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| Aufgabe | Sei X eine Menge und [mm] \IK [/mm] ein Körper. Zeige dass sie punktwese Multiplikation K-wertiger Funktionen X -> [mm] \IK [/mm] folgende eigenschaften besitzt:
a) f (gh) = (fg)h
b) fg=gf
c) 1f=f=f1 (wobei 1: X-> [mm] \IK [/mm] die konstante Einsfunktion bezeichnet.)
d) f [mm] (g_1 +g_2) [/mm] = [mm] fg_1+fg_2 [/mm] und f( [mm] \lambda [/mm] g) = [mm] \lambda [/mm] ( fg)
e) [mm] (f_1+f_2)g=f_1g [/mm] + f_2g und [mm] (\lambda [/mm] f) g = [mm] \lambda [/mm] ( f g)
für beliebige [mm] f,f_1,f_2,g,g_1,g_2, [/mm] h : X [mm] ->\IK [/mm] und [mm] \lambda \in \IK. [/mm] |
a) b) c) erledigt
übrigens Definition:
(fg) (x) := f(x) g(x) Def1
und (f+g)(x):=f(x) + g(x) Def2
und ( [mm] \lambda [/mm] f) (x) := [mm] \lambda [/mm] f (x) Def3
bei d)
(f [mm] (g_1 +g_2)) [/mm] (x)
f (x) [mm] (g_1 [/mm] (x) + [mm] g_2 [/mm] (x) wegen Def 1, 2 (mir fehlt ein zwischenschritt, dneke ich)
f(x) * [mm] g_1(x) [/mm] + f(x) * [mm] g_2 [/mm] (x) wegen distributivität
[mm] (fg_1) [/mm] (x) + [mm] (fg_2) [/mm] (x) wegen Def 1
( f ( [mm] \lambda [/mm] g)) (x)
= ( f(x) ( [mm] \lambda [/mm] g (x)) wegen Def 3, Def 1 (wieder zwischenschritt wie oben fehlt)
(f(x) [mm] \lambda [/mm] )(g (x)) wegen Def 3, bin nicht sicher mit Klammernsetzung
mit der Klammern setzung bin ich hier vollkommen verwirrt
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> Sei X eine Menge und [mm]\IK[/mm] ein Körper. Zeige dass sie
> punktwese Multiplikation K-wertiger Funktionen X -> [mm]\IK[/mm]
> folgende eigenschaften besitzt:
> a) f (gh) = (fg)h
> b) fg=gf
> c) 1f=f=f1 (wobei 1: X-> [mm]\IK[/mm] die konstante Einsfunktion
> bezeichnet.)
> d) f [mm](g_1 +g_2)[/mm] = [mm]fg_1+fg_2[/mm] und f( [mm]\lambda[/mm] g) = [mm]\lambda[/mm] (
> fg)
> e) [mm](f_1+f_2)g=f_1g[/mm] + f_2g und [mm](\lambda[/mm] f) g = [mm]\lambda[/mm] ( f
> g)
> für beliebige [mm]f,f_1,f_2,g,g_1,g_2,[/mm] h : X [mm]->\IK[/mm] und
> [mm]\lambda \in \IK.[/mm]
> a) b) c) erledigt
>
> übrigens Definition:
> (fg) (x) := f(x) g(x) Def1
> und (f+g)(x):=f(x) + g(x) Def2
> und ( [mm]\lambda[/mm] f) (x) := [mm]\lambda[/mm] f (x) Def3
Hallo,
gut, daß Du die Definitionen mitlieferst.
>
> bei d)
> (f [mm](g_1 +g_2))[/mm] (x)
[mm] =f(x)(g_1+g_2)(x)
[/mm]
> f (x) [mm](g_1[/mm] (x) + [mm]g_2[/mm] (x)) wegen Def 1, 2 (mir fehlt ein
> zwischenschritt, dneke ich)
> f(x) * [mm]g_1(x)[/mm] + f(x) * [mm]g_2[/mm] (x) wegen distributivität
von K
> [mm](fg_1)[/mm] (x) + [mm](fg_2)[/mm] (x) wegen Def 1
Genau.
>
> ( f ( [mm]\lambda[/mm] g)) (x)
[mm] =f(x)(\lambda [/mm] g)(x)
> = ( f(x) ( [mm]\lambda[/mm] g (x)) wegen Def 3, Def 1 (wieder
> zwischenschritt wie oben fehlt)
> (f(x) [mm]\lambda[/mm] )(g (x)) wegen Def 3, bin nicht sicher mit
> Klammernsetzung
Nein, dieser Schritt ist erlaubt, weil in K das Assoziativgesetz der Multiplikation gilt. Bedenke: f(x), g(x) sind in K.
> mit der Klammern setzung bin ich hier vollkommen verwirrt
Mach einfach weiter: in K darfst Du vertauschen,
es gilt das Assoziativgesetz.
Versuch's mal, bisher ist's doch ziemlich gut gelaufen.
Gruß v. Angela
>
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danke
( f ( $ [mm] \lambda [/mm] $ g)) (x)
[mm] =f(x)(\lambda [/mm] g)(x) wegen Def 1
= ( f(x) ( $ [mm] \lambda [/mm] $ g (x)) wegen Def 3
[mm] \lambda [/mm] * ( f (x) * g(x) ) assoziativgesetz
[mm] \lambda [/mm] * ( (fg) (x) ) wegen Def 1
=> f ( [mm] \lambda [/mm] g ) = [mm] \lambda [/mm] (f g)
e)
[mm] (f_1 +f_2) [/mm] g
[mm] ((f_1 +f_2)g) [/mm] (x)
[mm] (f_1+f_2)(x) [/mm] g(x) wegen Def 1
[mm] (f_1 [/mm] (x) + [mm] f_2 [/mm] (x)) g (x) wegen Def 2
[mm] f_1(x) [/mm] * g(x) + [mm] f_2(x) [/mm] * g (x) wegen distributivität von K
[mm] (f_1 [/mm] g) (x) + [mm] (f_2 [/mm] g) (x) wegen Def 1
zweite Teil von e)
[mm] (\lambda [/mm] f) g
(( $ [mm] \lambda [/mm] $ f)g ) (x)
[mm] =(\lambda [/mm] f)(x) g (x) wegen Def 1
= ( $ [mm] \lambda [/mm] $ f (x))* g(x) wegen Def 3
$ [mm] \lambda [/mm] $ (f (x) (g(x)) wegen assoziativgesetz
[mm] \lambda [/mm] * ( (fg) (x) ) wegen Def 1
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Hallo,
setz Gleichheitszeichen! Ich füge die jetzt nicht ein.
> ( f ( [mm]\lambda[/mm] g)) (x)
>
> [mm]=f(x)(\lambda[/mm] g)(x) wegen Def 1
> = ( f(x) ( [mm]\lambda[/mm] g (x)) wegen Def 3
> [mm]\lambda[/mm] * ( f (x) * g(x) ) assoziativgesetz
Das Assoziativgesetz reicht hier nicht. Du hast auch vertauscht.
Du mußt hier alle Schritte aufschreiben.
> [mm]\lambda[/mm] * ( (fg) (x) ) wegen Def 1
[mm] =(\lambda(fg))(x)
[/mm]
>
> => f ( [mm]\lambda[/mm] g ) = [mm]\lambda[/mm] (f g)
>
> e)
> [mm](f_1 +f_2)[/mm] g
> [mm]((f_1 +f_2)g)[/mm] (x)
>
> [mm](f_1+f_2)(x)[/mm] g(x) wegen Def 1
> [mm](f_1[/mm] (x) + [mm]f_2[/mm] (x)) g (x) wegen Def 2
> [mm]f_1(x)[/mm] * g(x) + [mm]f_2(x)[/mm] * g (x) wegen distributivität
> von K
>
> [mm](f_1[/mm] g) (x) + [mm](f_2[/mm] g) (x) wegen Def 1
=... wg. Def. 2
>
> zweite Teil von e)
> [mm](\lambda[/mm] f) g
> (( [mm]\lambda[/mm] f)g ) (x)
>
> [mm]=(\lambda[/mm] f)(x) g (x) wegen Def 1
> = ( [mm]\lambda[/mm] f (x))* g(x) wegen Def 3
> [mm]\lambda[/mm] (f (x) (g(x)) wegen assoziativgesetz
> [mm]\lambda[/mm] * ( (fg) (x) ) wegen Def 1
=... wg. Def. 3
Gruß v. Angela
>
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> Das Assoziativgesetz reicht hier nicht. Du hast auch vertauscht.
Du mußt hier alle Schritte aufschreiben.
auch noch Kommutativgesetz oder?
Der zwischenschritt ist mir nicht ganz klar.
( f (x) [mm] \lambda [/mm] ) g (x) Assoziativgesetz
und dann kommutativgesetz, und nochmal assoziativgesetz??
[mm] \lambda [/mm] * ( f(x) * g (x) )
okay und letzte schritt, denn du hinzugefügt hast
$ [mm] =(\lambda(fg))(x) [/mm] $
wegen Def 3
e)
Am schluss: [mm] (f_1 [/mm] g + [mm] f_2 [/mm] g) (x) wegen def 2
Am schluss von 2te e) [mm] (\lambda [/mm] * (fg)) (x) wegen Def 3
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> > Das Assoziativgesetz reicht hier nicht. Du hast auch
> vertauscht.
> Du mußt hier alle Schritte aufschreiben.
> auch noch Kommutativgesetz oder?
> Der zwischenschritt ist mir nicht ganz klar.
Hallo,
> ( f (x) [mm]\lambda[/mm] ) g (x) Assoziativgesetz
> und dann kommutativgesetz, und nochmal assoziativgesetz??
> [mm]\lambda[/mm] * ( f(x) * g (x) )
Vielleicht meinst Du es richtig, aber da ich die sich ergebenden Umformungen nicht sehe, kann ich es nicht genau wissen.
Warum schreibst Du es denn nicht komplett hin?
>
>
> okay und letzte schritt, denn du hinzugefügt hast
> [mm]=(\lambda(fg))(x)[/mm]
> wegen Def 3
Hier wäre es gut, die vorhergehende Zeile zu sehen, damit man beim Korrigieren nicht hin- und herklicken muß.
Richtig ist's.
>
> e)
> Am schluss: [mm](f_1[/mm] g + [mm]f_2[/mm] g) (x) wegen def 2
>
> Am schluss von 2te e) [mm](\lambda[/mm] * (fg)) (x) wegen Def 3
Ja.
Gruß v. Angela
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Gut also stimmt nur noch d) zweite Teil nicht
> ( f ( $ [mm] \lambda [/mm] $ g)) (x)
$ [mm] =f(x)(\lambda [/mm] $ g)(x) wegen Def 1
= f(x) ( $ [mm] \lambda [/mm] $ g (x)) wegen Def 3
(f(x) [mm] \lambda [/mm] ) g (x) wegen Assoziativität
[mm] (\lambda [/mm] f(x) ) g (x) wegen Kommutativität
[mm] \lambda [/mm] ( f(x) g (x)) wegen assoziativität
[mm] \lambda [/mm] * ((fg) (x)) wegen Def 1
( [mm] \lambda [/mm] * (fg)) (x) wegen Def 3
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Hallo,
so ist's richtig.
Denk aber an die Gleichheitszeichen.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:48 Sa 26.11.2011 | | Autor: | theresetom |
danke dass du dir die Zeit genommen hast
Großes Danke
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