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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Körper
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Körper: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:08 Mo 31.01.2005
Autor: Reaper

Hallo

Bsp.: Sei M( [mm] \IZ) [/mm] die Menge aller Funktionen von  [mm] \IZ [/mm] nach  [mm] \IZ. [/mm] Für 2 Fkt. f,g in $M( [mm] \IZ)$ [/mm] definieren wir die Summe als:
$f + g :  [mm] \IZ \to \IZ, [/mm] x  [mm] \mapsto [/mm] f(x) + g(x)$
und das Produkt als:
$f . g :  [mm] \IZ \to \IZ, [/mm] x  [mm] \mapsto [/mm] f(x) . g(x)$
Ist M( [mm] \IZ),+,.) [/mm] ein kommutrativer Ring, ein Ring mit Einselement, ein Körper?

Komm. Ring: ja denn f(x) . g(x) = g(x) . f(x)
Einselement: ja denn neutrales Element f(x) = 1
Körper:
Def. Ist [mm] (R\{0}, [/mm] . ) ein abelsche Gruppe, so heißt (R, +, .) ein Körper.

Also täte ich ja sagen...bin mir aber nicht sicher......


        
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Körper: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:45 Mo 31.01.2005
Autor: felixs

das ding ist leider kein koerper.
[mm] $(M(\mathbb{Z}\0,\cdot))$ [/mm] muesste eine abelsche gruppe sein....
schau dir 2 funktionen an. eine bilde die $1$ auf die $1$ ab, sonst $0$, die andere bilde die $2$ auf die $1$ ab, sonst $0$.
das produkt der beiden ist die nullfunktion. das kann also keine gruppe sein.

gruss
--felix

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Körper: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:48 Mo 31.01.2005
Autor: Reaper

Hallo
Irgendwie versteh ich deinen Gedankengang nicht.......könntest du mir bitte deine Gedankengänge bitte ausfürlicher beschreiben....danke

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Körper: Inversen fehlen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:14 Di 01.02.2005
Autor: Nam

Hallo Hannes,

[mm]\IZ[/mm] ist selbst kein Körper, denn die Inversen bzgl. Multiplikation fehlen. Folglich kann die Menge aller Funktionen von [mm]\IZ[/mm] nach [mm]\IZ[/mm] auch kein Körper sein, wenn du die Multiplikation zweier Funktion wie oben definierst.

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Körper: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:24 Di 01.02.2005
Autor: Reaper

Hallo
Wieso fehlen die Inversen der Multiplikation?
0 ist nicht in der Menge enthalten  , 1 aber schon.

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Bezug
Körper: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:38 Di 01.02.2005
Autor: Nam

Einfaches Beispiel:
[mm]2x = 1[/mm] hat keine Lösung in [mm]\IZ[/mm]. Die Lösung wäre [mm]x = 1/2[/mm] aber [mm]1/2 \not\in \IZ[/mm], denn [mm]\IZ[/mm] sind ja nur die ganzen Zahlen.

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