Koeffizientenbestimmung mit In < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:05 Di 11.04.2006 | | Autor: | Starzy |
| Aufgabe | | Die Parabel mit der Gleichung f(x)=a²x²-4 schließt im 1. Quadranten mit der Achse eine Fläche von 16/3 Flächeneinheiten ein. Wie groß ist a? Wie heißt die Gleichung der Parabel? Überprüfe bitte die Lösung. |
Ich kann ohne Beispiellösungsweg die übrigen Aufgaben nicht rechnen. Wäre nett von euch, wenn mir jemand diese Aufgabe, am besten mit Erläuterungen, vorrechnen könnte. Die übrigen würde ich dann alleine schaffen, denke ich. Sie sind ähnlich.
Danke schon mal!
Grüße
Sabrina
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:25 Di 11.04.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Starzy!
Wo genau liegen denn Deine Probleme? Mit konkreten Fragen können wir hier nämlich viel mehr anfangen als einfach im Trüben zu fischen ...
Allgemein berechnen wir Flächen zwischen Funktionskurve und x-Achse mit dem Integral:
$A \ = \ [mm] \left| \ \integral_{x_1}^{x_2}{f(x) \ dx} \ \right|$
[/mm]
gegeben haben wir die Funktionsvorschrift [mm] $f_a(x)$ [/mm] und auch die Fläche $A_$ . Benötigen wir also die beiden Integrationsgrenzen [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$ [/mm] .
Die untere Grenze ergibt sich aus dem Hinweis "1.Quadrant", damit gilt: [mm] $x_1 [/mm] \ = \ 0$ .
Die zweite Grenze [mm] $x_2$ [/mm] (also die obere Integrationsgrenze) wird gebildet durch die Nullstelle der Funktion: [mm] $f_a(x) [/mm] \ = \ [mm] a^2*x^2-4 [/mm] \ = \ 0$. Kannst Du diese Gleichung nun nach $x \ = \ [mm] x_2 [/mm] \ = \ ...$ umstellen?
Damit wird dann:
[mm] $\bruch{16}{3} [/mm] \ = \ [mm] \left| \ \integral_{0}^{x_2}{a^2*x^2-4 \ dx} \ \right|$
[/mm]
Durch Integrieren und Einsetzen der Grenzen erhältst Du eine Gleichung mit einer Unbekannten $a_$ , nach der Du auflösen musst.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:01 Di 11.04.2006 | | Autor: | Starzy |
Also es hat mich schon etwas weiter gebracht aber die zweite Grenze kann ich nicht ausrechnen. Bräuchte noch weitere Hinweise.
"$ [mm] f_a(x) [/mm] \ = \ [mm] a^2\cdot{}x^2-4 [/mm] \ = \ 0 $. Kannst Du diese Gleichung nun nach $ x \ = \ [mm] x_2 [/mm] \ = \ ... $ umstellen? "
Kann diese Gleichung nicht umstellen :(
Nicht aufgeben, noch ein bisschen ausführlicher bitte, es wird dann schon klappen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:26 Di 11.04.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo, Starzy.
Nun, wie schon gesagt ist [mm] x_{2} [/mm] die Nullstelle der Funktion [mm] f_{a} [/mm] = a²x² - 4.
Also musst du folgende Gleichung nach x auflösen:
a²x² - 4 = 0. Das sollte zu x² = [mm] \pm \wurzel{ \bruch{4}{a²} } [/mm] führen.
Das heisst, x = [mm] \bruch{2}{a} [/mm] .
Also musst du mithilfe folgender Gleichung "nur noch" dein gesuchtes a bestimmen:
[mm] \bruch{16}{3} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{ \bruch{2}{a} }{ a²x² - 4 dx} [/mm] .
Die Stammfunktion ist [mm] \bruch{1}{3} [/mm] a²x³ -4x . Das sollte klar sein, wie man diese bestimmt.
Setzt man die Grenzen ein, so ergibt sich für das Integral folgender "Wert"
[mm] \integral_{0}^{ \bruch{2}{a} }{ a²x² - 4 dx} [/mm] = [mm] \bruch{8}{3a} [/mm] - [mm] \bruch{8}{a} [/mm] .
Das heisst, du musst folgende Gleichung lösen, um a zu berechnen.
[mm] \bruch{8}{3a} [/mm] - [mm] \bruch{8}{a} [/mm] = [mm] \bruch{16}{3} [/mm] , was kein Problem darstellen sollte, weswegen ich dir die Lösung nicht angebe.
Gruss
Marius (M.Rex)
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