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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:19 So 02.04.2006 | | Autor: | cloe |
Hallo,
kann mir jemand bitte bei folgendem Problem helfen.
Warum ist [mm] \IZ[\wurzel{-5}] [/mm] kein Körper und kein Euklidischer Ring , aber dafür Integritätsbereich?
[mm] \IZ[\wurzel{-5}] [/mm] ist doch kein Polynomring, oder?
Danke im voraus.
cloe
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Hallo,
[mm] \IZ[\wurzel{-5}] [/mm] ist ja eine Ringadjunktion. Körper kommt also nicht infrage.
Dann kann man den Rest auch einfach zeigen. In ZPE-Ringen ist jedes Primelement auch unzerlegbar und anders herum auch. Wäre es also ein ZPE-Ring, dann würde das gelten. Du kannst dir ganz einfach ein Gegenbeispiel überlegen. Z.B. r=2.
Ich begründe das kurz:
In [mm] \IZ[\wurzel{-5}] [/mm] ist 2 unzerlegbar. Aus [mm] 2=(a+b\wurzel{-5})(c+d\wurzel{-5}) [/mm] folgt durch Anwendung der Norm [mm] 4=N(2)=(a^{2}+5b^{2})(c^{2}+5d^{2}), [/mm] also b=d=0 und [mm] a=\pm2,c=\pm1 [/mm] oder [mm] a=\pm1, c=\pm2.
[/mm]
In [mm] \IZ[\wurzel{-5}] [/mm] ist 2 nicht Primelement. 2|6, [mm] 6=(1+\wurzel{-5})(1-\wurzel{-5}), [/mm] aber 2 teilt nicht [mm] (1\pm\wurzel{-5}).
[/mm]
Jetzt weißt du weiter, dass [mm] \IZ[\wurzel{-5}] [/mm] auch kein HIR oder Euklidischer Ring sein kann, da gilt R Euklidischer Ring [mm] \Rightarrow [/mm] R HIR [mm] \Rightarrow [/mm] R ZPE-Ring.
Alles klar? Integritätsbereich dürfte klar sein...!
Viele Grüße
Daniel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:49 So 02.04.2006 | | Autor: | cloe |
Irgendwie steh ich gerade auf dem Schlauch bzgl. Integritätsbereich :-/
Wahrscheinlich ist das trivial, und ich seh es einfach nicht.
Könntest du mir da noch bitte weiterhelfen?
Cloe
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Hallo,
na ja trivial vielleicht nicht gerade. Man muss zeigen, dass dieser Ring nullteilerfrei ist. Der Rest ist trivial. Sieh mal in Anhang, da wird so ein Beispiel für einen ähnlichen Ring gerechnet. Wenn dann noch Fragen sind, dann frag!
Viele Grüße
Daniel
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:01 So 02.04.2006 | | Autor: | cloe |
Danke für den Anhang. Das hilft mir weiter.
gruß, cloe
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