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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:29 So 07.05.2006 | | Autor: | muppi |
| Aufgabe | Zeigen Sie an einem Beispiel, dass eine Menge K mit zwei Verknüpfungen + und *, die die folgenden Axiome erfüllt, kein Körper zu sein braucht:
(1) K mit + ist eine abelsche Gruppe.
(2) K \ {0} mit * ist eine abelsche Gruppe.
(3) Für alle a,b,c [mm] \in [/mm] K ist a(b+c)=ab+ac.
(Hinweis: Es gibt ein Beispiel mit einer Menge K mit 2 Elementen.) |
Hallo!
Ich habe versucht, die Aufgabe zu lösen aber habe keine vernünftige Lösung gefunden (nur weiss, dass das mit (2) zu tun hat).
Ich wäre dankbar für Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:35 So 07.05.2006 | | Autor: | DirkG |
Bei diesem Axiomensystem sind Kommutativität und Assoziativität der Multiplikation nicht gewährleistet, sobald die 0 einer der Faktoren ist...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:55 So 07.05.2006 | | Autor: | muppi |
Leider verstehe ich das nicht ganz. Könnten Sie das mit einem Beispiel zeigen? Nehme ich einfache eine abelsche Gruppe und füge die 0 hinzu oder wie funktioniert es?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:02 So 07.05.2006 | | Autor: | zerbinetta |
Hallo,
Algebra ist für mich Jahrhunderte her,
aber geht das nicht über die fehlende Nullteilerfreiheit?
Viele Grüße,
zerbinetta
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:40 So 07.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Leider verstehe ich das nicht ganz. Könnten Sie das mit
> einem Beispiel zeigen? Nehme ich einfache eine abelsche
> Gruppe und füge die 0 hinzu oder wie funktioniert es?
In der Aufgabenstellung steht, dass es ein solches Objekt mit zwei Elementen gibt. Nennen wir die Objekte $0, 1$ und betrachten wir die Menge $K := [mm] \{ 0, 1 \}$. [/mm] Die additive Gruppe sei definiert durch $0 + 1 = 1 + 0 = 1$ und $1 + 1 = 0 + 0 = 0$. (Bis auf Isomorphie geht das sowieso nicht anders.) Nun soll $K [mm] \setminus \{ 1 \}$ [/mm] bzgl. [mm] $\cdot$ [/mm] eine Gruppe sein, also ist $1 [mm] \cdot [/mm] 1 = 1$.
Da nun $a (b + c) = a b + a c$ gelten soll fuer alle $a, b, c [mm] \in [/mm] K$, muss insbesondere auch $a [mm] \cdot [/mm] 0 = 0$ sein fuer alle $a [mm] \in [/mm] K$, da $a [mm] \cdot [/mm] 0 = a [mm] \cdot [/mm] (0 + 0) = a [mm] \cdot [/mm] 0 + a [mm] \cdot [/mm] 0$ ist und somit $0 = a [mm] \cdot [/mm] 0$.
Also ist $0 [mm] \cdot [/mm] 0 = 1 [mm] \cdot [/mm] 0 = 0$.
So, jetzt ist alles definiert bis auf $0 [mm] \cdot [/mm] 1$. Wenn du $0 [mm] \cdot [/mm] 1 = 0$ definierst, dann ist das ganze ein Koerper, naemlich [mm] $\IF_2$.
[/mm]
Damit du also keinen Koerper erhaelst, muss $0 [mm] \cdot [/mm] 1 = 1$ sein. So. Jetzt musst du nachrechnen, dass immernoch $a (b + c) = a b + a c$ gilt. (Sind nur 8 Moeglichkeiten zu ueberpruefen.) Wenn das der Fall ist, so hast du damit die Aufgabe geloest!
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:59 Mo 08.05.2006 | | Autor: | muppi |
> In der Aufgabenstellung steht, dass es ein solches Objekt
> mit zwei Elementen gibt. Nennen wir die Objekte [mm]0, 1[/mm] und
> betrachten wir die Menge [mm]K := \{ 0, 1 \}[/mm]. Die additive
> Gruppe sei definiert durch [mm]0 + 1 = 1 + 0 = 1[/mm] und [mm]1 + 1 = 0 + 0 = 0[/mm].
> (Bis auf Isomorphie geht das sowieso nicht anders.) Nun
> soll [mm]K \setminus \{ 1 \}[/mm] bzgl. [mm]\cdot[/mm] eine Gruppe sein, also
> ist [mm]1 \cdot 1 = 1[/mm].
>
> Da nun [mm]a (b + c) = a b + a c[/mm] gelten soll fuer alle [mm]a, b, c \in K[/mm],
> muss insbesondere auch [mm]a \cdot 0 = 0[/mm] sein fuer alle [mm]a \in K[/mm],
> da [mm]a \cdot 0 = a \cdot (0 + 0) = a \cdot 0 + a \cdot 0[/mm] ist
> und somit [mm]0 = a \cdot 0[/mm].
>
> Also ist [mm]0 \cdot 0 = 1 \cdot 0 = 0[/mm].
>
> So, jetzt ist alles definiert bis auf [mm]0 \cdot 1[/mm]. Wenn du [mm]0 \cdot 1 = 0[/mm]
> definierst, dann ist das ganze ein Koerper, naemlich
> [mm]\IF_2[/mm].
>
> Damit du also keinen Koerper erhaelst, muss [mm]0 \cdot 1 = 1[/mm]
> sein. So. Jetzt musst du nachrechnen, dass immernoch [mm]a (b + c) = a b + a c[/mm]
> gilt. (Sind nur 8 Moeglichkeiten zu ueberpruefen.) Wenn das
> der Fall ist, so hast du damit die Aufgabe geloest!
>
> LG Felix
>
Vielen Dank!
Grüße
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