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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:38 Do 07.02.2008 | | Autor: | TTaylor |
| Aufgabe | | Ein kommutativer Ring R ungleich 0, in dem jedes Ideal a ungleich R ein Primideal ist, ist ein Körper! Zeige! |
Wenn man einen kommutativen Ring hat, dann ist die einzige Bedingung die zu einem Körper fehlt, dass es zu jedem Element in R ein multiplikatives Inverses gibt.
Ein Primideal ist definiert: [mm] I \subset R [/mm] für alle [mm] a,b \in R [/mm] für die gilt: [mm] ab \in I \Rightarrow a \in I oder b\in I. [/mm]
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Grüße!
Das ist gar nicht so schwierig... überlege Dir zunächst, dass der Ring nullteilerfrei ist. Der Grund liegt darin, dass die Menge [mm] $\{0\}$ [/mm] stets ein Ideal ist und die Primideal-Eigenschaft für diese Menge ist exakt die Nullteilerfreiheit von $R$.
Nimm als nächstes ein beliebiges Element $a [mm] \not= [/mm] 0$ in $R$ und nimm an, dass $a$ nicht invertierbar ist. Betrachte dann $b := [mm] a^2$. [/mm] Aus obiger Bemerkung folgt $b [mm] \not= [/mm] 0$.
$b$ kann selbst nicht invertierbar sein, denn sonst gäbe es ein [mm] $b^{-1}$ [/mm] und es gilt $a [mm] \cdot [/mm] a [mm] \cdot b^{-1} [/mm] = b [mm] \cdot b^{-1} [/mm] = 1$, also wäre auch $a$ invertierbar.
Betrachte dann das von $b$ erzeugte Ideal, also $I := (b) = [mm] \{r \cdot b : r \in R\}$. [/mm] Da dies ein Primideal ist und [mm] $a^2$ [/mm] enthält, enthält es auch $a$ und daher gibt es ein $c [mm] \in [/mm] R$ mit $a = cb$, also $b = [mm] a^2 [/mm] = acb$.
Umgeformt ergibt sich $0 = b - acb = b [mm] \cdot [/mm] (1 - ac)$. Nach Voraussetzung ist $b [mm] \not= [/mm] 0$ und $R$ nullteilerfrei, also folgt $ac = 1$, also ist $a$ invertierbar - Widerspruch!
Alles klar? Wenn Du noch Fragen hast, melde Dich einfach.
Gruß,
Lars
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:01 Sa 09.02.2008 | | Autor: | TTaylor |
Vielen Dank erstmal.
Das einzige was ich noch nicht ganz verstehe:
Warum sage ich b= a*a ?
Zweite Frage: b darf nicht invertierbar sein, weil wir einen kommutativen Ring annehmen und in einem solchen Ring gibt es keine multiplikativen Inversen?
Wäre super wenn du mir das noch erklären könntest. Sonst habe ich den Beweis verstanden.
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Grüße!
> Vielen Dank erstmal.
> Das einzige was ich noch nicht ganz verstehe:
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> Warum sage ich b= a*a ?
Das ist einfach eine Definition. Gestartet wird mit einem Element $a [mm] \not= [/mm] 0$ und als Hilfestellung betrachtet man [mm] $a^2$ [/mm] und nennt das abgekürzt $b$.
> Zweite Frage: b darf nicht invertierbar sein, weil wir
> einen kommutativen Ring annehmen und in einem solchen Ring
> gibt es keine multiplikativen Inversen?
Halt Stop! Grob falsch! Jeder Körper ist auch kommutativer Ring und in einem Körper ist jedes Element (außer 0) invertierbar bzgl. der Multiplikation, hat also ein Inverses.
Das Argument geht so: Wir nehmen an, dass $a [mm] \not= [/mm] 0$ nicht invertierbar ist und wollen das zum Widerspruch führen. Dazu betrachten wir [mm] $a^2$ [/mm] und nennen dieses Element $b$. Ich habe ein Argument geliefert, warum aus der Invertierbarkeit von $b$ auch die von $a$ folgt (schau nochmal genau hin) und da $a$ nach Annahme eben nicht invertierbar ist, kann auch $b$ es nicht sein und daher ist $(b)$ auch ein echtes Ideal.
Ist Dir das klar? Sobald in einem Ideal eine Einheit vorkommt, ist es kein echtes Ideal mehr, sondern der ganze Ring. Sollte Dir diese Aussage spanisch vorkommen, versuche sie zu beweisen! (Hinweis: Zeige zunächst, dass ein Ideal, welches ein invertierbares Element enthält, auch die 1 enthält...)
> Wäre super wenn du mir das noch erklären könntest. Sonst
> habe ich den Beweis verstanden.
Ich hoffe, es ist etwas mehr Licht ins Dunkel gekommen... 
Gruß,
Lars
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:53 So 10.02.2008 | | Autor: | TTaylor |
Vielen Dank. Ich habe es jetzt endlich kapiert.
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