Koeffizienten/Potenzentwickl. < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei [mm] \lambda \in \IC [/mm] und f: {z [mm] \in \IC [/mm] | 1 + z [mm] \in \IC^{-}} \to \IC, [/mm] z [mm] \mapsto (1+z)^{\lambda} [/mm] gegeben. Die Koeffizienten der Potenzreihenentwicklung von f um den Nullpunkt werden [mm] \vektor{\lambda \\ n} [/mm] bezeichnet:
[mm] (1+z)^{\lambda} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \vektor{\lambda \\ n} z^{n}
[/mm]
Bestimme die Koeffizienten [mm] \vektor{\lambda \\ n},n \in \IN.
[/mm]
|
Hallo,
ich hoffe, es kann mir jemand bei der Aufgabe helfen.
Ich weiß nicht, wie ich die Koeffizienten bestimmen soll. Gilt [mm] \vektor{\lambda \\ n} [/mm] = [mm] \bruch{\lambda!}{(\lambda - n)! n!}? [/mm] Ich weiß nicht, was dieses [mm] \vektor{\lambda \\ n} [/mm] bedeutet.
Es wäre nett, wenn mir jemand einen kleinen Tipp geben könnte, wie ich die Koeffizienten bestimmen kann.
Danke,
wetterfrosch
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:11 Fr 07.07.2006 | | Autor: | DMThomas |
[mm] \vektor{x \\ y} [/mm] stellt anscheinend einen Binomialkoeffizienten dar. Diesen kannst du in einen Bruch von Fakultäten darstellen, das hast du ja schon erkannt.
Die Entwicklung der Funktion in eine Taylorreihe sollte dies Lösung sein
|
|
|
| |
|
Hallo,
du solltest die Definition der allgemeinen Potenzfunktion benutzen, um eine Differentialgleichung für die Funktion herleiten. Dann nimmst du an, dass sich die Funktion in eine Potenzreihe entwickeln läßt und erhälst eine Rekursionsformel für die Koeffizienten. Dann zeigst du Übereinstimmung mit der Definition des allgemeinen Binomialkoeffizienten.
Der allgemeine Binomialkoeffizient lautet
[mm] \vektor{\lambda \\ n} [/mm] = [mm] \frac{1}{n!} \prod_{j=0}^{n-1}(\lambda [/mm] - j)
und er stimmt nur für [mm] \lambda\in \IN [/mm] und [mm] \lambda\geq [/mm] n mit deiner Definition überein.
Wenn du mehr Hilfe brauchst, einfach nochmal schreiben.
Viele Grüße,
Freakoar
|
|
|
| |
|
Hallo,
danke erstmal für deine Hilfe! :) Ist echt nett von dir.....
Ich hab nur leider nicht alles verstanden, was du mir geschrieben hast.
Die Definition einer allgemeinen Potenzfunktion lautet doch f(z) = a [mm] z^{n} [/mm] oder?
Was meinst du damit genau, dass man daraus eine Differentialgleichung herleiten kann?
Die allgemeine Potenzreihe ist ja f(z) = [mm] \summe_{n= 0}^{\infty} a_{n} z^{n}. [/mm] Hier ist doch [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \vektor{\lambda \\ n}
[/mm]
Wie kommt man jetzt auf die Rekursionsformel für die Koeffizienten? Man soll letztlich zeigen dass [mm] \vektor{\lambda \\ n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n!} \produkt_{j= 0}^{n-1} (\lambda [/mm] - j) oder?
Aus dem anderen Posting steht, dass ich die Funktion in eine Taylorreihe enwickeln soll. Das hab ich gemacht und erhalte:
[mm] (1+z)^{\lambda} [/mm] = [mm] \summe_{n= 0}^{\infty} \bruch{f^{n}(0)}{k!} z^{n}
[/mm]
[mm] f^{(0)} [/mm] (0) = [mm] 1^{\lambda} [/mm] = 1
[mm] f^{(1)} [/mm] (0) = [mm] \lambda [/mm]
[mm] f^{(2)} [/mm] (0) = [mm] \lambda (\lambda [/mm] -1).....
Also [mm] f^{(n)} [/mm] = [mm] \bruch{\lambda !}{(\lambda -n)!}
[/mm]
Dann erhalte ich [mm] (1+z)^{\lambda} [/mm] = [mm] \summe_{n= 0}^{\infty} \bruch{\lambda !}{(\lambda -n)!} z^{n}
[/mm]
Aber ich muss die Koeffizienten doch konkret bestimmen oder?
Mir ist das alles noch nicht so klar, was ich genau machen muss. Vielleicht kannst du es mir ja nochmal erklären, was du ich machen soll.
Danke für deine Hilfe!
Viele Grüße,
wetterfrosch
|
|
|
| |
|
Hi,
zunächst gilt [mm] \lambda\in\IC, [/mm] also macht [mm] \lambda! [/mm] keinen Sinn! Fakultäten kann man nur sinnvoll für natürliche Zahlen definieren. Die Definition der allgemeinen Potenzfunktion lautet:
f(z) = [mm] (1+z)^\lambda [/mm] = [mm] \exp (\lambda \log [/mm] (1+z))
hierbei ist [mm] \log [/mm] der komplexe Logarithmus und dementsprechend nicht auf ganz [mm] \IC [/mm] erklärt, sondern nur in [mm] \IC^- [/mm] also für [mm] 1+z\in\IC^-.
[/mm]
Nun differenzierst du den Spaß
f'(z) = [mm] \exp (\lambda \log [/mm] (1+z)) [mm] \bruch{\lambda}{1+z} [/mm] = [mm] \bruch{\lambda}{1+z}f(z)
[/mm]
Nun setzt du f(z) = [mm] \sum_{k=0}^\infty a_k z^k [/mm] in die Differentialgleichung ein und leitest daraus eine Rekursionsformel für die Koeffizienten her. Mit dem Wissen, wie sie aussehen, kannst du dann mit vollständiger Induktion, eine geschlossene Formel zeigen. Nämlich die von mir angegebene. Du mußt natürlich immer überprüfen, dass das alles erlaubt ist, was du gerade machst. 
Greez,
Freakoar
|
|
|
| |
|
Hi Freakoar,
danke für deine Hilfe! Du hast mir sehr geholfen! :)
Viele Grüße,
wetterfrosch
|
|
|
|
