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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:09 Mo 10.12.2007 | | Autor: | Manuela |
| Aufgabe | Sei K = [mm] \{0,1\} [/mm] der Körper mit zwei Elementen und E sei ein Erweiterungskörper von K mit [mm] 2^8 [/mm] Elementen.
Wie viele über K primitive Elemente besitzt E? |
Bisher weiß ich ja, dass der Grad von E über K 8 ist. Damit ist ja
E [mm] \cong \IZ_{2}/ [/mm] (f) mit f irreduzibles Polynom vom Grad 8. Meine erste Idee war somit, dass jedes irreduzible Polynom vom Grad 8 einen zu E isomorphen Körper erzeugt. Insgesamt habe ich ausgerechnet, dass es 36 solcher irreduziblen Polynome gibt. Aber jetzt weiß ich nicht mehr weiter. Bin ich überhaupt auf dem richtigen Weg?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:15 Do 13.12.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Sei K = [mm]\{0,1\}[/mm] der Körper mit zwei Elementen und E sei ein
> Erweiterungskörper von K mit [mm]2^8[/mm] Elementen.
> Wie viele über K primitive Elemente besitzt E?
>
> Bisher weiß ich ja, dass der Grad von E über K 8 ist. Damit
> ist ja
> E [mm]\cong \IZ_{2}/[/mm] (f) mit f irreduzibles Polynom vom Grad 8.
Nein, $f$ muss Grad 3 haben, ansonsten haette $E$ genau [mm] $2^8 [/mm] = 256$ Elemente.
> Meine erste Idee war somit, dass jedes irreduzible Polynom
> vom Grad 8 einen zu E isomorphen Körper erzeugt. Insgesamt
> habe ich ausgerechnet, dass es 36 solcher irreduziblen
> Polynome gibt.
Nun musst du dir ueberlegen, dass jedes (warum?) solche irred. Polynom als Minimalpolynom von genau drei (warum?) Elementen (da Grad 3) in $E$ auftaucht. Damit ist die Anzahl der primitiven Elemente gleich der Anzahl der irreduziblen Polynome mal 3.
Du kannst die Aufgabe auch anders loesen: die primitiven Elemente sind gerade die, die in keinem echten Unterkoerper von $E$ enthalten sind. Welche Unterkoerper hat $E$ denn?
Je nachdem wieviel/was fuer welche Theorie ihr bisher hatte ist eins von denen ein guter Ansatz (oder sogar beide), oder vielleicht auch keiner von beiden (wenn ihr fast nichts hattet); in dem Fall musst du das dann anders loesen (und uns vielleicht mal darauf hinweisen was ihr hattet).
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:33 Fr 14.12.2007 | | Autor: | Manuela |
Ich hatte noch nichts zu primitiven Elemente.
Ich verstehe nicht ganz warum E nicht [mm] 2^8 [/mm] Elemente haben soll, das ist doch laut Angabe so. Oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:19 Sa 15.12.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Ich hatte noch nichts zu primitiven Elemente.
Ok. Aber eine Definition hattest du schon?
Und ich meinte eher was zur Koerpertheorie allgemein, also was du dazu hattest.
> Ich verstehe nicht ganz warum E nicht [mm]2^8[/mm] Elemente haben
> soll, das ist doch laut Angabe so. Oder?
Oh. Ich glaub ich sollte demnaechst besser lesen  Ich bin irgendwie davon ausgegangen, dass $E$ gerade 8 Elemente haben soll... Sorry!
Aber zurueck zum Thema: was weisst du ueber die Unterkoerper von $E$? Oder ueber irreduzible Polynome und endliche Koerper?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:02 Sa 15.12.2007 | | Autor: | Manuela |
Ich denke ich kenne die Antwort
Also
[mm] \IF_{2^8} [/mm] hat ja genau 256 Elemnte, davon liegen 16 in echten Unterkörpern (Also in [mm] \IF_{2^4} [/mm] bzw. in [mm] \IF_{2^2} [/mm] bzw in [mm] \IF_{2})
[/mm]
Daraus folgt es gibt 240 primitive Elemente,
Stimmt das so?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:16 So 16.12.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Manuela
> Ich denke ich kenne die Antwort
>
> Also
> [mm]\IF_{2^8}[/mm] hat ja genau 256 Elemnte, davon liegen 16 in
> echten Unterkörpern (Also in [mm]\IF_{2^4}[/mm] bzw. in [mm]\IF_{2^2}[/mm]
> bzw in [mm]\IF_{2})[/mm]
>
> Daraus folgt es gibt 240 primitive Elemente,
> Stimmt das so?
Ja.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:54 Mo 17.12.2007 | | Autor: | Manuela |
Folgt daraus auch dann, dass es insgesamt 30 irreduzible Polynome vom Grad 8 in [mm] \IF_{2} [/mm] gibt?
Lg Manuela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:04 Mo 17.12.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Manuela
> Folgt daraus auch dann, dass es insgesamt 30 irreduzible
> Polynome vom Grad 8 in [mm]\IF_{2}[/mm] gibt?
Genau; das liegt daran, dass die irreduziblen Polynome keine mehrfachen Nullstellen haben (das gilt i.A. erstmal nur, wenn der Grundkoerper endlich oder von Charakteristik 0 ist!), und das je zwei Koerper mit [mm] $2^8$ [/mm] Elementen isomorph sind.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:22 Di 18.12.2007 | | Autor: | Manuela |
| Aufgabe | | Es seien p und q Primzahlen. Warum zerfällt das Polynom f(x) = [mm] x^{p^{q}}-x [/mm] über dem Körper [mm] \IF_{p} [/mm] mit p Elementen in p verschiedene Faktoren vom Grad 1 und in [mm] \bruch{p^q-p}{q} [/mm] irreduzible Faktoren vom Grad q? |
[mm] \IF_{p^q} [/mm] ist der Zerfällungskörper von f und hat über [mm] \IF_{p} [/mm] den Grad q.
Zwischen [mm] \IF_{p^q} [/mm] und [mm] \IF_{p} [/mm] gibt es keinen echten Zischenkörper. Daher hat die Körpererweiterung gena [mm] p^q [/mm] - p primitive Elemente.
[mm] \IF_{p^q} \cong \IZ_{p}/(f) [/mm] mit f irreduzibel vom Grad q. Jedes solche f hat also q Nullstellen aus [mm] \IF_{p^q}/ \IF_{p}. [/mm] Daraus folg es gibt
[mm] \bruch{p^q-p}{q} [/mm] irreduzible Polynomevom Grad q.
Das Polynom f hat insgesamt [mm] p^q [/mm] Nullstellen [mm] p^q [/mm] - p davon liegen in [mm] \IF_{p^q}/ \IF_{p}. [/mm] Daraus folgt p Nullstellen liegen in [mm] \IF_{p}. [/mm] Damit gibt es p verschiedene Faktoren vom Grad 1. Da p Nullstellen in [mm] \IF_{p} [/mm] liegen gibt es p Linearfaktoren!
Man sollte wohl zuerst noch zeigen, dass f seperabel ist und deshalt [mm] p^q [/mm] verschiedene Nullstellen hat. Das macht man doch irgendwie mit der Ableitung von f. Weiß aber nicht genau wie?
Stimmt das so? Für die Faktoren vom Grad 1 finde ich meine Begründung etwas dürftig.
Lg Manuela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:10 Di 18.12.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo Manuela,
für neue Fragen solltest du einen neuen Thread öffnen.
LG
Will
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:30 Mi 19.12.2007 | | Autor: | statler |
Guten Morgen Manuela!
> Es seien p und q Primzahlen. Warum zerfällt das Polynom
> f(x) = [mm]x^{p^{q}}-x[/mm] über dem Körper [mm]\IF_{p}[/mm] mit p Elementen
> in p verschiedene Faktoren vom Grad 1 und in
> [mm]\bruch{p^q-p}{q}[/mm] irreduzible Faktoren vom Grad q?
> [mm]\IF_{p^q}[/mm] ist der Zerfällungskörper von f und hat über
> [mm]\IF_{p}[/mm] den Grad q.
> Zwischen [mm]\IF_{p^q}[/mm] und [mm]\IF_{p}[/mm] gibt es keinen echten
> Zwischenkörper. Daher hat die Körpererweiterung genau [mm]p^q[/mm] - p
> primitive Elemente.
> [mm]\IF_{p^q} \cong \IZ_{p}/(f)[/mm] mit f irreduzibel vom Grad q.
Jetzt hast du den Namen f 2mal vergeben an verschiedene Polynome.
> Jedes solche f hat also q Nullstellen aus [mm]\IF_{p^q}/ \IF_{p}.[/mm]
> Daraus folgt: Es gibt
> [mm]\bruch{p^q-p}{q}[/mm] irreduzible Polynome vom Grad q.
>
> Das Polynom f hat insgesamt [mm]p^q[/mm] Nullstellen.
Das sind alle Elemente des Oberkörpers, also auch die p Elem. des Grundkörpers. Also verteilen sich die Nullstellen wie folgt:
> [mm]p^q[/mm] - p davon
> liegen in [mm]\IF_{p^q}/ \IF_{p}.[/mm] Daraus folgt p Nullstellen
> liegen in [mm]\IF_{p}.[/mm] Damit gibt es p verschiedene Faktoren
> vom Grad 1. Da p Nullstellen in [mm]\IF_{p}[/mm] liegen gibt es p
> Linearfaktoren!
>
> Man sollte wohl zuerst noch zeigen, dass f seperabel ist
> und deshalb [mm]p^q[/mm] verschiedene Nullstellen hat. Das macht man
> doch irgendwie mit der Ableitung von f. Weiß aber nicht
> genau wie?
Eine mehrfache Nullstelle ist auch eine Nullstelle der Ableitung, aber hier ist wegen char(K) = p f' = -1, f' hat keine Nullstelle.
> Stimmt das so? Für die Faktoren vom Grad 1 finde ich meine
> Begründung etwas dürftig.
Keinesfalls, zu jeder Nullstelle aus dem Grundkörper gehört ein Linearfaktor, das lernt man schon in der Schule bei der Polynomdivision.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:22 Mi 19.12.2007 | | Autor: | Manuela |
Hallo Dieter,
Also da p verschiedene Nullstellen von f in [mm] \IF_{p} [/mm] liegen kann man jeweils einen Faktor vom Grad 1 abspalten. Oder? Und damit kann man von f insgesmat p Faktoren vom Grad 1 abspalten
Lg Manuela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:36 Mi 19.12.2007 | | Autor: | statler |
Hi Manuela!
> Also da p verschiedene Nullstellen von f in [mm]\IF_{p}[/mm] liegen
> kann man jeweils einen Faktor vom Grad 1 abspalten. Oder?
> Und damit kann man von f insgesmat p Faktoren vom Grad 1
> abspalten
Exactemang!
Gruß
Dieter
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