{4 \pi (1 + i^{2} )} [/mm] = [mm] \bruch{-1 + e^{- 2 \pi} +j i ( 1 - e^{- 2 \pi})}{4 \pi (1 + i^{2} )}
[/mm]
[mm] c_{i} [/mm] hätte ich somit ausgerechnet. Nun wollte ich [mm] c_{0} [/mm] für die reelle Form der Fourier-Reihe bestimmen für Aufgabenteil b).
Soweit ich weiß, geht das mit [mm] c_{0} [/mm] = [mm] c_{i} [/mm] mit i=0 oder [mm] c_{0} [/mm] = [mm] \bruch{1}{T_{0}} \integral_{-\bruch{T_{0}}{2}}^{\bruch{T_{0}}{2}}{f(t) dt}
[/mm]
Mit der ersten Variante komme ich auf [mm] c_{0} [/mm] = [mm] \bruch{-1 + e^{- 2 \pi}}{4 \pi }
[/mm]
Mit der zweiten Variante komme ich jedoch auf:
[mm] c_{0} [/mm] = [mm] \bruch{1}{T_{0}} \integral_{-\bruch{T_{0}}{2}}^{\bruch{T_{0}}{2}}{f(t) dt} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\pi} \integral_{0}^{\pi}{e^{-t} * sinh(t) * e^{-j i 2 t} dt} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\pi} \integral_{0}^{\pi}{e^{-t} * \bruch{1}{2}(e^{t}-e^{-t}) dt}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2 \pi} \integral_{0}^{\pi}{1 - e^{ -j i 2} dt} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2 \pi} \left[t + \bruch{1}{2} * e^{- 2 t} \right]_0^\pi [/mm] = [mm] \bruch{1}{2 \pi} \left[\pi + \bruch{1}{2} * e^{- 2 \pi} - \left(\bruch{1}{2}\right) \right] [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{-1 + e^{- 2 \pi}}{4 \pi }
[/mm]
Es kann ja nicht beides stimmen. Wo liegt mein Fehler? Oder muss ich [mm] c_{0} [/mm] anders bestimmen?
Zu Aufgabe 2 b)
Gut, ich kann sie erstmal nicht lösen, da mit a) fehlt, aber der Wert der Fourier-Reihe bei t = 0 sollte ja 0 sein, weil sinh(0) = 0...oder denke ich da dann doch zu einfach?
Vielen Dank schonmal im vorraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Di 02.07.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
