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Körper: Isomorphie
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:20 Mi 26.10.2016
Autor: Franzi17

Aufgabe
Sei K ein Körper.
(a) Zeigen Sie, dass es höchstens zwei Elemente x ∈ [mm] K\{0} [/mm] mit [mm] x^2 [/mm] = 1 gibt. (b) Beweisen Sie, dass die Gruppen (K,0,+) und (K r{0},1,·) nicht isomorph sind. (Hinweis: Die Zwei Fälle Charakteristik von K gleich und ungleich 2 getrennt behandeln.

Hallo,
ich bräuchte bitte einen Denksanstoss, bei a) weiss ich nicht, ob das Geschriebene ausreicht und
bei b) hab ich die Verknüpfungstabellen mal aufgeschrieben, aber ich weiss leider nicht weiter. Wie soll ich daran Surjektivität, Injektivität überprüfen?

Vielen, vielen Dank für die Hilfe!




a.) Da (K,0,s,1,m) Körper folgt (K \ {0},1, m) ist abelsche Gruppe und die Verknüpfungstabele muss symmetrisch sein

        1    ...   n


  1     1    ...   n

...    ...   n     1  


n     n      1    ...


Daraus folgt: [mm] x^2 [/mm] = 1 für x = 1

Da (K, 0, s, 1, m) Körper:
(K, 0, s) ist abelsche Gruppe, und 0,1 E des Körpers
(A), (N), (I), (K) gelten für die multiplikative Inverse.
Somit hat 1 ein additives Inverses mit

a +  1 = 0
a = -1

Da K Körper: -1 E (K, 0, s, 1, m)

[mm] x^2 [/mm] = 1 = 1 * 1 = (-1) * (-1)

[mm] x^2 [/mm] = 1 gilt für x = 1 und x = -1
Für andere Elemente ist es ausgeschlossen, siehe Verknüpfungstabelle.


b.)

für Charakteristik = 2 --> K (F2) --> 1 + 1 = 0  und 1 = -1

additiv:

        0       1


0       0       1


1       1       0


multiplikativ:


       0        1


0      0        0


1      0        1



für Charakteristik ungleich 2, 1 + 1 ungleich 0

Da K Körper, Verknüpfungstabellen symmetrish

additiv:

           0      1      ...      n


0         0       1      ...      n


1         1       ...    n        0


...       ...     n      0        1


n        n        0      1        ...
  




multiplikativ:


          1      ...       n



1         1      ...       n


...       ...     n        1


n         n       1        ...



        
Bezug
Körper: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:37 Mi 26.10.2016
Autor: HJKweseleit


> Sei K ein Körper.
> (a) Zeigen Sie, dass es höchstens zwei Elemente x ∈
> [mm]K\{0}[/mm] mit [mm]x^2[/mm] = 1 gibt. (b) Beweisen Sie, dass die Gruppen
> (K,0,+) und (K r{0},1,·) nicht isomorph sind. (Hinweis:
> Die Zwei Fälle Charakteristik von K gleich und ungleich 2
> getrennt behandeln.
>  Hallo,
>  ich bräuchte bitte einen Denksanstoss, bei a) weiss ich
> nicht, ob das Geschriebene ausreicht und
>  bei b) hab ich die Verknüpfungstabellen mal
> aufgeschrieben, aber ich weiss leider nicht weiter. Wie
> soll ich daran Surjektivität, Injektivität überprüfen?
>  
> Vielen, vielen Dank für die Hilfe!
>  
>
>
>
> a.) Da (K,0,s,1,m) Körper folgt (K \ {0},1, m) ist
> abelsche Gruppe und die Verknüpfungstabele muss
> symmetrisch sein
>
> 1    ...   n
>  
>
> 1     1    ...   n
>
> ...    ...   n     1  
>
>
> n     n      1    ...
>
>
> Daraus folgt: [mm]x^2[/mm] = 1 für x = 1
>  
> Da (K, 0, s, 1, m) Körper:
> (K, 0, s) ist abelsche Gruppe, und 0,1 E des Körpers
>  (A), (N), (I), (K) gelten für die multiplikative
> Inverse.
>  Somit hat 1 ein additives Inverses mit
>
> a +  1 = 0
> a = -1
>  
> Da K Körper: -1 E (K, 0, s, 1, m)
>  
> [mm]x^2[/mm] = 1 = 1 * 1 = (-1) * (-1)
>
> [mm]x^2[/mm] = 1 gilt für x = 1 und x = -1
>  Für andere Elemente ist es ausgeschlossen, siehe
> Verknüpfungstabelle.



Das kann man der Verknüpfungstabelle doch gar nicht entnehmen. Ich sehe z.B. in der Verknüpfungstabelle gar nicht die Kombination (-1)*(-1)=1. Wo steht die da?

Nehmen wir statt des Körpers die Gruppe [mm] \IZ/12\IZ [/mm] ("Rechnen modulo 12").
Da ist z.B. [mm] 1*1=1\cong [/mm] 1 mod 12, [mm] 5*5=25\cong [/mm] 1 mod 12, [mm] 7*7=49\cong [/mm] 1 mod 12 und [mm] 11*11=121\cong [/mm] 1 mod 12. Da kann ich auch nicht einfach sagen: gibt es nicht, siehe Verknüpfungstafel, wenn ich die Verknüfungstafel nur anschreibe.

Also: Für char>2 gilt folgende Betrachtung.

Annahme: Es gibt ein a mit [mm] a^2=1. [/mm] Da 1 Element der additiven Gruppe ist, gibt es ein zu 1 ein Inverses [mm] \overline{1} [/mm] mit [mm] 1+\overline{1}=0. [/mm]

Dann ist [mm] (a+1)*(a+\overline{1}) [/mm]
= [mm] a*a+1*a+a*\overline{1}+1*\overline{1} [/mm] (Distributivgesetz)
= [mm] a^2+(1+\overline{1})*a+1*\overline{1} [/mm] (Kommutativ- und Distributivgesetz)
= 1+(0)*a [mm] +\overline{1} [/mm] (erster Summand: [mm] a^2=1 [/mm] nach Voraussetzung, mittlerer Summand:1 und Inverses =0, letzter Summand: Neutralität von 1)
= 1 + 0 + [mm] \overline{1} [/mm] (Null bezgl. *)
[mm] =1+\overline{1} [/mm] = 0,

also insgesamt [mm] (a+1)*(a+\overline{1}) [/mm] = 0.

Da ein Körper aber nullteilerfrei ist, ist somit
a+1 = 0 oder [mm] (a+\overline{1}) [/mm] = 0 und damit
a = [mm] \overline{1}) [/mm] oder a = 1 (Eindeutigkeit des Inversen).

Weitere Möglichkeiten kann es also nicht geben!!!



=





>
>
> b.)
>
> für Charakteristik = 2 --> K (F2) --> 1 + 1 = 0  und 1 =
> -1
>  
> additiv:
>
> 0       1
>  
>
> 0       0       1
>  
>
> 1       1       0
>  
>
> multiplikativ:
>  
>
> 0        1
>  
>
> 0      0        0
>  
>
> 1      0        1
>
>
>
> für Charakteristik ungleich 2, 1 + 1 ungleich 0
>  
> Da K Körper, Verknüpfungstabellen symmetrish
>  
> additiv:
>
> 0      1      ...      n
>
>
> 0         0       1      ...      n
>  
>
> 1         1       ...    n        0
>  
>
> ...       ...     n      0        1
>
>
> n        n        0      1        ...
>    
>
>
>
>
> multiplikativ:
>  
>
> 1      ...       n
>  
>
>
> 1         1      ...       n
>  
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> ...       ...     n        1
>
>
> n         n       1        ...
>  
>  


Bezug
                
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Körper: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:32 Do 27.10.2016
Autor: Franzi17

Hallo, Vielen Dank für die Hilfe!
Mir ist nicht ganz klar, wie es dazu kommt: (a + 1) (a + \ tilde 1) ?
Wie kann ich beim b) Bijektivität überprüfen?
Danke!

Bezug
                        
Bezug
Körper: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:48 Do 27.10.2016
Autor: hippias

"Wie es dazu kommt: [mm] $(a+1)(a+\tilde{1})$" [/mm] Ich vermute, Du möchtest wissen wie man auf die Idee kommt, diesen Term ins Spiel zu bringen. Bei Betrachtung der Antwort kann man eigentlich nur mit Intuition antworten.

Er entsteht aber auch durch Anwendung der 3. binomischeh Formel in [mm] $a^{2}-1=0$. [/mm]

zu b)

1. Zeige, dass ein Isomorphismus Gruppenelemente der Ordnung $2$ auf Elemente der Ordnung $2$ abbildet (d.h. [mm] $\approx$ [/mm] isomorphe Gruppen haben gleichviele Elemente der Ordnung $2$).

2. Nachdem die Elemente der Ordnung $2$ der multiplikativen Gruppe untersucht worden, überlege Dir wie es mit der additiven Gruppe aussieht; hier ist eine Fallunterscheidung $char K=2$ und $char [mm] K\neq [/mm] 2$ nützlich.

3. Stelle fest, dass es einen Isomorphismus zwischen additiver und multiplikativer Gruppe eines Körpers nicht geben kann.


Bezug
                                
Bezug
Körper: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:31 Do 27.10.2016
Autor: Franzi17

Danke!
Hab ich es so richtig verstanden? wenn man die mulitplikative Gruppe als Gruppe sieht, dann ist es K \ {0}, weil mit 0 das Axiom (I) nicht gelten würde. Und dann hat K \ {0} ein Element weniger als K und damit eine andere Ordnung?

Bezug
                                        
Bezug
Körper: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:48 Do 27.10.2016
Autor: hippias

Stell doch bitte eine Frage, wenn Du eine Rückmeldung wünschst; durch eine Mitteilung signalisierst Du, dass eine solche nicht notwendig ist.

Dein Argument beweist die Unmöglichkeit der Isomorphie in dem Fall, dass der Körper endlich ist. Für nicht endliche Körper verfängt dieses Argument nicht, da es zwischen echten Teilmengen einer unendlichen Mengen, z.B. [mm] $\IN$ [/mm] und [mm] $\IN\backslash\{1\}$, [/mm] sehr wohl Bijektionen geben kann.


Bezug
                                                
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Körper: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:59 Do 27.10.2016
Autor: Franzi17

Also gilt diese Antwort für Charakteristik =2?
Es tut  mir leid, ich stehe nach wie vor auf dem Schlauch, wie ich bei einem unendlichen Körper an die Sache herangehen soll.

Bezug
                                                        
Bezug
Körper: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:12 Do 27.10.2016
Autor: hippias


> Also gilt diese Antwort für Charakteristik =2?

Welche Antwort? Ich sagte, dass Dein Argument für endliche Körper richtig ist. Da ging es nicht um die Charakteristik.

>  Es tut  mir leid, ich stehe nach wie vor auf dem Schlauch,
> wie ich bei einem unendlichen Körper an die Sache
> herangehen soll.  

Ich habe Dir in der vorvorherigen Mitteilung einen möglichen Beweis in $3$ Schritten skizziert. Versuche das doch einmal.

Bezug
                                                                
Bezug
Körper: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:52 Do 27.10.2016
Autor: Franzi17

Hallo,

zu 1.)
Isomorphismus bedeutet dass die Gruppen bijektiv zueinander sind. Und das setzt voraus, dass die beiden Gruppen gleichgross sind. (in der Vorlesung bewiesen)

zu 2.)
Die Fallunterscheidung Char = 2
Das ist der KörperF2 und dieser ist endlich. --> Ordnungen der additiven und der multiplikativen Gruppe sind unterschiedlich, kein Isomorphismus

und Char ungleich 2
ich versuchs, aber ich komm leider wirklich nicht drauf. Hat es damit zu tun dass die Charakteristik eine Potenz einer Primzahl ist und die multiplikative Gruppe zyklisch?
Tut mir leid, ich komme wirklich nicht vorwärts und ich finde in unserem Skript nichts was mir hilft.

Bezug
                                                                        
Bezug
Körper: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:50 Do 27.10.2016
Autor: HJKweseleit

Der Beweis geht mit Sicherheit indirekt. Da nimmst an, dass es einen Isomorphismus gibt und zeigst, dass sich daraus bei "Verwendung" bestimmter Elemente ein Widerspruch ergibt. Als Kandidaten eignen sich dabei 1 und -1 sowie 0, evtl. in Kombination miteinander oder anderen Elementen. Probiere ein bisschen damit herum und versuche auch evtl., die Umkehrfunktion zu benutzen. Ich weiß selber nicht, ob das nötig ist, da ich mir noch keine Gedanken dazu gemacht habe. Benutze aber nicht, dass eine Gruppe mehr oder weniger Elemente als die andere hat, weil das bei unendlichen Mengen nicht stimmt.

Bezug
                        
Bezug
Körper: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:44 Do 27.10.2016
Autor: HJKweseleit

Zur Idee bei a):

Es soll [mm] a^2=1 [/mm] sein. Im Reellen gibt es genau 2 Lösungen +1 und -1. Aber warum sollte das bei anderen Körpern genau so sein?

Idee: [mm] a^2-1 [/mm] ist ein Polynom 2. Grades, das im Reellen nur maximal 2 Nullstellen haben kann. Aber warum sollte das bei anderen Körpern genau so sein?

Also macht man daraus (a+1)(a-1)=0, wobei es aber die Subtraktion als solche nicht gibt, sondern nur die Addition des Inversen bezüglich +. Und durch Verwendung der angegebenen Verknüpfungsgesetze  zeigt man dann, dass [mm] a^2-1 [/mm] so zerlegt werden kann und dass das Ergebnis wirklich 0 gibt. Die Nullteilerfreiheit macht dann den Rest.




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