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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:29 So 22.02.2009 | | Autor: | valaida |
| Aufgabe | Die Frage ist bei Aufgabe c)
Konstruieren Sie aus dem Körper [mm] \IF_{5} [/mm] := [mm] \IZ [/mm] / 5 [mm] \IZ [/mm] mit 5 Elementen den Körper [mm] \IF_{25} [/mm] mit 25 Elementen.
a) Zeigen Sie dazu zunächst, dass das Polynom f(x) = [mm] x^2+4x+1 \in \IF_5 [/mm] [x] irreduzibel über [mm] \IF_{5} [/mm] ist
OK
b) Konstruieren Sie [mm] \IF_{25} [/mm] als Zerfällungskörper von f
[mm] F_{25} [/mm] = [mm] \{ ax+b \in F_5 [x]: a,b \in \{0,1,2,3,4\} \}
[/mm]
Addition und Multiplikation sind die gewöhnliche Polynomaddition bzw. multiplikation, wobei allerdings Polynome vom Grad größer gleich 2 reduziert werden mittels des Zerfällungspolynoms f, d.h. wir setzen voraus, dass f(x) = 0 ist, d.h. [mm] x^2=-4x-1 [/mm] = x+4
OK
c) Beschreiben Sie [mm] F_{25} [/mm] durch Angabe der Verknüpfungstafeln für Addition und Multiplation. Wobei es ausreicht, einige Berechnungen exemplarisch zu demonstrieren - es ist nicht nötig, die Tafeln komplett auszufüllen!
(3x+4)(2x+1)
= [mm] 6x^2+11x+5 [/mm]
Hier wurde Modulo 5 gerechnet
= [mm] 1x^2+1x+0
[/mm]
Warum aber ist jetzt die letzte Zeile
[mm] 1x^2+1x+0 [/mm] = (x+4)+x = 2x+4 [mm] \in \IF_{25}
[/mm]
Also warum gilt hier Gleichheit: [mm] 1x^2+1x+0 [/mm] = (x+4)+x
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Hallo.
Meine Frage ist: Warum gilt Gleichheit: [mm] 1x^2+1x+0 [/mm] = (x+4)+x
Danke,
valaida
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:38 So 22.02.2009 | | Autor: | SEcki |
> Meine Frage ist: Warum gilt Gleichheit: [mm]1x^2+1x+0[/mm] =
> (x+4)+x
Naja, direkt aus der b): es gilt [m]x^2=x+4[/m].
SEcki
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