Koeffizienten bestimmen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:42 Di 24.05.2011 | | Autor: | Physy |
| Aufgabe | [mm] f(x):=\produkt_{n=1}^{p-1}(x-n)=\summe_{k=0}^{p-1}s_{k}(p)*x^k
[/mm]
Bestimme die Koeffizienten [mm] s_{0}(p), s_{1}(p), s_{p-1}(p)
[/mm]
p ist Primzahl > 3 |
Das ist der a-Teil einer Kette von Aufgaben. Leider komme ich hier gar nicht weiter. Ich brauche die Antwort aber um weitere Fragen beantworten zu können...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:58 Di 24.05.2011 | | Autor: | meili |
Hallo Physy,
Schon mal
[mm]f(x):=\produkt_{n=1}^{p-1}(x-n)=\summe_{k=0}^{p-1}s_{k}(p)*x^k[/mm]
konkret aufgeschrieben für p = 5, 7, 11, ... ?
>
> Bestimme die Koeffizienten [mm]s_{0}(p), s_{1}(p), s_{p-1}(p)[/mm]
[mm] $s_{p-1}(p)$ [/mm] könntest Du sicher nach etwas ansehen des Produkts für alle p hinschreiben.
[mm] $s_{0}(p)$ [/mm] ist auch mit etwas Übung mit Produkten einfach.
> p ist Primzahl > 3
> Das ist der a-Teil einer Kette von Aufgaben. Leider komme
> ich hier gar nicht weiter. Ich brauche die Antwort aber um
> weitere Fragen beantworten zu können...
Gruß
meili
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:23 Di 24.05.2011 | | Autor: | Physy |
Ich habe nun alle drei Koeffizienten gefunden, weiß aber nicht wie ich formal zeigen kann, dass es diese tatsächlich für alle Primzahlen > 3 sind. Schon für [mm] s_{p-1} [/mm] wüsste ich nicht, wie ich das formal zeigen oder begründen kann ...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:33 Mi 25.05.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
schreib doch mal wie die Koeffizienten aussehen. Bei [mm] s_0(p) [/mm] hast Du doch wahrscheinlich [mm] (-1)^{p-1}(p-1)! [/mm] heraus. Das kann man formal per Induktion zeigen. Bei den anderen Koeffizienten geht das auch so.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:43 Mi 25.05.2011 | | Autor: | Physy |
Wie soll ich denn induktiv zeigen, dass [mm] f(x):=\produkt_{i=1}^{n}(x-i)=\summe_{i=0}^{n}s_{i}(n+1)*x^i [/mm]
Im Induktionsschritt wäre ja zu zeigen, dass:
[mm] \produkt_{i=1}^{n+1}(x-i)=\summe_{i=0}^{n+1}s_{i}(n+2)*x^i
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:05 Mi 25.05.2011 | | Autor: | meili |
Hallo Physy,
> Wie soll ich denn induktiv zeigen, dass
> [mm]f(x):=\produkt_{i=1}^{n}(x-i)=\summe_{i=0}^{n}s_{i}(n+1)*x^i[/mm]
>
> Im Induktionsschritt wäre ja zu zeigen, dass:
>
> [mm]\produkt_{i=1}^{n+1}(x-i)=\summe_{i=0}^{n+1}s_{i}(n+2)*x^i[/mm]
Als Induktionsanfang könntest Du (x-1)(x-2) nehmen.
(x-1)(x-2) ausmultiplizieren und Du erhältst die Summe.
Die Eigenschaften der Koeffizienten [mm] $s_i$ [/mm] vergleichen.
Für den Schritt von n nach n+1 kannst Du von [mm]\summe_{i=0}^{n}s_{i}*x^i[/mm] ausgehen,
und die Summe mit (x-(n+1)) multiplizieren, was [mm]\produkt_{i=1}^{n+1}(x-i)[/mm] entspricht.
Gruß
meili
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:57 Mi 25.05.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
so wie meili sagt ist es richtig.
[mm] \produkt_{i=1}^{n+1}(x-i)=\produkt_{i=1}^{n}(x-i)[x-(n+1)]=\summe_{i=0}^{n}s_ix^i[x-(n+1)]=\summe_{i=0}^{n+1}\alpha_ix^i [/mm] mit
[mm] \alpha_0=-s_0(n+1)
[/mm]
[mm] \alpha_1=s_0-s_1(n+1)
[/mm]
[mm] \alpha_{n+1}=s_n
[/mm]
Jetzt musst Du die IV jeweils anwenden und bist fertig.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:06 Do 26.05.2011 | | Autor: | Physy |
[mm] \summe_{i=0}^{n}s_ix^i[x-(n+1)]=\summe_{i=0}^{n+1}\alpha_ix^i
[/mm]
Ich verstehe diesen Schritt nicht. Wie erhöhst Du den oberen Index einfach um eins und kommst dann auf diese Form der Koeffizienten?? Wenn ich den Index erhöhe, dann müsste da ja stehen:
[mm] \summe_{i=0}^{n+1}s_ix^i[x-(n+1)] [/mm] - [mm] s_{n+1}x^{n+1}*(x-(n+1))
[/mm]
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Hallo Physy,
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> [mm]\summe_{i=0}^{n}s_ix^i[x-(n+1)]=\summe_{i=0}^{n+1}\alpha_ix^i[/mm]
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> Ich verstehe diesen Schritt nicht. Wie erhöhst Du den
> oberen Index einfach um eins und kommst dann auf diese Form
> der Koeffizienten?? Wenn ich den Index erhöhe, dann
Die links stehende Summe wurde zusammengefasst.
Und zwar ergibt sich der höchste Exponent für x , wenn i=n ist.
Dann ist [mm]x^{n}*x=x^{n+1}[/mm]
Und da der niederste Exponent sich gerade für i=0 ergibt,
hat man letztendlich die zusammgefasste Summe
[mm]\summe_{i=0}^{n+1}\alpha_ix^i[/mm]
> müsste da ja stehen:
>
> [mm]\summe_{i=0}^{n+1}s_ix^i[x-(n+1)][/mm] -
> [mm]s_{n+1}x^{n+1}*(x-(n+1))[/mm]
>
Gruss
MathePower
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